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- 2021-06-12 发布
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杨浦区统考高三期中数学卷
一、填空题
1.函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
试题分析:要使有意义,则,即,即该函数的定义域为;故填.
考点:函数的定义域.
2.方程的解为________.
【答案】
【解析】
【分析】
解对数方程,首先要注意对数真数要大于0,再解方程即可得解.
【详解】解:解方程,可得,
所以, 解得,即,
故答案为: .
【点睛】本题考查了解对数方程,重点考查了对数函数的定义域,属基础题.
3.如图,在正方体中,直线与平面所成的角等于____.
【答案】
【解析】
【详解】正方体中,连接交于点M,连接,
由题可得:,,
所以直线平面,
所以直线与平面所成的角等于,
设正方体的边长为,
所以,,
所以,
所以
【点睛】本题主要考查了线面角知识,关键是作出线面角对应的平面角,然后再说明该角就是对应的线面角,根据图形解三角形即可。
4.已知角终边经过点 (始边为轴正半轴),则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的定义可得:,,
由正弦的二倍角公式可得:,再代入运算即可.
【详解】解:因为角的终边经过点,
由三角函数的定义可得,
则,
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角函数的定义及正弦的二倍角公式,属基础题.
5.在的展开式中,常数项等于_______.(结果用数值表示)
【答案】
【解析】
分析】
先求出二项式的展开式的通项公式为,再令,求解代入运算即可.
【详解】解:由二项式的展开式的通项公式为,令,解得,
即在的展开式中,常数项等于,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式,重点考查了运算能力,属基础题.
6.若,且,则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【详解】根据题意,由于,且,
那么可知1=2x+y≥2,
∴xy≤,
因此答案为.
考点:均值不等式运用
点评:主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用,属于基础题。
7.已知幂函数的图象经过点,则它的反函数为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数为幂函数,设,将已知条件代入可得,,
再用表示,从而求得函数的反函数.
【详解】解:因为函数为幂函数,设,则,则,
即幂函数解析式为,,
即 ,即函数的反函数为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了幂函数及反函数的求法,属基础题.
8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取5个不同的数,中位数为4的取法有________种.(用数值表示)
【答案】30
【解析】
【分析】
由题意可知,任取5个不同的数,中位数为4,则等价于应在1,2,3中取2个数,在5,6,7,8,9中取2个数,再结合组合知识求解即可.
【详解】解:从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取5个不同的数,中位数为4,
则应在1,2,3中取2个数,在5,6,7,8,9中取2个数,
即不同的取法有,
故答案为:30.
【点睛】本题考查了排列、组合的有关知识,重点考查了中位数的概念,属基础题.
9.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形,若此扇形的圆心角为、面积为,则该圆锥的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由扇形的圆心角为、面积为,求出圆锥的母线长及底面圆半径,再利用勾股定理求出圆锥的高,再利用圆锥的体积公式求解即可.
【详解】解:由扇形的面积公式有:,解得 ,
由弧长公式有,即,即该圆锥的母线长为,底面圆周长为 ,
即底面圆半径为3,由勾股定理可得圆锥的高为,
由圆锥的体积公式可得,
故答案为:.
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式及圆锥的体积公式,重点考查了运算能力,属基础题.
10.在中,内角、、的对边分别为、、,若,,则的面积的最大值等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得,由余弦定理及重要不等式可得,再结合三角形面积公式即可得解.
【详解】解:因为,由正弦定理可得,所以,又,所以,
由余弦定理可得 可得,,即,当且仅当=2时取等号,
即,又,所以,
即的面积的最大值等于,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,重点考查了重要不等式,属中档题.
11.在高中阶段,我们学习过函数的概念、性质和图像,以下两个结论是正确的:① 偶函数在区间()上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的;② 周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域,由此可求函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先阅读题意,再将问题转化为求函数的值域,
再利用辅助角公式求函数的值域即可得解.
【详解】解:因为的周期为,且为偶函数,则由题意可得:
的值域即为的值域,
又,
又因为,所以,
则当时,函数取最大值,又 ,,
则函数最小值为2,
即函数的值域为,
即函数的值域为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了函数性质的应用,考查了三角函数值域的求法,属中档题.
12.定义在实数集上的偶函数满足,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由已知可得,再构造,然后可得函数的周期性和奇偶性,再利用函数的性质得,再求解即可.
【详解】解:因为,所以,
即,即,
令,则,可得函数的周期为2,
所以,
又为偶函数,则为偶函数,
又因为,所以,
即,即,
解得,
又,
即,即,
故答案为:.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性,重点考查了函数性质的应用,属难度较大的题型.
二、 选择题
13.已知,则“” 是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由的平方关系:运算即可得解.
【详解】解:由,当 “”时 可得“”,当“”时可得“”,即“” 是“”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查了的平方关系,重点考查了充分必要条件的判定,属基础题.
14.某班有20名女生和19名男生,从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组,要求女生和男生均不少于2人的选法共有( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组,要求女生和男生均不少于2人,
分选出的5人为2女3男,和3女2男两种情况讨论即可.
【详解】解:从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组,要求女生和男生均不少于2人,
当选出的5人为2女3男时,共有不同选法为种,
当选出的5人为3女2男时,共有不同选法为种,
即从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组,要求女生和男生均不少于2人的选法共有种,
故选:D.
【点睛】本题考查了排列组合中的分类原理,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属基础题.
15.已知二面角是直二面角,为直线,为平面,则下列命题中真命题为( )
A. 若,则 B. 若,则∥
C. 若∥,则 D. 若∥,则
【答案】D
【解析】
【分析】
由二面角是直二面角,则,再结合空间中的线面关系,线线关系,线面垂直、平行的性质定理,判定定理 判断即可得解.
【详解】解:对于选项A,若,则与相交或或∥,即A错误;
对于选项B,若,则∥或,即B错误;
对于选项C,若∥,则与相交或或∥,即C错误;
对于选项D,若∥,则,即D正确,
故选:D.
【点睛】本题考查了空间线线、线面、面面关系,重点考查了空间想象能力,属基础题.
16.记有限集合中元素的个数为,且,对于非空有限集合、,下列结论:① 若,则;② 若,则;③ 若,则、中至少有个是空集;④ 若,则;其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先阅读题意,取特例 ,,可得①③错误,由集合中元素的互异性可得②④正确.
【详解】解:对于①,取 ,,满足,但不满足,即①错误;
对于②,因为,由集合中元素的互异性可得,即②正确;
对于③,取 ,, 满足,但不满足、中至少有个是空集,即③错误;
对于④,,则集合中无公共元素,则,即④正确;
综上可得②④正确,
故选:B.
【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性,重点考查了集合交集、并集的运算,属中档题.
三、解答题
17.在正三棱柱中,分别为棱,的中点,去掉三棱锥得到一个多面体,已知,.
(1)求多面体的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由,再结合棱锥与棱柱的体积公式求解;
(2)由平行线的传递性可得(或其补角)为异面直线与所成角,然后在中求解即可.
【详解】解:(1)由图可知
,
故多面体的体积为;
(2)因为, ,所以,
则(或其补角)为异面直线与所成角,
在中, ,,
则 ,
即,
故异面直线与所成角的大小为.
【点睛】本题考查了棱锥与棱柱的体积公式及异面直线所成角的求法,重点考查了异面直线所成角的作法,属中档题.
18.《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施,某小区全面实施垃圾分类处理,已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨,每月垃圾分类处理成本(元)与每月分类处理量(吨)之间的函数关系式可近似表示为,而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.
(1)该小区每月分类处理多少吨垃圾,才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低;
(2)要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损,每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围?
【答案】(1)200吨;(2).
【解析】
【分析】
(1)先列出每吨垃圾分类处理的平均成本关于分类处理量的函数关系,再结合重要不等式求最值即可,再运算取等的条件;
(2)先列出每月获利元与分类处理量的函数关系,再求解即可得解.
【详解】解:(1)由题意可知,每吨垃圾分类处理的平均成本为月处理成本除以月处理量,
即,
又 ,当且仅当,即时取等号,
故时,才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低;
(2)设该小区每月获利为元,则该小区每月获利为月分类处理垃圾的利润减去月处理成本,
,
令,解得,又,
即,
故要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损,每月的垃圾分类处理量应控制在.
【点睛】本题考查了重要不等式的应用及二次不等式的解法,重点考查了阅读理解能力,属中档题.
19.已知是实常数,函数.
(1)若,求证:函数是减函数;
(2)讨论函数的奇偶性,井说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当,偶函数;当,奇函数,当,非奇非偶函数.
【解析】
【分析】
(1)利用定义法,设,证明,即可得函数为减函数;
(2)分别讨论的值,观察或是否恒成立.
【详解】解:(1)当时,,,
设,
则,
又,
即 ,
即,
即,
故当时,函数是减函数;
(2)由(1)可得,函数的定义域为,
因为,
所以,
则,
显然当时,,即,即函数为奇函数,
则,
显然当时,,即,即函数为偶函数,
当且时,且,即函数为非奇非偶函数.
故当时,即函数为奇函数,当时,函数为偶函数,当且时,函数为非奇非偶函数.
【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的增减性及判断函数的奇偶性,属中档题.
20.如图是函数一个周期内的图象,将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象.
(1)求函数和的解析式;
(2)若,求的所有可能的值;
(3)求函数(为正常数)在区间内的所有零点之和.
【答案】(1),;(2)或1;(3)当时,;当时,;当时,171.
【解析】
【分析】
(1)由三角函数图象求得,,,再由三角函数图象的平移可得;
(2)由,解得或,再求解即可;
(3)先解得,再讨论与1的大小关系,再解三角方程,结合正弦函数图象的对称性求各零点之和即可.
【详解】解:(1)由图可知,,即,即,
则,又,又,所以,
故,
将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得函数解析式为,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则,
即,;
(2)当,即,解得即或,即或或()
当时,所以,
当时,,
当时,,
故的所有可能的值为或1;
(3)令,即,即,
解得,又因为,又,所以 ,
当时,由函数的对称轴方程可得在,()有两个解,且两解之和,
则在根之和为,
当 ,即时,方程无解,
当 ,即时,方程的解为 ,(),则在的根之和为,
当 ,即时,方程在,()有两个解,且两解之和,
则在的根之和为,
综上可得:当时,函数在区间内的所有零点之和为.
当时,函数在区间内的所有零点之和为.
当时,函数在区间内的所有零点之和为.
【点睛】本题考查了利用三角函数图象求解析式、三角函数图象的平移及解三角方程,重点考查了三角函数图象的性质,属难度较大的题型.
21.对于定义在上的函数,如果存在两条平行直线与,使得对于任意,都有恒成立,那么称函数是带状函数,若,之间的最小距离存在,则称为带宽.
(1)判断函数
是不是带状函数?如果是,指出带宽(不用证明);如果不是,说明理由;
(2)求证:函数()是带状函数;
(3)求证:函数()为带状函数的充要条件是.
【答案】(1)是,带宽;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先理解带状函数的特征,再求函数的值域即可得解;
(2)由函数,()的图像表示双曲线 在第一象限的部分,
再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线;
(3)由分段函数的图像特征,结合带状函数的定义,分别证明充分性及必要性即可.
【详解】解:(1)因为,所以,
取直线 ,则恒成立,
即函数是带状函数,带宽为;
(2)因为,()表示双曲线 在第一象限的部分,又双曲线的渐近线方程为,故函数满足,则函数为有一个宽带为的带状函数;
(3)函数 ,
先证充分性,当时,,
不妨设 ,则,即存在直线,,满足题意,即函数为带状函数,
再证必要性,当函数()为带状函数,
则存在,又,当,则直线与两直线,中至少一条相交,故不满足,即不满足题意,即,
故函数()为带状函数的充要条件是.
【点睛】本题考查了对带状函数的理解,重点考查了函数的值与及函数的特征,属难度较大的题型.