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- 2021-06-12 发布
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第18练 圆锥曲线的定义、方程及性质[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度:圆锥曲线是高考的热点,每年必考,小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等.2.题目难度:中档难度或偏难.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
方法技巧 (1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
(2)求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法.
1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A.y2-=1 B.x2-=1
C.y2-=1(y≤-1) D.x2-=1(x≥1)
答案 C
解析 由两点间距离公式,可得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,因为A,B都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支.由c=7,a=1,得b2=48,所以点F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则该双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由e=知a=b,且c=a.∴双曲线渐近线方程为y=±x.
又kPF===1,∴c=4,则a2=b2==8.
故双曲线方程为-=1.
3.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是________.
答案
解析 由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=3,|PF2|=1.
又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1为直角,
所以=|F1F2||PF2|=×2×1=.
4.已知抛物线y=x2,A,B是该抛物线上两点,且|AB|=24,则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为________.
答案 8
解析 由题意得抛物线的标准方程为x2=16y,
焦点F(0,4),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由|AB|≤|AF|+|BF|=(y1+4)+(y2+4)=y1+y2+8,
∴y1+y2≥16,则线段AB的中点P的纵坐标y=≥8,
∴线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8.
考点二 圆锥曲线的几何性质
要点重组 在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==;
在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e== .
5.(2018·全国Ⅱ)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案 A
解析 双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.
又∵离心率==,
∴a2+b2=3a2,∴b=a(a>0,b>0).
∴渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.
故选A.
6.(2018·全国Ⅲ)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P′,连接P′F2,由题意可知,四边形PF1P′F2为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.
因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.
又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,
所以|F2P|=a=b,
所以c==a,所以e==.
7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为______.
答案 y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A
与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.
答案
解析 如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,
∴点A到l的距离d=.
又∠MAN=60°,|MA|=|NA|=b,
∴△MAN为等边三角形,
∴d=|MA|=b,即=b,∴a2=3b2,
∴e===.
考点三 圆锥曲线的综合问题
方法技巧 (1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法
定义性质转化法;目标函数法;条件不等式法.
(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破,然后对一般情况进行证明.
9.如图,点F1,F2是椭圆C1的左、右焦点,椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P,PF1⊥PF2,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,则( )
A.e= B.e=
C.e= D.e=
答案 D
解析 设椭圆C1的方程为+=1,
点P的坐标为(x0,y0),由图知x0>0,y0>0,
因为点P在椭圆C1上,所以|PF1|+|PF2|=2a.①
又因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,②
在Rt△PF1F2中,易得|PF1|·|PF2|=2c·y0,③
联立①②③,得y0=,
代入椭圆方程,得x0=.
因为点P在双曲线的渐近线上,
所以双曲线的渐近线的斜率k====,
又在双曲线中易得其渐近线的斜率k=,
所以=,
化简得e=,故选D.
10.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B.
C. D.1
答案 C
解析 如图,
由题意可知F,设P点坐标为,显然,
当y0<0时,kOM<0;
当y0>0时,kOM>0.
要求kOM的最大值,不妨设y0>0,
则=+
=+=+(-)
=+
=,
kOM==≤=,
当且仅当y=2p2时等号成立.故选C.
11.过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AF,BF的长分别为m,n,则=________.
答案
解析 显然直线AB的斜率存在,故设直线方程为y=kx+,与y=ax2联立,消去y得ax2-kx-=0,
设A(x1,ax),B(x2,ax),则x1+x2=,x1x2=-,
x+x=+,m=ax+,n=ax+,∴mn=·,m+n=,∴=.
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围为________.
答案 [1,4]
解析 由已知得2b=2,故b=1,
∵△F1AB的面积为,
∴(a-c)b=,
∴a-c=2-,
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,
∴a=2,c=,
∴+=
==,
又2-≤|PF1|≤2+,
∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,
∴1≤+≤4,
即+的取值范围为[1,4].
1.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
答案 B
解析 由题意,得22=a2+1,即a=,
设P(x,y),x≥,=(x+2,y),
则·=(x+2)x+y2
=x2+2x+-1=2-,
因为x≥,所以·的取值范围为[3+2,+∞).
2.若椭圆的对称轴是坐标轴,且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到同侧顶点的距离为,则椭圆的方程为________________.
答案 +=1或+=1
解析 由题意,得所以
所以b2=a2-c2=9.
所以当椭圆焦点在x轴上时,椭圆的方程为+=1;
当椭圆焦点在y轴上时,椭圆的方程为+=1.
故椭圆的方程为+=1或+=1.
3.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 设P(x,y),由题设条件,
得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0,
即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.
又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
由题意,可得>1,即>1,
所以e=<2,
又e>1,故10,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由y=x,可得=.①
由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程为-=1.
故选B.
3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线的方程是( )
A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=6x
答案 C
解析 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由抛物线的定义可知,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+
=(x1+x2)+p,
∵线段PQ中点的横坐标为3,
又|PQ|=10,
∴10=6+p,可得p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
4.已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1
C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1
答案 A
解析 由题意可得m2-1=n2+1,
即m2=n2+2,
∵m>0,n>0,故m>n.
又∵e·e=·=·
==1+>1,
∴e1e2>1.
5.已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:(x-a)2+y2=8与l交于A,B两点,若△ABC是等腰直角三角形,且=5(其中O为坐标原点),则双曲线Γ的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 双曲线的渐近线方程为y=x,圆(x-a)2+y2=8的圆心为(a,0),半径r=2,由于∠ACB=,由勾股定理得|AB|==4,故|OA|=|AB|=1.在△OAC,△OBC中,由余弦定理得cos∠BOC==,解得a2=13.由圆心到直线y=x的距离为2,得=2,结合c2=a2+b2,解得c=,故离心率为==.
6.(2018·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 C
解析 如图,不妨设A在B的上方,
则A,B.
其中的一条渐近线为bx-ay=0,则d1+d2===2b=6,∴b=3.
又由e==2,知a2+b2=4a2,∴a=.
∴双曲线的方程为-=1.
故选C.
7.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设M(-c,m)(m≠0),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,
所以=,a=3c,所以e=.
8.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
答案 B
解析 不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.
根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,
又r1+r2=3b,故r1=,r2=.
又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(负值舍去),故e====,故选B.
9.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________.
答案 15
解析 因为在椭圆+=1中,a=5,b=4,所以c=3,得焦点为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的定义,得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).
因为|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立,
此时|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.
10.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
答案 6
解析 如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线-=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为________.
答案 3
解析 由题意知1+=5,∴p=8.∴M(1,4),
由于双曲线的左顶点A(-a,0),
且直线AM平行于双曲线的一条渐近线,
∴=,则a=3.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,若M是线段PF1上一点,且满足=2,·=0,则椭圆C
的离心率的取值范围为________.
答案
解析 设P(x,y)(y≠0),取MF1的中点N,
由=2知,=,
解得点N,
又·=0,
所以⊥,
连接ON,由三角形的中位线可知⊥,
即(x,y)·=0,
整理得(x-c)2+y2=c2(y≠0),
所以点P的轨迹为以(c,0)为圆心,c为半径的圆(去除两点(0,0),(2c,0)),要使得圆与椭圆有公共点,则
a-c<c,所以e=>,又0