高中数学 1_6 微积分基本定理同步练习 新人教A版选修2-2 7页

选修2-2 1.6 微积分基本定理 ‎ 一、选择题 ‎1．下列积分正确的是(　　)‎ ‎ [答案]　A A.　　 　 B.　　 　‎ C.　　 　 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　－2dx＝－2x2dx＋－2dx ‎＝x3＋ ‎＝(x3－x－3) ‎＝－＝.‎ 故应选A.‎ ‎3.－1|x|dx等于(　　)‎ A.－1xdx B.－1dx C.－1(－x)dx＋xdx D.－1xdx＋(－x)dx ‎[答案]　C ‎[解析]　∵|x|＝ ‎∴－1|x|dx＝－1|x|dx＋|x|dx ‎＝－1(－x)dx＋xdx，故应选C.‎ ‎4．设f(x)＝，则f(x)dx等于(　　)‎ A. B. C. D．不存在 ‎[答案]　C ‎[解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx 取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，‎ 则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x ‎∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)‎ ‎＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C.‎ ‎5.f′(3x)dx＝(　　)‎ A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(‎3a)‎ C.[f(3b)－f(‎3a)] D．3[f(3b)－f(‎3a)]‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵′＝f′(3x)‎ ‎∴取F(x)＝f(3x)，则 f′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝[f(3b)－f(‎3a)]．故应选C.‎ ‎6.|x2－4|dx＝(　　)‎ A.　　　 B.　　　‎ C.　　　 D. ‎[答案]　C ‎[解析]　|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx ‎＝＋＝.‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵1－2sin2＝cosθ ‎8．函数F(x)＝costdt的导数是(　　)‎ A．cosx B．sinx C．－cosx D．－sinx ‎[答案]　A ‎[解析]　F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.‎ 所以F′(x)＝cosx，故应选A.‎ ‎9．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．0或1 D．以上都不对 ‎[答案]　C ‎[解析]　(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，‎ ‎∴k＝0或1.‎ ‎10．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)‎ A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 ‎[答案]　B ‎[解析]　F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．‎ F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：‎ x ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎(0,4)‎ ‎4‎ ‎(4,5)‎ F′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ F(x)‎  极大值 极小值  可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.‎ 又F(－1)＝－，F(5)＝－ ‎∴最大值为0，最小值为－.‎ 二、填空题 ‎11．计算定积分：‎ ‎①－1x2dx＝________‎ ‎②dx＝________‎ ‎③|x2－1|dx＝________‎ ‎④－|sinx|dx＝________‎ ‎[答案]　；；2；1‎ ‎[解析]　①－1x2dx＝x3＝.‎ ‎②dx＝＝.‎ ‎③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx ‎＝＋＝2.‎ ‎ [答案]　1＋ ‎13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.‎ ‎14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－‎1f(x)dx＝‎2f(a)成立，则a＝________.‎ ‎[答案]　－1或 ‎[解析]　由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，‎ ‎∴－‎1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，‎ ‎∴‎2f(a)＝4，∴f(a)＝2.‎ 即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.‎ 三、解答题 ‎15．计算下列定积分：‎ ‎(1)2xdx；(2)(x2－2x)dx；‎ ‎(3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx.‎ ‎[解析]　(1)2xdx＝x2＝25－0＝25.‎ ‎(2)(x2－2x)dx＝x2dx－2xdx ‎＝x3－x2＝－1＝－.‎ ‎(3)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx ‎＝ ‎＝32－16－＋8＝.‎ ‎(4)dx＝dx ‎＝＝－3ln2.‎ ‎16．计算下列定积分：‎ ‎ [解析]　(1)取F(x)＝sin2x，则F′(x)＝cos2x ‎＝＝(2－)．‎ ‎(2)取F(x)＝＋lnx＋2x，则 F′(x)＝x＋＋2.‎ ‎∴2dx＝dx ‎＝F(3)－F(2)‎ ‎＝－ ‎＝＋ln.‎ ‎(3)取F(x)＝x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx ‎17．计算下列定积分：‎ ‎(1)－4|x＋2|dx；‎ ‎(2)已知f(x)＝，求－‎1f(x)dx的值．‎ ‎[解析]　(1)∵f(x)＝|x＋2|＝‎ ‎∴－4|x＋2|dx＝－(x＋2)dx＋－2(x＋2)dx ‎＝－＋ ‎＝2＋2＝4.‎ ‎(2)∵f(x)＝‎ ‎∴－‎1f(x)dx＝－‎1f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ‎＝＋ ‎＝＋＝1.‎ ‎18．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；‎ ‎(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．‎ ‎[解析]　(1)取F(x)＝ax3－a2x2‎ 则F′(x)＝2ax2－a2x ‎∴f(a)＝(2ax2－a2x)dx ‎＝F(1)－F(0)＝a－a2‎ ‎＝－2＋ ‎∴当a＝时，f(a)有最大值.‎ ‎(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①‎ 又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②‎ 而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx 取F(x)＝ax3＋bx2＋cx 则F′(x)＝ax2＋bx＋c ‎∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③‎ 解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.‎ ‎ ‎