数学卷·2018届内蒙古呼和浩特市托克托县民族中学高二上学期期中数学试卷（解析版） 17页

2016-2017 学年内蒙古呼和浩特市托克托县民族中学高二（上） 期中数学试卷 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．已知 a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ） A．a﹣c＞b﹣d B． ＞ C．ac＞bd D．c﹣b＞d﹣a 2．设{an}是首项为 a1，公差为﹣2 的等差数列，Sn 为前 n 项和，若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1=（ ） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 3．在等差数列{an}中，已知 a4+a8=26，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A．58 B．88 C．143 D．176 4．已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S2013＞0，S2014＜0，则前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值为（ ） A．1009 B．1008 C．1007 D．1006 6．设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x﹣3y 的最大值为（ ） A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．﹣8 7．已知等差数列{an}，Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn=an2+4n+a﹣4（a ∈ R）， 记数列{ }的前 n 项和为 Tn，则 T10=（ ） A． B． C． D． 8．若变量 x，y 满足 则 z=（x+1）2+y2 的最大值是（ ） A．12 B．10 C．17 D．26 9．不等式 的解集是（ ） A．[﹣4，1] B．[﹣1，4] C．[﹣4，1） D．[﹣1，1）∪（1，4] 10．已知 a＞0，b＞0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为 （ ） A．4 B．16 C．9 D．3 11．在数列{an}中，a1=1，an﹣an﹣1= ，则 an=（ ） A． B． C． D． 12．若存在 x ∈ [﹣2，3]，使不等式 2x﹣x2≥a 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣8] C．[1，+∞） D．[﹣8，+∞） 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．不等式 x（1﹣2x）≤0 的解集为 ． 14．设数列{an}的前 n 项和为 ，若 a1=1，an+1=2Sn+1，则 S4= ． 15．已知 x＞0，y＞0，且 ，若 x+2y＞m2+2m 恒成立，则实数 m 的取值 范围是 ． 16．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则 Sn= ． 三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17．若关于 x 的不等式 ax2+3x﹣1＜0 的解集是 ， （1）求 a 的值； （2）求不等式 ax2﹣3x+a2+1＞0 的解集． 18．已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a1=2，且 a4﹣1，a5，3a4+1 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式及 Sn； （2）若 bn=log2（an•an+1）， ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 19．已知 a＜0，解关于 x 的不等式 ax2+（2﹣a）x﹣2＞0． 20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3 ﹣3． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足 cn=anbn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 21．某校要建一个面积为 450 平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其 他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个 3 米的进出口 （如图）．设矩形的长为 x 米，钢筋网的总长度为 y 米． （Ⅰ）列出 y 与 x 的函数关系式，并写出其定义域； （Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ （Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过 25 米，问矩形的长与宽各 为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ 22．已知 f（x）= ． （1）若 f（x）＞k 的解集为（﹣∞，﹣6）∪（﹣1，+∞），求 k 的值； （2）若对任意的 x＞0，f（x）≤t 恒成立，求实数 t 的范围． 2016-2017 学年内蒙古呼和浩特市托克托县民族中学高 二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．已知 a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（ ） A．a﹣c＞b﹣d B． ＞ C．ac＞bd D．c﹣b＞d﹣a 【考点】不等关系与不等式． 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案中不等式的正误，可得答案． 【解答】解：若 a＞b，c＞d， 则 a﹣c＞b﹣d 不一定成立，故 A 错误； ＞ 不一定成立，故 B 错误； ac＞bd 不一定成立，故 C 错误； 由不等式同号可加性可得：c+a＞d+b， 故选：D 2．设{an}是首项为 a1，公差为﹣2 的等差数列，Sn 为前 n 项和，若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1=（ ） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：an=a1﹣2（n﹣1）， S1=a1，S2=2a1﹣2，S4=4a1﹣12， ∵S1，S2，S4 成等比数列， ∴ =a1（4a1﹣12）， 解得 a1=﹣1． 故选：D． 3．在等差数列{an}中，已知 a4+a8=26，则该数列前 11 项和 S11=（ ） A．58 B．88 C．143 D．176 【考点】等差数列的前 n 项和． 【分析】利用等差数列的通项公式性质及其前 n 项和公式即可得出． 【解答】解：∵等差数列{an}中，已知 a4+a8=26， 则该数列前 11 项和 S11= = =11×13=143． 故选：C． 4．已知 x＞0，y＞0，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【考点】基本不等式． 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且 ， ∴ = = ≥ =2，当且仅当 时等号成立，此时 x=4，y=6， 其最小值为 2， 故选：B． 5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S2013＞0，S2014＜0，则前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值为（ ） A．1009 B．1008 C．1007 D．1006 【考点】等差数列的前 n 项和． 【分析】由题意得数列{an}的前 1008 项均为正数，从 1009 项开始为负值，由此 能求出 n 为 1008 时，Sn 取最大值． 【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S2013＞0，S2014＜0， ∴由题意得， ＞0， ∴数列{an}的前 1008 项均为正数， 又∵S2016＜0，故从 1009 项开始为负值， 故 n 为 1008 时，Sn 取最大值． 故选：B． 6．设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x﹣3y 的最大值为（ ） A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．﹣8 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：作出可行域如图， 由目标函数得 ， 结合图象知 z 在（﹣2，2）处截距离最大， z 取得最小值﹣8． 故选 D． 7．已知等差数列{an}，Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn=an2+4n+a﹣4（a ∈ R）， 记数列{ }的前 n 项和为 Tn，则 T10=（ ） A． B． C． D． 【考点】数列的求和． 【分析】由等差数列{an}的前 n 项和的性质及其 Sn=an2+4n+a﹣4，可得 a﹣4=0， a=4．于是 Sn=4n2+4n. = ．利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的前 n 项和的性质及其 Sn=an2+4n+a﹣4，可得 a﹣ 4=0，解得 a=4． ∴Sn=4n2+4n． ∴ = ． ∴T10= +…+ = = ． 故选：D． 8．若变量 x，y 满足 则 z=（x+1）2+y2 的最大值是（ ） A．12 B．10 C．17 D．26 【考点】简单线性规划． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解最大值即可． 【解答】解：由约束条件 ，作出可行域，如图所示， 因为 A（0，﹣3），C（0，2），所以|OA|＞|OC|， 联立 ，解得 B（3，﹣1）， 因为 ， 所以 x2+y2 的最大值是 10， 故选：B． 9．不等式 的解集是（ ） A．[﹣4，1] B．[﹣1，4] C．[﹣4，1） D．[﹣1，1）∪（1，4] 【考点】其他不等式的解法． 【分析】分母大于 0，不等式 转化 x+5≥（x﹣1）2 不等式求解即可． 【解答】解：∵分母大于 0， ∴不等式 转化 x+5≥（x﹣1）2，且 x﹣1≠0，即 x+5≥x2﹣2x+1， 解得：﹣1≤x≤4，且 x≠1， ∴原不等式的解集为[﹣1，1）∪（1，4]． 故选 D． 10．已知 a＞0，b＞0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为 （ ） A．4 B．16 C．9 D．3 【考点】基本不等式． 【分析】依题意 ，结合基本不等式，即可求出 m 的最大值． 【解答】解：依题意 ， ∵10+ + ≥10+2 =10+6=16，当且仅当 a=b 取等号， ∴m≤16． 故选：B． 11．在数列{an}中，a1=1，an﹣an﹣1= ，则 an=（ ） A． B． C． D． 【考点】数列的求和． 【分析】累加法：先变形得，an﹣an﹣1= = ，由 an=a1+（a2﹣a1） +（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1），可得 an（n≥2），注意检验 a1 是否适合． 【解答】解：an﹣an﹣1= = ， 则 ， ， ，… ， 以上各式相加得， ，所以 （n≥2）， 又 a1=1，所以 ， 故选 A． 12．若存在 x ∈ [﹣2，3]，使不等式 2x﹣x2≥a 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣8] C．[1，+∞） D．[﹣8，+∞） 【考点】二次函数的性质． 【分析】由条件利用二次函数的性质求得函数 f（x）=2x﹣x2 在 ∈ [﹣2，3]上的最 大值，可得 a 的范围． 【解答】解：当 x ∈ [﹣2，3]时，函数 f（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1， 故当 x=1 时，f（x）取得最大值为 1． 由于存在 x ∈ [﹣2，3]，使不等式 2x﹣x2≥a 成立，∴a≤1， 故选：A． 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．不等式 x（1﹣2x）≤0 的解集为 {x|x≤0 或 x≥ } ． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式化为 x（2x﹣1）≥0，求出解集即可． 【解答】解：不等式 x（1﹣2x）≤0 可化为 x（2x﹣1）≥0， 解得 x≤0 或 x≥ ， 所以不等式的解集为{x|x≤0 或 x≥ }． 故答案为{x|x≤0 或 x≥ }． 14．设数列{an}的前 n 项和为 ，若 a1=1，an+1=2Sn+1，则 S4= 40 ． 【考点】数列递推式． 【分析】由题意可知：（Sn+1﹣Sn）=2Sn+1，Sn+1=3Sn+1，即 Sn+1+ =3（Sn+ ）， 是以 为首项，3 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式即可求得 Sn+ = •3n ﹣1，当 n=4，代入即可求得 S4 的值． 【解答】解：由题意得，由 an+1=2Sn+1，则（Sn+1﹣Sn）=2Sn+1，整理得：Sn+1=3Sn+1， ∴Sn+1+ =3（Sn+ ）， ∴ 是以 为首项，3 为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式可知：Sn+ = •3n﹣1， S4= •33﹣ =40， 故答案为：40． 15．已知 x＞0，y＞0，且 ，若 x+2y＞m2+2m 恒成立，则实数 m 的取值 范围是 ﹣4＜m＜2 ． 【考点】函数恒成立问题． 【分析】先把 x+2y 转化为（x+2y） 展开后利用基本不等式求得其最小值， 然后根据 x+2y＞m2+2m 求得 m2+2m＜8，进而求得 m 的范围． 【解答】解：∵ ，∴x+2y=（x+2y） =4+ + ≥4+2 =8 ∵x+2y＞m2+2m 恒成立， ∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2 故答案为：﹣4＜m＜2． 16．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则 Sn= ﹣ ． 【考点】数列的求和． 【分析】an+1=SnSn+1，可得 Sn+1﹣Sn=SnSn+1， =﹣1，再利用等差数列的 通项公式即可得出． 【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1， ∴ =﹣1， ∴数列 是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1． ∴ =﹣1﹣（n﹣1）=﹣n， 解得 Sn=﹣ ． 故答案为： ． 三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17．若关于 x 的不等式 ax2+3x﹣1＜0 的解集是 ， （1）求 a 的值； （2）求不等式 ax2﹣3x+a2+1＞0 的解集． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】（1）由题意可知，1， 是方程 ax2+3x﹣1 的两根，通过韦达定理可求出 a 的值； （2）将（1）中的 a 代入不等式 ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可； （注意二次项系数小于 0 要变形求解） 【解答】解：（1）∵不等式 ax2+3x﹣1＜0 的解集是 ， ∴方程 ax2+3x﹣1=0 的两个实数根为 和 1， ∴ +1=﹣ 且 ×1=﹣ ， 解得 a=﹣2， ∴a 的值为﹣2； （2）a=﹣2 时，不等式 ax2﹣3x+a2+1＞0 化为 ﹣2x2﹣3x+5＞0， 即 2x2+3x﹣5＜0， ∵方程 2x2+3x﹣5=0 的两根为 x1=1，x2=﹣ ， ∴不等式 ax2﹣3x+a2+1＞0 的解集为{x|﹣ ＜x＜1}． 18．已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a1=2，且 a4﹣1，a5，3a4+1 成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式及 Sn； （2）若 bn=log2（an•an+1）， ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设数列{an}的公比为 q，根据题意数列的公比，利用等比数列的通 项公式，即可求解数列{an}的通项公式； （2）由（1）得出 bn=2n+5， ，利用等差数列求和公式和 裂项求和即可求解数列的和． 【解答】解：（1）设数列{an}的公比为 q， 由题意知 3a4=S5﹣S3=a4+a5，∴a5=2a4，∴q=2． ∴ ． （2）由（1）可得 bn=n+2+n+3=2n+5， ， ∴ 数 列 {cn} 的 前 n 项 和 Tn= +…+ = ． 19．已知 a＜0，解关于 x 的不等式 ax2+（2﹣a）x﹣2＞0． 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】不等式可因式分解为（ax+1）（x﹣1）＞0， 由 a＜0，左右两边同时除以 a，得 ， 进而讨论 和 1 的大小，写出对应的解集． 【解答】解：不等式 ax2+（2﹣a）x﹣2＞0 可化为（ax+1）（x﹣1）＞0， ∵a＜0，左右两边同时除以 a，得 ， 比较 和 1 的大小，得： ①当﹣1＜a＜0 时，∵ ，且原不等式可化为 ， ∴其解集为 ； ②当 a=﹣1 时，∵ ，且原不等式可化为（x﹣1）2＜0，其解集为 ∅ ； ③当 a＜﹣1 时，∵ ，且原不等式可化为 ， ∴其解集为 ； 综上：当﹣1＜a＜0 时，解集为 ； 当时 a=﹣1，解集为 ∅ ； 当 a＜﹣1 时，解集为 ． 20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3 ﹣3． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足 cn=anbn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由 ，解得 q=3，a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24 得 a2=8，利 用等差等比的通项公式即可得；（2） ，利用错位相减 求和即可． 【解答】解：（1）设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q， 由 ，得 ，从而 q=3． 因此 ， 又 a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8， 从而 d=a2﹣a1=6，故 an=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4． （2） ， 令 ， ， 两 式 相 减 得 = ，∴ ， 又 ． 21．某校要建一个面积为 450 平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其 他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个 3 米的进出口 （如图）．设矩形的长为 x 米，钢筋网的总长度为 y 米． （Ⅰ）列出 y 与 x 的函数关系式，并写出其定义域； （Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ （Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过 25 米，问矩形的长与宽各 为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；基本不等式． 【分析】第一问较简单，别忘记写定义域；第二问用到基本不等式的性质注意能 否取到“=”；第三问在求函数的单调区间时可以用导数求，也可以用函数单调性 的定义求解，都能得到 y 在（0，25]上是单调递减函数；再求出函数最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵矩形的宽为： 米， ∴ = 定义域为{x|0＜x＜150}； （Ⅱ）y= 当且仅当 即 x=30 时取等号，此时宽为： 米， ∴长为 30 米，宽为 15 米，所用的钢筋网的总长度最小． （Ⅲ）法一：y= （0＜x≤25），∵ ∴当 0＜x≤25 时，x+30＞0，x﹣30＜0，x2＞0∴y'＜0∴y 在（0，25]上是单调递 减函数 ∴当 x=25 时， ，此时，长为 25 米，宽为 米 所以，长为 25 米，宽为 18 米时，所用的钢筋网的总长度最小． 法二：设 ，0＜x1＜x2≤25， 则 = ； ∵0＜x1＜x2≤25，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，x1x2﹣900＜0∴f（x2）﹣f（x1）＜0， ∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在（0，25]上是单调递减函数； ∴当 x=25 时， 此时，长为 25 米，宽为 米 所以，长为 25 米，宽为 18 米时，所用的钢筋网的总长度最小． 22．已知 f（x）= ． （1）若 f（x）＞k 的解集为（﹣∞，﹣6）∪（﹣1，+∞），求 k 的值； （2）若对任意的 x＞0，f（x）≤t 恒成立，求实数 t 的范围． 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（1）将不等式 f（x）＞k 变形为关于 x 的二次不等式，结合三个二次关 系可知与之对应的方程的根为﹣3，﹣2，由此可得到 k 的值； （2）中将不等式 f（x）≤t 恒成立转化为求函数的最大值，求解时可借助于基本 不等式性质求解 【解答】（1） （2） 解：（1）f（x）＞k ⇔ kx2﹣02x+6k＜0，由已知其解集为{x|x＜﹣6 或 x＞﹣1}， 得 x1=﹣6，x2=﹣1 是方程 kx2﹣2x+6k=0 的两根， 所以﹣6﹣1= ，即 k=﹣ ． （2）∵x＞0，f（x）= = ≤ （当且仅当 x= 时取“=”）， 由已知 f（x）≤t 对任意 x＞0 恒成立，故 t≥f（x）max= ， 所以，实数 t 的取值范围是[ ，+∞）． 2017 年 1 月 15 日