专题11+基本不等式及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破 8页

专题11 基本不等式及其应用 ‎【自主热身，归纳总结】‎ ‎1、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．‎ ‎【答案】：2　‎ ‎【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．‎ 因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．‎ ‎2、已知正数满足，则的最小值为 ． ‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】： =9．‎ ‎3、已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 ． ‎ ‎ 【答案】： ‎ ‎4、已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________． ‎ ‎【答案】25　‎ ‎【解析】：由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．‎ ‎5、已知正实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】：因为，所以．又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．‎ 易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．‎ ‎ 6、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．‎ ‎【答案】　‎ 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.‎ 解法1 由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．‎ 思路分析2 由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来．‎ 解法2 由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，与mn＝1联立解得m＝，n＝，从而x2＋y2≥＝.‎ ‎7、若正实数满足，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎【答案】、8 ‎ ‎【解析】： 因为正实数满足，‎ 所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.‎ ‎8、若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．‎ ‎【答案】： 8　‎ 解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，‎ 所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝‎ ，所以＋的最小值为8.‎ 解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，‎ 所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.‎ 解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．‎ ‎9、 已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．‎ ‎【答案】. 36　‎ ‎【解析】：因为正数a，b满足＋＝－5，所以－5≥2，当且仅当9a＝b时等号成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)min＝36.‎ ‎10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎11、 已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎【答案】25　‎ ‎【解析】：因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.‎ ‎12、 已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是________．‎ ‎【答案】： －2‎ 解法1 ＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当a＜0，且＝，即a＝－2，b＝4时取等号．‎ 解法2 因为a＋b＝2，b＞0，所以＋＝＋(a＜2)．‎ 设f(a)＝＋(a＜2)，‎ 则f(a)＝ 当a＜0时，f(a)＝－－，从而f′(a)＝－＝，故当a＜－2时，f′(a)＜0；当－2＜a＜0时，f′(a)＞0，故f(a)在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a＝－2时，f(a)取得极小值；同理，当0≤a＜2时，函数f(a)在a＝处取得极小值.综上，当a＝－2时，f(a)min＝.‎ ‎【问题探究，变式训练】 ‎ ‎:例1、 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎【答案】： 　‎ 解法1 令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．‎ 解法2 (幂平均不等式)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋≥＝.‎ 解法3 (常数代换)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当a＝2b时取等号．‎ ‎【变式1】、已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．‎ ‎【答案】　‎ 设解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅当＝，即m＝n时取等号．‎ ‎【变式2】、已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ．‎ ‎.【答案】： ‎ ‎【解析1】：令，从而得，故，当且仅当，即时等号成立。 ‎ 解法2 设BD＝CD＝m，AD＝n，则由已知得7(2m)2＋2(m2＋n2)＝4，所以15m2＋n2＝2≥2mn，所以mn≤，当且仅当15m2＝n2时取等号，此时m2＝，所以面积的最大值为.‎ 例3、 若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为________．‎ ‎【答案】. 　‎ ‎【解析】： 在2x2＋xy－y2＝1中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.‎ 由2x2＋xy－y2＝1，得(2x－y)(x＋y)＝1，设2x－y＝t，x＋y＝，其中t≠0.则x＝t＋，y＝－t，从而x－2y＝t－，5x2－2xy＋2y2＝t2＋，记u＝t－，则＝＝≤＝，当且仅当u＝，即u＝时取等号，即最大值为.‎ ‎【变式1】、 已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．‎ ‎【答案】： 　‎ 解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，则有u>0，v>0，uv＝1，并且x＝，y＝，代入12x2＋8xy－y2＝122＋8··－2＝≥＝＝＝，当且仅当u＝3v，uv＝1，即u＝，v＝，亦即x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.‎ 解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2‎ ‎＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，因为x>0，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，则00，f(t)单调递增，所以当t＝时，f(t)取极小值，也是最小值f＝.‎ 此时x＝2y，结合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝，y＝，即当x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.‎ 解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux2＋vy2≥2xy.12x2＋8xy－y2≥12x2＋8xy－y2＋(2xy－ux2－vy2)，即12x2＋8xy－y2≥(12－u)x2＋(8＋2)xy－(v＋1)y2.令(12－u)x2＋(8＋2)xy－(v＋1)y2＝t(5x2＋4xy－y2)＝t，则12－u＝5t，8＋2＝4t，v＋1＝t，解得t＝，u＝，v＝，‎ 所以12x2＋8xy－y2＝＋≥＋2＝x2＋xy－y2＝(5x2＋4xy－y2)＝，当且仅当x＝2y，结合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝，y＝，即当x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.‎ ‎【变式2】、若正实数x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，则x＋的最大值为________．‎ ‎【答案】：. －1　‎ 解法1 令x＋＝z，则2xy＝2yz－1，代入(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)整理得(4z2－5)y2－8(z－1)y＋8＝0　(*)，由题意得y－2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z－1)2－32(4z2－5)≥0，化简得2z2＋4z－7≤0, 故00，y1·y2＝>4，故方程必有大于2的实根，所以x＋的最大值为－1.‎ 解法2 (2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，即2＝，则x＝，所以 x＋＝ ＋ ‎ ＝ ＋－1‎ ‎ ≤ －1‎ ‎ ＝－1，‎ 当且仅当 ＝＋1，即y＝>2时等号成立，所以x＋的最大值为－1.‎ 解法3 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)得2＝，‎ 即2＝9－2，即2＋2＝9，‎ 所以9＝2＋2≥2x－＋＋22，所以x＋≤－1.‎ ‎【变式3】、若实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．‎ ‎【答案】：2‎ 思路分析 设x＝a,2y＝b，则问题变简单了．‎ 设x＝a,2y＝b，则实数a，b满足(a－b)2＋(ab)2＝4.‎ 因为(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝4－(ab)2＋4ab＝8－(ab－2)2≤8，‎ 当且仅当a＝b＝时，a＋b取最大值2，此时x＝2y，所以＝2.‎ ‎【关联1】、 已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：对于正实数x，y，由x＋y＋4＝2xy得x＋y＋4＝2xy≤，解得x＋y≥4，‎ 不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0可化为(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0，‎ 令t＝x＋y(t≥4)，则该不等式可化为t2－at＋1≥0，即a≤t＋对于任意的t≥4恒成立，‎ 令u(t)＝t＋(t≥4)，则u′(t)＝1－＝>0对于任意的t≥4恒成立，从而函数u(t)＝t＋(t≥4)为单调递增函数，所以u(t)min＝u(4)＝4＋＝，于是a≤. ‎ ‎【关联2】、 设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．‎ ‎【答案】. 6＋4　‎ 解法1 因为－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，则3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立．‎ 解法2 令t＝3x2－2xy，则y＝，代入方程－y2＝1并化简得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，则8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋4，当取得最小值时，u＝2＋满足题意．‎ 解法3 因为－y2＝1＝，所以令＋y＝t，则－y＝，从而则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立．‎