2018届二轮复习圆的方程学案（江苏专用） 5页

专题 9.3 圆的方程 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 平面解析几 何初步 圆的标准 方程与一 般方程 √ 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 【直击考点】 题组一 常识题 1． 圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是______________． 【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2． 以线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为____________________． 【解析】∵易得线段 AB 的中点(1，1)即为圆心，线段的端点为(0，2)，(2，0)，∴圆的半径 r＝ 2， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 3． 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取值范围是____________． 【解析】因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，所以 (1－a)2＋(1＋a)2<4，即 a2<1，故－10，解得－2r⇔点 A 在圆外⇔ 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r－ ＋ － . 考点 2 圆的方程综合应用 1. 圆的标准方程为： 2 2 2( ) ( )x a y b r    2．圆的一般方程．： 2 2 0x y Dx Ey F     （ 2 2 4 0D E F   ）. 3.点 0 0 0( , )P x y 到直线 : 0l Ax By C   的距离： 0 0 2 2 Ax By Cd A B    . 【考点深度剖析】 圆是常见曲线，也是解析几何中的重点内容，几乎每年高考都有一至二题，主要以填空形式出现，难度不 大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质 【重点难点突破】 考点 1 求圆的方程 【1-1】求圆心在 x 轴上，半径为 5，且过点 A（2，-3）的圆的方程. 【答案】 2 2( 2) 25x y   或 2 2( 6) 25x y   . 【解析】 【1-2】已知圆心为C 的圆经过点 (1,1)A 和 (2, 2)B  ,且圆心在 : 1 0l x y   上,求圆心为C 的圆的标准方 程． 【答案】 2 2( 3) ( 2) 25x y    【解析】 （1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为： 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，则由题意得： 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (2 ) ( 2 ) 1 0 a b r a b r a b                   ① ② ③ . ②－①得： 3 3 0a b   …………………………………………④⑤⑥ ③－④得： 2b   ，代入④得： 3a   . 将 3, 2a b    代入①得： 2 25r  . 所以所求圆的标准方程为： 2 2( 3) ( 2) 25x y    . 法二、由点斜式可得线段 AB 的垂直平分线的方程为： 3 3 0x y   . 因为圆心在 : 1 0l x y   上，所以线段 AB 的垂直平分线与直线 : 1 0l x y   的交点就是圆心. 解方程组 3 3 0 1 0 x y x y        得 3 2 x y      ，所以圆心为 ( 3, 2)C   . 圆的半径 2 2( 3 1) ( 2 1) 5r AC        ， 所以所求圆的标准方程为： 2 2( 3) ( 2) 25x y    . 【1-3】 ABC 的三个顶点的坐标是 (5,1), (7, 3), (2, 8),A B C  求它的外接圆的方程． 【答案】 2 2 8 6 0x y x y    【思想方法】 1.求圆的方程，采用待定系数法： ①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程． 2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 【温馨提醒】求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准 方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法． 考点 2 圆的方程综合应用 【2-1】(2014.无锡模拟)在圆 2 2 2 6 0x y x y    内，过点 (0,1)E 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ， 则四边形 ABCD 的面积为_______. 【答案】 5 2 【解析】由题意， AC 为直径.设圆心为 F ，则 FE BD ，圆的标准方程为   2 21 3 10x y    ，故  1,3F ，由此，易得： 2 10AC  ，又 3 1 21 0EFk   ，所以直线 BD 的方程为 1 12y x   ， F 到 BD 的距离为 1 1 32 5 5 2     ，由此得， 2 5BD  . 所以四边形 ABCD 的面积为 1 1 2 5 2 10 10 22 2S AC BD      . 【2-2】 P(x y)， 在圆 2 2C (x 1) (y 1) 1： － ＋ － ＝ 上移动，试求 2 2x y＋ 的最小值． 【答案】 3 2 2 【解析】由已知 C(1 1)， 得 OC＝ 2 ，则 minOP 2 1＝ － ，即( 2 2x y )min 2 1＝ － .所以 2 2x y＋ 的最小值 为 22 1) 3 2 2 ( － . 【2-3】设圆满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为 3：1；③圆心到直线 : 2 0l x y  的距离为 5 5 ，求该圆的方程． 【答案】 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 1) ( 1) 2x y    【思想方法】 1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列 出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程； 2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任 一弦的中垂线上； 3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确. 【温馨提醒】在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几 何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题. 【易错试题常警惕】 [失误与防范] 1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． 2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．