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- 2021-06-12 发布
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结论1:设那么
上是增函数;
上是减函数.
例:在上的偶函数满足:任意,有.则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【掌握练习】
1、已知满足对任意都有成立,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数对任意都有成立,不妨设,则,所以函数
是减函数,因此,解得.
2、定义在上的函数,已知函数的图象关于直线对称,对任意的,(),都有,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
结论2:若函数为偶函数,则。
例:已知偶函数在上单调递增函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可知函数在是减函数,图像关于轴对称,不等式转化为,∴,∴,不等式的解集为.
【掌握练习】
1、已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于为偶函数,故,等价于,所以,即.
2、设是上的偶函数,且在上递增,若,,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.或
【答案】A
结论3:常见的几个奇函数及奇偶性的“运算律”:
①常见几个奇函数:;
②奇函数奇函数=奇函数;偶函数偶函数=偶函数;奇函数奇函数=偶函数;偶函数偶函数=偶函数;奇函数偶函数=奇函数,除法相同。
例:已知函数,若,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据函数是奇函数,故,故选.
【掌握练习】
1、 已知函数,则( )
A.4 B.2 C.1 D.0
【答案】A
2、若函数(, ),, ,则( )
A. B. C.0 D.不存在
【答案】B
【解析】
因为,所以函数是奇函数,
由可知,应选答案B。
结论4:若函数为奇函数,则函数(为常数)有以下性质:
①;②
例:已知定义域为的函数有最大值和最小值,且最大值与最小值的和为6,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
令,显然为奇函数,最大值、最小值互为相反数,设为,则
的最大值、最小值分别为,和为.
【掌握练习】
1、函数(为常数),若在上有最小值为,则在上有( )
A.最大值8 B.最大值6 C.最大值4 D.最大值2
【答案】A
2、已知函数,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由得,
而。
结论5:①若函数是偶函数,则;若函数是偶函数,则,且其函数图像关于直线对称.
②若函数是奇函数,则;若函数是奇函数,则
,且其函数图像关于点对称.
例:已知二次函数,若是偶函数,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是偶函数,即, ,
解得:.
【掌握练习】
1、 函数在上单调递增,且函数是偶函数,则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2、已知函数在时有极大值,且为奇函数,则的一组可能值依次为( )
A., B., C., D.,
【答案】D
【解析】
依题意得,,即,,排除A,B;由是奇函数得,即,函数的图象关于点对称,即,,,,,结合选项C,D,取得,,因此选D.
结论6:①对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称. ②若对于函数(),恒成立,则函数的对称中心是。
例:已知函数的图像关于直线对称,且当时,有,则当时,函数( )
A. B. C. D.
【答案】C
【掌握练习】
1、 下列函数中,其图像与函数的图像关于直线对称的是( )
A. B. C. D,
【答案】B
【解析】
关于对称,则.故选B.
2、已知函数,则错误的是( )
A.在单调递增 B.在单调递减
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称
【答案】D
【解析】
因为,即,所以的图象关于直线对称,所以C对D错.
结论7:函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),
①,则是以为周期的周期函数;
②,则是以为周期的周期函数;
③,则是以为周期的周期函数;
④,则是以为周期的周期函数;
⑤,则是以为周期的周期函数.
⑥,则是以为周期的周期函数.
⑦,则是以为周期的周期函数.
⑧函数满足(),若为奇函数,则其周期为,
若为偶函数,则其周期为.
⑨函数的图象关于直线和都对称,则函数是以
为周期的周期函数;
⑩函数的图象关于点、都对称,则函数是以为周期的周期函数;
⑾函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数;
例:已知定义在上的函数是奇函数,且满足,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【掌握练习】
1、函数对于任意实数满足条件,若则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为,所以,所以,
所以.
2、已知函数为奇函数,函数为偶函数,且,则( )
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】
由函数为奇函数,可知函数关于点(1,0)中心对称,由函数为偶函数,可知函数关于直线对称,则函数的周期为8,则。