2019届二轮复习小题专练正弦定理余弦定理及应用课件（52张） 52页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 10 练　正弦定理、余弦定理及应用 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合 . 2 . 题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　正弦定理、余弦定理 方法技巧 　 (1) 分析已知的边角关系，合理设计边角互化 . (2) 结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量 . 核心考点突破练 √ 解析　 由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 答案 解析 √ 答案 解析 3. △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 b cos B ＝ a cos C ＋ c cos A ，则 B ＝ ____. 答案 解析 解析　 方法一　由 2 b cos B ＝ a cos C ＋ c cos A 及正弦定理 ， 得 2sin B cos B ＝ sin A cos C ＋ sin C cos A . ∴ 2sin B cos B ＝ sin( A ＋ C ). 又 A ＋ B ＋ C ＝ π ， ∴ A ＋ C ＝ π － B . ∴ 2sin B cos B ＝ sin(π － B ) ＝ sin B . 解析　 由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 答案 解析 考点二　与三角形的面积有关的问题 要点重组 　三角形的面积公式 √ ∴ sin C ＝ cos C ，即 tan C ＝ 1. 答案 解析 答案 解析 √ 7.(2018· 全国 Ⅰ ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 已知 b sin C ＋ c sin B ＝ 4 a sin B sin C ， b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ 8 ，则 △ ABC 的面积为 ______. 解析　 ∵ b sin C ＋ c sin B ＝ 4 a sin B sin C ， ∴ 由正弦定理得 sin B sin C ＋ sin C sin B ＝ 4sin A sin B sin C . 答案 解析 8. 在 △ ABC 中， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 b cos C ＝ 3 a cos B － c cos B ， ＝ 2 ，则 △ ABC 的面积为 _____. 答案 解析 解析　 因为 b cos C ＝ 3 a cos B － c cos B ， 由正弦定理得 sin B cos C ＝ 3sin A cos B － sin C cos B ， 即 sin B cos C ＋ sin C cos B ＝ 3sin A cos B ， 所以 sin( B ＋ C ) ＝ 3sin A cos B . 又 sin( B ＋ C ) ＝ sin(π － A ) ＝ sin A ， 考点三　解三角形中的最值 ( 范围 ) 问题 方法技巧 　由余弦定理中含两边和的平方 ( 如 a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ＝ c 2 ) 且 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用 S ＝ ab sin C 型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性 . √ 答案 解析 解析　 设角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ∴△ ABC 的面积 √ 答案 解析 应用余弦定理，可得 b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ＝ a 2 ＝ 2 bc sin A ， 11. 已知 a ， b ， c 分别是 △ ABC 内角 A ， B ， C 的对边，满足 cos A sin B sin C ＋ cos B sin A sin C ＝ 2cos C sin A sin B ，则 C 的最大值为 ____. 答案 解析 解析　 由正弦定理，得 bc cos A ＋ ac cos B ＝ 2 ab cos C ， 由余弦定理，得 ∴ a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ， 12. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a cos B － b cos A ＝ 当 tan( A － B ) 取最大值时，角 B 的值为 ____. 答案 解析 整理得 sin A cos B ＝ 3cos A sin B ，即 tan A ＝ 3tan B ， 易得 tan A >0 ， tan B >0. 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 a ＞ b ＞ c ， a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ， 则角 A 的取值范围是 易错易混专项练 解析　 因为 a 2 ＜ b 2 ＋ c 2 ， √ 答案 解析 又因为 a ＞ b ＞ c ，所以 A 为最大角， 2. 在 △ ABC 中，三内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为 S ，若 S ＋ a 2 ＝ ( b ＋ c ) 2 ，则 cos A 等于 答案 解析 √ 3. 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，记 S 为 △ ABC 的面积，若 A ＝ 60° ， b ＝ 1 ， S ＝ 则 c ＝ ____ ， cos B ＝ _____. 答案 解析 解析　 因为 A ＝ 60° ， b ＝ 1 ， 3 解得 c ＝ 3. 由余弦定理，可得 解题秘籍 　 (1) 解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题 . (2) 对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子 . 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 B ＝ 45° ，则角 A 等于 A.60° B.120 ° C.90° D.60° 或 120° √ 所以 A >45° ，所以 A ＝ 60° 或 A ＝ 120°. 故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知在 △ ABC 中， ( a ＋ b ＋ c )(sin A ＋ sin B － sin C ) ＝ a sin B ，其中 A ， B ， C 为 △ ABC 的内角， a ， b ， c 分别为 A ， B ， C 的对边，则 C 等于 √ 解析　 因为 ( a ＋ b ＋ c )(sin A ＋ sin B － sin C ) ＝ a sin B ， 所以由正弦定理，可得 ( a ＋ b ＋ c )( a ＋ b － c ) ＝ ab ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 C ∈ (0 ， π) ， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 0°< A <180° ，所以 A ＝ 30° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 C ＝ 60° 时， A ＝ 30° ，所以 B ＝ 90° ，又 a ＝ 1 ， 当 C ＝ 120° 时， A ＝ 30° ，所以 B ＝ 30° ，又 a ＝ 1 ， A. 等边三角形 B . 等腰三角形 C. 直角三角形 D . 等腰直角三角形 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同理可得 B ＝ C . ∴△ ABC 的形状为等边三角形 . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 △ ABC 为锐角三角形，且满足 sin B (1 ＋ 2cos C ) ＝ 2sin A cos C ＋ cos A sin C ，则下列等式成立的是 A. a ＝ 2 b B. b ＝ 2 a C. A ＝ 2 B D. B ＝ 2 A √ 解析　 ∵ 等式右边＝ sin A cos C ＋ (sin A cos C ＋ cos A sin C ) ＝ sin A cos C ＋ sin( A ＋ C ) ＝ sin A cos C ＋ sin B ， 等式左边＝ sin B ＋ 2sin B cos C ， ∴ sin B ＋ 2sin B cos C ＝ sin A cos C ＋ sin B . 由 cos C ＞ 0 ，得 sin A ＝ 2sin B . 根据正弦定理，得 a ＝ 2 b . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 由余弦定理，得 a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ 2 ac cos B ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 0 ＜ A ＜ 180° ， 所以 A ＝ 30° ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析 　 设 BC 边上的高为 AD ，则 BC ＝ 3 AD ， 10. 已知 a ， b ， c 分别为 △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 的对边， a ＝ 2 ，且 (2 ＋ b )(sin A － sin B ) ＝ ( c － b )sin C ，则 △ ABC 面积的最大值为 ____. 解析　 由正弦定理得 (2 ＋ b )( a － b ) ＝ ( c － b ) c ， 即 ( a ＋ b )·( a － b ) ＝ ( c － b )· c ，即 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ≥ 2 bc － 4 ，即 bc ≤ 4 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 BD ＝ 2 DC ，设 CD ＝ x ， AD ＝ y ， 又 cos ∠ ADB ＝ cos( ∠ DAC ＋ C ) 即 x 2 ＝ 1 ，所以 x ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ 2 ac cos B . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束