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- 2021-06-12 发布
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安徽省合肥市第六中学2018-2019学年高二下学期适应性模拟测试数学(理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1.已知全集,集合,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式得集合A,进而可得,求解函数定义域可得集合B,利用交集求解即可.
【详解】
因为集合,,所以,
故选D.
【点睛】
本题主要考查了集合的补集及交集的运算,属于基础题.
2.复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由题意得, ,则复数在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.
3.已知向量,,若,则( )
A. B. C.-3 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】
向量,若,则,解得.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标表示,属于基础题.
4.已知函数,则是( )
A.奇函数,且在上是增函数 B.偶函数,且在上是增函数
C.奇函数,且在上是减函数 D.偶函数,且在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断定义域是否关于原点对称,进而利用可得函数为奇函数,再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.
【详解】
定义域为R,关于原点对称,
,有,
所以是奇函数,
函数,显然是减函数.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断,属于基础题.
5.已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
还原几何体得四棱锥,其中面,分别计算各侧面的面积即可得解.
【详解】
还原三视图可得几何体如图所示,四棱锥,其中面,
.
中有,由,所以.
所以.
所以面积最大值是的面积,等于2.
【点睛】
本题主要考查了由三视图还原几何体,并计算几何体的侧面积,需要一定的空间想象力,属于中档题.
6.已知等比数列的前项和为,且,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式,利用基本量运算可得通项公式,进而可得前n项和,从而可得,令求解即可.
【详解】
由,可得;
由.
两式作比可得:可得,,
所以,,,所以.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式,属于公式运用的题目,属于基础题.
7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向左平移,得到函数的图象,则函数的一个单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象变换可得函数,再由 ,,可解得单调增区间,即可得解.
【详解】
函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,
可得的图象,再向左平移,
得到函数 的图象.
由 ,,得,.
当时,函数的一个单调递增区间,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性,注意三角函数的平移变换,平移是针对自变量“x”而言的,所以需要将x的系数提出,属于中档题.
8.若实数,满足约束条件,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式的可行域,的几何意义是可行域内的点与点
连线的斜率的倒数,由斜率的最大值即可得解.
【详解】
作出不等式组构成的区域,的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数,由图象知的斜率最大,由得,所以,此时.
故选A.
【点睛】
常见的非线性目标函数问题,利用其几何意义求解:
的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍
的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。
的几何意义为可行域内的点到点的直线的斜率.
9.如图,在矩形中的曲线是,的一部分,点,,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由几何概型可知,再利用定积分求阴影面积即可.
【详解】
由几何概型,可得 .
【点睛】
本题主要考查了几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部分的面积,属于中档题.
10.的斜边等于4,点在以为圆心,1为半径的圆上,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合三角形及圆的特征可得,进而利用数量积运算可得最值,从而得解.
【详解】
.
注意,,
所以当与同向时取最大值5,反向时取小值-3.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算,考查向量的数量积运算,以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.
11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上,平面,,,则球的表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把三棱锥放在长方体中,由面积公式及基本不等式可得,进而有,结合即可得最值.
【详解】
把三棱锥放在长方体中,由已知条件容易得到,所以 ,因此,注意
,所以球的表面积的最小值是.
故选C.
【点睛】
本题考查空间几何体的外接球问题,利用四面体构造长方体是解题的关键,利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点.
12.设函数的导数为,且,,,则当时, ( )
A.有极大值,无极小值 B.无极大值,有极小值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设,结合条件可得存在使得,再由,可得在上单调递增,分析导数的正负,即可得原函数的极值情况.
【详解】
由题设,所以,,所以存在使得,又 ,所以在上单调递增.
所以当时,,单调递减,当时,,单调递增.
因此,当时,取极小值,但无极大值,故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数导数的应用:
研究函数的极值,但函数一次求导后导函数的单调性不明确时,仍可以继续求导,即二次求导,属于常见的处理方式,考查了学生的分析问题的能力,属于难题.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13.已知,,若是的充分不必要条件,则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由是的充分不必要条件,可得是的充分不必要条件,从而得且,列不等式求解即可.
【详解】
,,
由题意是的充分不必要条件,等价于是的充分不必要条件,即,
于是且,得,经检验.
故答案为:.
【点睛】
逻辑联结词,且:全真为真,一假为假;或:一真为真,全假为假;非:真假相反.本题中是的充分不必要条件,也可以考虑逆否命题来解决.
14.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件得的范围,由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前,即得,解不等式即可得解.
【详解】
由题设,所以应该在第一个最小值后第二个最大值前,所以有,得,所以的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
本题考查三角函数图象的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.在应用函数y=Asin(ω x +φ )的图像和性质研究函数的单调性和最值时,一般采用的是整体思想,将ω x +φ看做一个整体,地位等同于sinx中的x.
15.已知正数,满足,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
令,则,可得,再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
令,则,
所以 ,当且仅当可以取到最大值,此时.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了均值不等式的性质和应用,解题时要注意公式的正确应用,属于基础题.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
16.在四边形中,,,,,则的最大值为______.
【答案】
【解析】
试题分析:因为,所以由正弦定理可得,在以为直径的圆上,要使最大,就是到圆周上动点的最大值,为到圆圆心的距离加半径,即是
,故答案为.
考点:1、正弦定理、余弦定理应用;2、圆的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理应用以及圆的性质,属于难题. 在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据,对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件. 对正弦定理也是要注意两方面的应用:一是边角互化;二是求边求角.
评卷人
得分
三、解答题
17.如图,在梯形中,,,,四边形是正方形,且,点在线段上.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当平面时,求四棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)分析梯形的角度可得,即得,又,从而得证;
(Ⅱ)设对角线,交于点,连接,易得四边形是平行四边形,得,由梯形面积公式可得底面积,高为,利用椎体的体积公式即可得解.
【详解】
(Ⅰ)由题设易得,所以,,,(第2问用)因此,又,和为平面内两条相交直线,
所以平面
(Ⅱ)设对角线,交于点,连接,则由平面
可得,进而四边形是平行四边形,
所以.
四棱锥的底面积是.
由(Ⅰ)知四棱锥的高是
所以体积.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质,还有椎体的体积公式,考查一定的空间想象力,属于中档题.
18.如图,是的外角平分线,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,,求的长.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由角平分线及互补的关系可得,可得 ,从而得解;
(Ⅱ)在和中,分别用余弦定理表示和,再利用,解方程即可得解.
【详解】
(Ⅰ)由题设,,
所以
(Ⅱ)在中,由余弦定理,
在中,
又,所以,进而.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的灵活应用,需要对图形的几何特征进行分析,需要一定的能力,属于中档题.
19.已知数列的前项的和,是等差数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令.求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先求出,再由得到通项公式,求出,再由,进而可得出结果;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到,再由错位相减法,即可求出结果.
【详解】
(Ⅰ),时,
,
也符合此式,所以.
又,,
可得,,
所以
(Ⅱ),
所以,
所以,
错位相减得,
所以
【点睛】
本题主要考查求数列的通项公式,以及数列的求和,熟记等差数列的通项公式,以及错位相减法求数列的和即可,属于常考题型.
20.在四棱锥中,侧面底面,,,,,.
(Ⅰ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)在平面内作交于点,可得平面,以点为原点,,,所在直线分别为,,轴,通过解方程求得平面的法向量,利用,即可得解;
(Ⅱ)求得平面的法向量,通过求解,即可得二面角锐角的余弦值.
【详解】
在平面内作交于点,又侧面底面,所以平面,以点为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
易得,,,.
由已知条件, ,得,
所以点坐标为
所以向量,,,
(Ⅰ)设平面的法向量,则 ,
设求与平面所成角为,则,
(Ⅱ)设平面的法向量则 ,
所以,.
平面与平面所成的锐二面角的余弦值等于
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
21.已知.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对任意都成立,求整数的最大值.
【答案】(Ⅰ)最小值;(Ⅱ)3.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)通过求导分析 函数单调性即可得最小值;
(Ⅱ)由条件可得对任意都成立,记,通过求导分析函数单调性可得存在唯一的,在取唯一的极小值也是最小值,结合极值的等量关系可得,从而得解.
【详解】
(Ⅰ)的定义域是,令 ,
所以在上单调递减,在上单调递增,
在处取唯一的极小值,也是最小值
(Ⅱ) (注意),记,则
考查函数, ,在定义域上单调递增.
显然有,,所以存在唯一的使得.
在上,,单调递减;在上,,单调递增.
所以在取唯一的极小值也是最小值,注意此时 ,
所以 ,所以整数的最大值可以取3
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,极值与最值,考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化,也考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
22.已知,,其中.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)在上单调递减,在上单调递增;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求函数导数,利用导数可研究函数的单调性;
(Ⅱ)由条件可得 在上恒成立, 求导得,分别讨论,和三种情况,研究的最小值的取值情况,从而即可得解.
【详解】
(Ⅰ)时,,定义域是全体实数,求导得,
令,所以在上单调递减,在上单调递增
(Ⅱ)令 在上恒成立,则 在上恒成立
求导得.
若,显然可以任意小,不符合题意.
若,则最大也只能取0.
当时,令 ,
于是在上单调递减,在单调递增,在
取唯一的极小值也是最小值
,
令,则,
令.
所以在上单调递增,在单调递减,
在取唯一极大值也是最大值,此时,,所以的最大值等于.
备注一:结合图象,指数函数在直线的上方,斜率显然,再讨论的情况.
备注二:考虑到 在上恒成立,令即得.取,
证明在上恒成立也给满分.
【点睛】
导数问题经常会遇见恒成立的问题:
(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;
(2)若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立;
(3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值).