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- 2021-06-12 发布
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一、选择题
1.已知点A(a,0),B(b,0),则A,B两点间的距离为( )
A.a-b B.b-a
C. D.|a-b|
[答案] D
[解析] 代入两点间距离公式.
2.一条平行于x轴的线段长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),则它的另一个端点B的坐标是( )
A.(-3,1)或(7,1) B.(2,-3)或(2,7)
C.(-3,1)或(5,1) D.(2,-3)或(2,5)
[答案] A
[解析] ∵AB∥x轴,∴设B(a,1),又|AB|=5,∴a=-3或7.
3.已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当|AB|取最小值时,实数a的值是( )
A.- B.-
C. D.
[答案] C
[解析] |AB|===,∴当a=时,|AB|取最小值.
4.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于( )
A.5 B.4
C.2 D.2
[答案] C
[解析] 设A(x,0)、B(0,y),由中点公式得x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB|===2.
5.△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,-4)、B(2,2)、C(4,-2),则三角形AB边上的中线长为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] AB的中点D的坐标为D(-1,-1).
∴|CD|==;
故选A.
6.已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
[答案] C
[解析] |AB|==3,
|BC|==,
|AC|==,
∴|AC|=|BC|≠|AB|,
且|AB|2≠|AC|2+|BC|2.
∴△ABC是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等边三角形.
7.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A、B,则|AB|等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 易得A(0,-2),B(-1,).
8.在直线2x-3y+5=0上求点P,使P点到A(2,3)距离为,则P点坐标是( )
A.(5,5) B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)
[答案] C
[解析] 设点P(x,y),则y=,
由|PA|=得(x-2)2+(-3)2=13,
即(x-2)2=9,解得x=-1或x=5,
当x=-1时,y=1,
当x=5时,y=5,∴P(-1,1)或(5,5).
二、填空题
9.已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,则实数m=________.
[答案] 1或3
[解析] 由题意得=2,解得m=1或m=3.
10.已知A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则a=________.
[答案]
[解析] =,
解得a=.
11.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为________.
[答案] (9,0)或(-1,0)
[解析] 设P(a,0),则=13,
解得a=9或a=-1,∴点P的坐标为(9,0)或(-1,0).
12.已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为________.
[答案]
三、解答题
13.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),
(1)求BC边上的中线AM的长;
(2)证明△ABC为等腰直角三角形.
[解析] (1)设点M的坐标为(x,y),
∵点M为BC边的中点,∴即M(2,2),
由两点间的距离公式得:
|AM|==.
∴BC边上的中线AM长为.
(2)由两点间的距离公式得
|AB|==2,
|BC|==2,
|AC|==2,
∵|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC为等腰直角三角形.
14.求证:等腰梯形的对角线相等.
[证明] 已知:等腰梯形ABCD.
求证:AC=BD.
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系.
设A(-a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性质知B(a,0),C(-b,c).
则|AC|==,
|BD|==,
∴|AC|=|BD|.
即:等腰梯形的对角线相等.
15.已知直线l1:2x+y-6=0和A(1,-1),过点A作直线l2与已知直线交于点B且|AB|=5,求直线l2的方程.
[解析] 当直线l2的斜率存在时,设其为k,则
⇒(k+2)x=k+7,
而k≠-2,故解得x=,所以B(,),
又由|AB|=5,利用两点间距离公式得
=5⇒k=-,
此时l2的方程为3x+4y+1=0.
而当l2的斜率不存在时,l2的方程为x=1.
此时点B坐标为(1,4),则|AB|=|4-(-1)|=5,也满足条件综上,l2的方程为3x+4y+1=0或x=1.
16.如下图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问是否在BC上存在一点M,使得两条小路AC与DM相互垂直?若存在,则求出小路DM的长.
[分析] 建立适当的坐标系,转几何问题为代数运算.
[解析] 以B为坐标原点,BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为AD=5 m,AB=3 m,
所以C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),因为AC⊥DM,
所以kAC·kDM=-1,
即·=-1.
所以x=3.2,即BM=3.2,
即点M的坐标为(3.2,0)时,两条小路AC与DM相互垂直.
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意.
由两点间距离公式得DM==.