【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-2两条直线的位置关系教案 9页

第二节 两条直线的位置关系 [考纲传真] (教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂 直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离． (对应学生用书第 111 页) [基础知识填充] 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为 常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解．若方程 组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有 无数个解，则两条直线重合． 3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距 离|P1P2| |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C ＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By ＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2| A2＋B2 [知识拓展] 1．直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 2．两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条 件是 A1B2－A2B1＝0. 3．两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是 A1A2 ＋B1B2＝0. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx0＋b| 1＋k2.( ) (4)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2， C2 为常数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.( ) (5)若点 P，Q 分别是两条平行线 l1，l2 上的任意一点，则 P，Q 两点的最小距 离就是两条平行线的距离．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于( ) A． 2 B．2－ 2 C． 2－1 D． 2＋1 C [由题意得|a－2＋3| 2 ＝1，即|a＋1|＝ 2，又 a>0，∴a＝ 2－1.] 3．直线 l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线 l 恒过定点________． (2，－2) [直线 l 的方程变形为 a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由 x＋y＝0， －2x＋y＋6＝0， 解得 x＝2，y＝－2， 所以直线 l 恒过定点(2，－2)．] 4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________. 【导学号：79170269】 2 [由 a a－3 ＝－2，得 a＝2.] 5．已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，则它们之间的距离是 ________． 2 [∵6 3 ＝m 4 ≠ 14 －3 ，∴m＝8， 直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋4y＋7＝0， ∴两平行线之间的距离 d＝|－3－7| 32＋42 ＝2.] (对应学生用书第 112 页) 两条直线的平行与垂直 (1)设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2： x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2018·潍坊模拟)过点(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 (1)A (2)A [(1)当 a＝1 时，显然 l1∥l2， 若 l1∥l2，则 a(a＋1)－2×1＝0，所以 a＝1 或 a＝－2. 所以 a＝1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件． (2)直线 x－2y＋3＝0 的斜率为1 2 ，从而所求直线的斜率为－2. 又直线过点(－1,3)， 所以所求直线的方程为 y－3＝－2(x＋1)，即 2x＋y－1＝0.] [规律方法] 1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的 影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况， 同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． 2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论，可避免讨论．另外当 A2B2C2≠0 时，比例式A1 A2 与B1 B2 ，C1 C2 的关系容易记住， 在解答选择、填空题时，有时比较方便． [变式训练 1] 已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1＝0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的值为( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8 A [∵l1∥l2，∴kAB＝4－m m＋2 ＝－2，解得 m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴ －1 n ×(－2)＝－1， 解得 n＝－2，∴m＋n＝－10.] 两直线的交点与距离问题 (1)直线 l 过点 P(－1,2)且到点 A(2,3)和点 B(－4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为________． (2)过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y－2＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所 截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l 的方程． (1)x＋3y－5＝0 或 x＝－1 [法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. 由题意知|2k－3＋k＋2| k2＋1 ＝|－4k－5＋k＋2| k2＋1 ， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－1 3 ， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－1 3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－1，也符合题意． 法二：当 AB∥l 时，有 k＝kAB＝－1 3 ，直线 l 的方程为 y－2＝－1 3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线 l 的方程为 x＝－1. 故所求直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.] (2)设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0，y0)，则直线 l 与 l2 的交点 B(6－x0，－y0)， 2 分 由题意知 2x0－y0－2＝0， 6－x0－y0＋3＝0， 解得 x0＝11 3 ， y0＝16 3 ， 6 分 即 A 11 3 ，16 3 ，从而直线 l 的斜率 k＝ 16 3 －0 11 3 －3 ＝8， 10 分 直线 l 的方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0. 12 分 [规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点 坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参 数． 2．利用距离公式应注意：①点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离 d＝|x0－a|，到直 线 y＝b 的距离 d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等． [变式训练 2] (1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－1 2x＋2 的交点位于第一象 限，则实数 k 的取值范围是________. 【导学号：79170270】 (2)(2018·石家庄模拟)若直线 l1：x＋ay＋6＝0 与 l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行， 则 l1 与 l2 间的距离为________． (1) －1 6 ，1 2 (2)8 2 3 [法一：由方程组 y＝kx＋2k＋1， y＝－1 2x＋2， 解得 x＝2－4k 2k＋1 ， y＝6k＋1 2k＋1 . (若 2k＋1＝0，即 k＝－1 2 ，则两直线平行) ∴交点坐标为 2－4k 2k＋1 ，6k＋1 2k＋1 . 又∵交点位于第一象限， ∴ 2－4k 2k＋1 ＞0， 6k＋1 2k＋1 ＞0， 解得－1 6 ＜k＜1 2. 法二：如图，已知直线 y＝－1 2x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0)，B(0,2)． 而直线方程 y＝kx＋2k＋1 可变形为 y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点 P(－ 2,1)，斜率为 k 的动直线． ∵两直线的交点在第一象限， ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA＜k＜kPB． ∵kPA＝－1 6 ，kPB＝1 2. ∴－1 6 ＜k＜1 2. (2)由 a(a－2)＝3 得 a＝3 或 a＝－1，经检验 a＝3 时两直线重合，因此 a＝－1， 此时 l1 的方程为 x－y＋6＝0，l2 的方程为 x－y＋2 3 ＝0，两条直线间的距离为 d ＝|6－2 3| 2 ＝8 2 3 .] 对称问题 (1)平面直角坐标系中直线 y＝2x＋1 关于点(1,1)对称的直线 l 方程是 ________． (2)光线从 A(－4，－2)点射出，到直线 y＝x 上的 B 点后被直线 y ＝x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(－1,6)，则 BC 所在的直线方程是________． (1)y＝2x－3 (2)10x－3y＋8＝0 [(1)法一：在直线 l 上任取一点 P′(x，y)， 其关于点(1,1)的对称点 P(2－x,2－y)必在直线 y＝2x＋1 上，∴2－y＝2(2－x) ＋1，即 2x－y－3＝0. 因此，直线 l 的方程为 y＝2x－3. 法二：由题意，l 与直线 y＝2x＋1 平行，设 l 的方程为 2x－y＋c＝0(c≠1)，则 点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c| 22＋1 ＝|2－1＋1| 22＋1 ，解得 c＝－3. 因此所求直线 l 的方程为 y＝2x－3. 法三：在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点 A 关于点(1,1)对称 的点 M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的点 N(1，－1)．由两点式求出对称直线 MN 的方程为y＋1 1＋1 ＝x－1 2－1 ，即 y＝2x－3. (2)作出草图，如图所示，设 A 关于直线 y＝x 的对称点为 A′，D 关于 y 轴的 对称点为 D′，则易得 A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C． 故 BC 所在的直线方程为 y－6 －4－6 ＝ x－1 －2－1 ，即 10x－3y＋8＝0.] [母题探究 1] 在题(1)中“将结论”改为“求点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的对称 点”，则结果如何？ [解] 设点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的对称点为 A′(a，b)， 2 分 则 AA′的中点为 1＋a 2 ，1＋b 2 ， 4 分 所以 1＋b 2 ＝2×1＋a 2 ＋1， b－1 a－1 ×2＝－1， 解得 a＝－3 5 ， b＝9 5 ， 10 分 故点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的对称点为 －3 5 ，9 5 . 12 分 [母题探究 2] 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x－y＝0 对称”， 则结果如何？ [解] 在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点 A 关于直线 x－y＝0 的对称点为 M(1,0)，点 B 关于直线 x－y＝0 的对称点为 N(3,1)， 6 分 根据两点式，得所求直线的方程为y－1 0－1 ＝x－3 1－3 ，即 x－2y－1＝0. 12 分 [规律方法] 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中 心对称转化为点关于点的对称． 2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是 已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的 中点在对称轴上． [变式训练 3] (1)(2017·广州模拟)直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＋y－2＝0 对称的 直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 (2)直线 l1：3x－y＋1＝0 与直线 l2：3x－y＋7＝0 关于直线 l 对称，则直线 l 的 方程为________． 【导学号：79170271】 (1)B (2)3x－y＋4＝0 [(1)由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＋y－2＝0 的 交点坐标为(1,1)．在直线 x－2y＋1＝0 上取点 A(－1,0)， 设 A 点关于直线 x＋y－2＝0 的对称点为 B(m，n)， 则 n－0 m＋1 ×－1＝－1， m－1 2 ＋n 2 －2＝0， 解得 m＝2， n＝3. 故所求直线的方程为y－1 3－1 ＝x－1 2－1 ，即 2x－y－1＝0. (2)由题意知 l1∥l2，设直线 l 的方程为 3x－y＋m＝0， 则|m－1| 10 ＝|m－7| 10 ，即|m－1|＝|m－7| 解得 m＝4，故直线 l 的方程为 3x－y＋4＝0]