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- 2021-06-12 发布
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数学试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<-2 C.a>3或a<-2 D.a>3或-6<a<-2
3.若圆C与圆E:关于原点对称,则圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
4.若椭圆的焦距为2,则m的值是( )
A、5 B、8 C、5或3 D、20
5.在正方体中,E为棱CD的中点,则( )
A. B. C. D.
6.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( )
A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对
7.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有( )
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
8.空间中设表示不同的直线,表示不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
9、已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2
-6x=0相交于A、B两点,那么线段AB的中垂线为( )
A、x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0
10.已知,是椭圆的左,右焦点, 是的左顶点,点在过且斜率为的直线上, 为等腰三角形, ,则的离心率为( )
A. B. C. D.
11.长方体的底面是边长为1的正方形,若在侧棱上存在点,使得,则侧棱的长的最小值为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
12、在平面直角坐标系中,已知椭圆和.为上的动点, 为上的动点, 是的最大值. 记, ={(P.Q)|P在上, 在上,且,则中元素个数为( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m= _______.
14.已知圆与直线相交于、两点,则当△的面积最大时,则实数的值为__________.
15. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________.
16.已知函数f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,若f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是________.
三、解答题:本题共6小题,17小题10分,18—22小题每小题12分,共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)已知点A(0,)和圆O1:x2+(y+)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|=|PA|,求动点P的轨迹方程.
18.(本小题满分12分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p或q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>0且¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)如图1,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
如图1
20.(本小题满分12分)如图2,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上异于A、B的点.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.
图2
21.(本题12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
22.(本题12分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线与圆O:相切.
(1)直线l过点(2,1)且截圆O所得的弦长为,求直线l的方程;
(2)已知直线y=3与圆O交于A,B两点,P是圆上异于A,B的任意一点,且直线AP,BP与y轴相交于M,N点.判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.