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2016-2017学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x﹣y=0的斜率是( )
A.1 B.﹣1 C. D.
2.圆(x﹣1)2+y2=1的圆心和半径分别为( )
A.(0,1),1 B.(0,﹣1),1 C.(﹣1,0),1 D.(1,0),1
3.若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直,则实数a的值为( )
A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4
4.双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B. C. D.
5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( )
A. ⇒α∥β B. ⇒m∥n C. ⇒l∥β D. ⇒m⊥γ
6.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.椭圆的两个焦点分别为F1(﹣1,0)和F2(1,0),若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点,则其离心率的最大值为( )
A. B.﹣1 C. D.
二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
9.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是 .
10.已知命题p:∀x∈R,x2﹣2x+1>0,则¬p是 .
11.实数x,y满足,若m=2x﹣y,则m的最小值为 .
12.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1的中点,点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM,则点P的轨迹的长度为 .
13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=2,则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为 .
14.若曲线F(x,y)=0上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)满足x1≤x2且y1≥y2,则称这两点为曲线F(x,y)=0上的一对“双胞点”.下列曲线中:
①;
②;
③y2=4x;
④|x|+|y|=1.
存在“双胞点”的曲线序号是 .
三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知点A(﹣3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径.
(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D,E两点,且,求直线l的方程.
16.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,点M为侧棱PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC∥平面BDM;
(Ⅱ)若PA⊥PC,求证:PA⊥平面BDM.
17.顶点在原点的抛物线C关于x轴对称,点P(1,2)在此抛物线上.
(Ⅰ)写出该抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)若直线y=x与抛物线C交于A,B两点,求△ABP的面积.
18.已知椭圆经过点D(0,1),一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过的直线l交椭圆C于A,B两点,判断点D与以AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
2016-2017学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x﹣y=0的斜率是( )
A.1 B.﹣1 C. D.
【考点】直线的斜率.
【分析】直接化直线方程为斜截式得答案.
【解答】解:由x﹣y=0,得y=x,
∴直线x﹣y=0的斜率是1.
故选:A.
2.圆(x﹣1)2+y2=1的圆心和半径分别为( )
A.(0,1),1 B.(0,﹣1),1 C.(﹣1,0),1 D.(1,0),1
【考点】圆的标准方程.
【分析】根据圆的标准方程可以直接得到圆心和半径.
【解答】解:由圆的标准方程(x﹣1)2+y2=1可以得到该圆的圆心是(1,0),半径是1.
故选:D.
3.若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直,则实数a的值为( )
A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.
【解答】解:∵两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直,∴2a+2=0,
解得a=﹣1.
故选B.
4.双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由标准方程,求出a和b的值,再根据焦点在x轴上,求出渐近线方程.
【解答】解:双曲线中a=3,b=1,焦点在x轴上,
故渐近线方程为y=±x,
故选B.
5.已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,下面说法正确的是( )
A. ⇒α∥β B. ⇒m∥n C. ⇒l∥β D. ⇒m⊥γ
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,m与n相交、平行或异面;在C中,l与β相交、平行或l⊂β;在D中,由线面垂直的判定定理得m⊥γ.
【解答】解:三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ,知:
在A中, ⇒α与β相交或平行,故A错误;
在B中, ⇒m与n相交、平行或异面,故B错误;
在C中, ⇒l与β相交、平行或l⊂β,故C错误;
在D中, ⇒m⊥γ,由线面垂直的判定定理得m⊥γ,故D正确.
故选:D.
6.一个三棱锥的三视图如图所示,则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.
【解答】解:如图所示,三棱锥P﹣ABC,点P在平面ABC的投影D,则四边形ABCD是矩形.
则三棱锥的体积V==.
故选:B.
7.“直线l的方程为y=k(x﹣2)”是“直线l经过点(2,0)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:若直线l的方程为y=k(x﹣2),
则直线l过(2,0),是充分条件,
若直线l经过点(2,0),
则直线方程不一定是:y=k(x﹣2),
比如直线:x=0,故不是必要条件,
故选:A.
8.椭圆的两个焦点分别为F1(﹣1,0)和F2(1,0),若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点,则其离心率的最大值为( )
A. B.﹣1 C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意,c=1, =,从而a越小e越大,而椭圆与直线相切时,a最小,由此能求出其离心率的最大值.
【解答】解:∵椭圆的两个焦点分别为F1(﹣1,0)和F2(1,0),
∴由题意,c=1,
∴=,
∴a越小e越大,而椭圆与直线相切时,a最小
设椭圆为+=1,
把直线x+y﹣3=0代入,化简整理可得(2a2﹣1)x2+6a2x+10a2﹣a4=0
由△=0,解得:a2=5,
于是a=,
emax==.
故选:A.
二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
9.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是 2 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程,进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离.
【解答】解:根据题意可知焦点F(1,0),准线方程x=﹣1,
∴焦点到准线的距离是1+1=2
故答案为2.
10.已知命题p:∀x∈R,x2﹣2x+1>0,则¬p是 ∃x>1,x2﹣2x+1≤0 .
【考点】命题的否定.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.
【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,
即∃x>1,x2﹣2x+1≤0,
故答案为:∃x>1,x2﹣2x+1≤0
11.实数x,y满足,若m=2x﹣y,则m的最小值为 ﹣3 .
【考点】简单线性规划.
【分析】画出满足的可行域,进而可得当m=2x﹣y过(﹣2,﹣1)点时,m取最小值.
【解答】解:满足的可行域如下图所示:
当m=2x﹣y过(﹣2,﹣1)点时,m取最小值﹣3,
故答案为:﹣3
12.如图,在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点M是侧棱AA1
的中点,点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM,则点P的轨迹的长度为 2 .
【考点】轨迹方程.
【分析】由题意,点P是侧面BCC1B1内的动点,且A1P∥平面BCM,A1P∥平面BCM,则P的轨迹是平行于BC的一条线段,即可得出结论.
【解答】解:由题意,点P是侧面BCC1B1内的动点,
且A1P∥平面BCM,A1P∥平面BCM,则P的轨迹是平行于BC的一条线段,长度为2.
故答案为2.
13.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=2,则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为 .
【考点】棱锥的结构特征.
【分析】取AC的中点,连结OB,OD,求出OB,OD,利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD,结合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC,由此能求出结果.
【解答】解:解:取AC的中点O,连结OB,OD,
∵AD=CD=2,∠ADC=90°,
∴AC=2,OD=AC=,OD⊥AC.
同理OB=,
∵BD=2,
∴OD2+OB2=BD2,∴OB⊥OD,
又AC⊂平面ABC,OB⊂平面ABC,AC∩OB=O,
∴OD⊥平面ABC,
∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=.
故答案为:
14.若曲线F(x,y)=0上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)满足x1≤x2且y1≥y2,则称这两点为曲线F(x,y)=0上的一对“双胞点”.下列曲线中:
①;
②;
③y2=4x;
④|x|+|y|=1.
存在“双胞点”的曲线序号是 ①③④ .
【考点】曲线与方程.
【分析】利用新定义,分别验证,即可得出结论.
【解答】解:由题意①,在第一、三象限,单调递减,满足题意;
②,在第一象限,单调递减,第三象限单调递增,不满足题意;
③y2=4x,存在“双胞点”比如(1,﹣1),(4,﹣4),满足题意;
④|x|+|y|=1,存在“双胞点”比如(0,1),(1,0),满足题意;
故答案为①③④.
三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知点A(﹣3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径.
(Ⅰ)求圆M的方程;
(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D,E两点,且,求直线l的方程.
【考点】直线与圆的位置关系;圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)利用A(﹣3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径,则圆心M的坐标为(﹣1,0),又因为|AM|=2,即可求圆M的方程;
(Ⅱ)过点(0,2)的直线l与圆M相交于D,E两点,且,分类讨论,即可求直线l的方程.
【解答】解:(Ⅰ)已知点A(﹣3,0),B(1,0),线段AB是圆M的直径,
则圆心M的坐标为(﹣1,0).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又因为|AM|=2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以圆M的方程为(x+1)2+y2=4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知圆M的圆心M(﹣1,0),半径为2.
设N为DE中点,则MN⊥l,,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当l的斜率不存在时,l的方程为x=0,此时|MN|=1,符合题意;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+2,由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故直线l的方程为,即3x﹣4y+8=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上,直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0.
16.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,点M为侧棱PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC∥平面BDM;
(Ⅱ)若PA⊥PC,求证:PA⊥平面BDM.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)连接AC,设AC∩BD=O,连接MO,推导出MO∥PC,由此能证明PC∥平面BDM.
(Ⅱ)连接PO,推导出PO⊥BD,BD⊥AC,从而BD⊥平面PAC,进而BD⊥PA,再推导出MO⊥PA,由此能证明PA⊥平面BDM.
【解答】证明:(Ⅰ)如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,
连接AC,设AC∩BD=O,连接MO.
因为ABCD为正方形,则O为AC中点.
又因为M为侧棱PA的中点,所以MO∥PC.
又因为PC⊄面BDM,MO⊂面BDM,
所以PC∥平面BDM.
(Ⅱ)连接PO,在正四棱锥P﹣ABCD中,
PO⊥平面ABCD,
BD⊂平面ABCD,所以PO⊥BD.
又因为BD⊥AC,
AC∩PO=O,且AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,
又因为PA⊂平面PAC,所以BD⊥PA.
由(Ⅰ)得MO∥PC,又因为PA⊥PC,则MO⊥PA.
又MO∩BD=O,且MO⊂平面BDM,BD⊂平面BDM,
所以PA⊥平面BDM.
17.顶点在原点的抛物线C关于x轴对称,点P(1,2)在此抛物线上.
(Ⅰ)写出该抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)若直线y=x与抛物线C交于A,B两点,求△ABP的面积.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)设抛物线方程为y2=2px(p>0),由抛物线经过P(1,2)可得p,即可写出该抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)若直线y=x与抛物线C交于A,B两点,求出|AB|,点P到直线y=x的距离,即可求△ABP的面积.
【解答】解:(Ⅰ)因为抛物线的顶点在原点,且关于x轴对称,
可设抛物线方程为y2=2px(p>0),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由抛物线经过P(1,2)可得p=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以抛物线方程为y2=4x,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
准线方程为x=﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(Ⅱ)由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
可得)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18.已知椭圆经过点D(0,1),一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过的直线l交椭圆C于A,B两点,判断点D与以AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由椭圆经过D(0,1),一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)以AB为直径的圆经过点D.当直线AB与x轴垂直时,D在圆上;当直线AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为,由,得9(2k2+1)x2﹣12kx﹣16=0,由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式,结合已知条件能推导出点D在圆上.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆
经过D(0,1),
∴b=1.
∵一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,∴a=.
所以椭圆C的方程为=1.
(Ⅱ)以AB为直径的圆经过点D,理由如下:
当直线AB与x轴垂直时,由题意知D在圆上,
当直线AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程为.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由,
得9(2k2+1)x2﹣12kx﹣16=0,
△=144k2+64×9(2k2+1)>0,
,,
,.
∴
=
=(1+k2)x1x2﹣(x1+x2)+
=(1+k2)[﹣]﹣•+=0,
∴DA⊥DB,∴点D在圆上.
综上所述,点D一定在以AB为直径的圆上.
2017年1月29日