2019-2020学年四川省资阳市高二上学期期末数学（理）试题（解析版） 21页

‎2019-2020学年四川省资阳市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据椭圆的标准方程得到的值，再计算离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知：，，解得.‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的求法，根据椭圆的标准方程得到的值为解题关键，属于简单题.‎ ‎2．已知命题，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可找到命题的否定.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：，.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题是解题的关键，属于简单题.‎ ‎3．已知，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据空间向量共线的充要条件得到方程组，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：，，且 则设，解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量共线的充要条件，属于基础题.‎ ‎4．根据如下样本数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4.5‎ ‎3.5‎ ‎3.‎ ‎2.5‎ ‎2‎ 得到的线性回归方程为，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据表中随的增大而减小得到，再令，解得，根据表格的总体趋势即可得到.‎ ‎【详解】‎ 由表中的数据可知，随着的增大，的总体趋势为逐渐变小，‎ 所以.‎ 又因为当时，，由表中的数据可知：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归直线方程，弄清正相关和负相关为解题的关键，属于简单题.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据几何体的三视图可知：直观图为半径为，高为的圆柱的，再计算体积即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知：几何体为半径为，高为的圆柱的.‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图的还原，弄清直观图的形状为解题的关键，属于简单题.‎ ‎6．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，‎ 则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出，的关系是解决本题的关键．‎ ‎7．已知是两条不同的直线，‎ 是三个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中线线和面面的位置关系可知，，错误，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，可知正确.‎ ‎【详解】‎ 选项：若，，则的位置关系为平行，相交或异面，故错误.‎ 选项：若，，则的位置关系为平行或相交，故错误.‎ 选项：若，，则的位置关系为平行或相交，故错误.‎ 选项：因为垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中线线和面面的位置关系，同时考查了学生的推理论证能力，属于简单题.‎ ‎8．辗转相除法又叫欧几里得算法，其算法的程序框图如图所示.执行该程序框图，若输入的，，则输出的的值为（ ）‎ A．2 B．6 C．12 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图得到：输出的为和的最大公约数，代入选项即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知：输出的为和的最大公约数，‎ 当时，并不是和的公约数，故舍去.‎ 当时，是和的公约数，‎ 故和的最大公约数为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图，弄清程序框图表示的意义为解题的关键，属于简单题.‎ ‎9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由七块板组成，其简易结构如图所示.某人将七巧板拼成如图中的狐狸形状.若在七巧板中随机取出一个点，则该点来自于图中阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先设正方行边长为，分别求出阴影面积和正方形面积，由几何概型即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设正方行边长为，由题知：‎ 阴影面积为两个斜边为的等腰直角三角形和一个边长为的正方形构成.‎ ‎.‎ 由几何概型知：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，求出阴影面积为解题的关键，属于简单题.‎ ‎10．一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，给出如下3个命题：‎ ‎①； ②与是异面直线且夹角为60°； ③与平面所成的角为45°.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先将平面展开图还原成正方体，根据图形判断①②③即可.‎ ‎【详解】‎ 将平面展开图还原成正方体，如图所示：‎ 对于①，因为，，所以，①正确.‎ 对于②，因为，所以为异面直线与所成角.‎ 又因为为等边三角形，所以，②正确.‎ 对于③，为与平面所成的角，，③错误.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成角的大小，同时考查了线面成角问题，将图形还原是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得到，再代入离心率公式即可.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的标准方程为，由题知：‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于中档题.‎ ‎12．长方体中，，，，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据得到，所以的轨迹是以为焦点 的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥的高的最值，即可得到体积的范围.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 因为，‎ 所以.‎ 因为 所以点的轨迹是以为焦点 的椭圆.‎ 如下图所示：‎ ‎，，.‎ 椭圆的标准方程为：.‎ 联立，解得：.‎ 所以，.‎ 当点运动到位置时，此时四棱锥的高最长，‎ 所以.‎ 当点运动到或位置时，此时四棱锥的高最短，‎ 所以.‎ 综上所述：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查计算四棱锥的体积，同时考查了椭圆的几何性质，将立体思想转化为椭圆思想是解题的关键，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知可知：，再代入离心率公式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知：，即.‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.‎ ‎14．某校高二年级有学生800名，其中男生人数500名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为40的样本，则应抽取的女生人数为_________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】首先根据题意求出女生人数和抽样比，再计算女生抽取人数即可.‎ ‎【详解】‎ 由题知：男生有人，女生有人，抽样比.‎ 故女生应抽取人.‎ 故答案为：15‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，确定抽样比为解题的关键，属于简单题.‎ ‎15．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为一个定点，则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】首先根据椭圆的定义得到，将转化为，再根据图像求出的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点为，如图所示：‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 当点运动到的位置时，此时三点共线.‎ 取得最大值为.‎ 所以.‎ 的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，同时考查了学生利用定义等价转化的思想，属于中档题.‎ ‎16．三棱锥中，是边长为2的正三角形，与所在平面互相垂直，且，.若三棱锥的四个顶点都在球上，则球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】证明，可得的外接圆的半径为，利用和所在平面相互垂直，球心在边的高上，设球心到平面的距离为，则，求出球的半径，即可求出球的体积．‎ ‎【详解】‎ 解：，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的外接圆的半径为，‎ 和所在平面相互垂直，‎ 球心在边的高上，‎ 取的中点，则 设球心到平面的距离为，则，‎ ‎，，‎ 球的表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查锥体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．分别求满足下列条件的椭圆标准方程：‎ ‎（1）中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，；‎ ‎（2）离心率，且与椭圆有相同焦点.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）首先设出椭圆的一般方程，再代入两点，即可.‎ ‎（2）首先设出椭圆的标准方程，根据题意可知：，，解方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆方程为 由解得，. ‎ 所以椭圆方程为. ‎ ‎（2）由于所求椭圆与椭圆的焦点相同，‎ 设其标准方程为.‎ 则，所以， ‎ 由，则， ‎ 所以， ‎ 所以所求椭圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程和一般方程，同时考查了椭圆的几何性质，属于简单题.‎ ‎18．抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为.求：‎ ‎（1）满足的概率；‎ ‎（2）满足的概率.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）首先写出基本事件的总数，再求出满足的基本事件个数，根据古典概型公式即可求出相应的概率.‎ ‎（2）首先解不等式，得到，再写出满足的基本事件，根据古典概型公式即可求出相应的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数为有36个基本事件. ‎ 满足的基本事件有：，，，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，共个基本事件.‎ 所以，满足的概率. ‎ ‎（2）由得，‎ 则满足的基本事件有：，，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，共个基本事件.‎ 所以，满足的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型，熟练写出基本事件个数为解题的关键，属于简单题.‎ ‎19．如图，直三棱柱的底面是正三角形，分别是的中点.证明：‎ ‎（1）平面平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）见解析 ‎【解析】（1）根据直三棱柱的性质得到，根据等边三角形的性质得到，再根据面面垂直的判定得到平面平面.‎ ‎（2）连接，根据三角形中位线性质得到，从而得到平面.根据三棱柱的性质得到，从而得到平面.再根据面面平行的判定得到平面平面.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为三棱柱直三棱柱，‎ 所以.‎ 又是正三角形的边的中点，‎ 所以，‎ 所以平面.‎ 而平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）连接，‎ 由于分别是的中点，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面.‎ 在直三棱柱中，，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面.‎ 又，且，平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查面面平行的证明，熟练掌握面面垂直和平行的判定定理是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20．某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 知道的人数 ‎3‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（1）求上表中的的值，并补全右图所示的的频率直方图；‎ ‎（2）在被调查的居民中，若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.‎ ‎【答案】（1）m=4，n=6，图见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）首先分别求出和的频率，再计算即可，根据的值即可补全频率分布直方图.‎ ‎（2）首先列出年龄在，的居民中各随机选取1人的所有基本事件，再找到其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件个数，由古典概型公式即可求出概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）年龄在的频数，‎ 年龄在的频数为.‎ 频率直方图如图所示：‎ ‎（2）记年龄在区间的居民为（其中居民不知道垃圾分类方法）；‎ 年龄在区间的居民为（其中居民不知道垃圾分类方法）.‎ 从年龄在，的居民中各随机选取1人的所有基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，‎ 共个基本事件，‎ 其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件共有个，‎ 所以，选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的性质，同时考查了列举法求基本事件个数和古典概型，属于中档题.‎ ‎21．如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是线段上的动点.‎ ‎（1）试确定点的位置，使平面，并说明理由；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）是线段的中点，理由见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）当是线段的中点时，平面．连结，交于，连结，利用三角形中位线定理能够证明平面．‎ ‎（2）法一：过点作平面与平面的交线，过点作于，过作于，连结，由已知条件推导出是平面与平面所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．‎ 法二：分别以，，的方向为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当是线段的中点时，平面.‎ 证明如下：‎ 连结，交于，连结，‎ 由于分别是，的中点，所以，‎ 由于平面，又平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）方法1：过点作平面与平面的交线，‎ 由于平面，可知，‎ 过点作于，‎ 因为平面平面，，‎ 所以平面，则平面平面，‎ 所以平面，‎ 过作于，连结，则直线平面，‎ 所以，‎ 故是平面与平面所成锐二面角的平面角. ‎ 设，则，，‎ ‎，则，‎ 所以，即所求二面角的余弦值为. ‎ 方法2：‎ 因为平面平面，，所以平面，‎ 可知两两垂直，分别以的方向为轴，建立空间直角坐标系. ‎ 设，则，，，，设平面的法向量，‎ 则所以 令，得平面的一个法向量， ‎ 取平面的法向量， ‎ 由， ‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．‎ ‎22．已知动点到点的距离与点到直线的距离的比值为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设为轨迹与轴正半轴的交点，上是否存在两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的的个数；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）存在，3个 ‎【解析】（1）设动点根据所给条件列出方程，化简即可.‎ ‎（2）由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，不妨设，则直线所在的方程为. 联立直线与曲线方程，消元即可求出点的坐标，求出的长，同理可得，再由得到方程，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设动点，则，‎ 所以，‎ 平方并化简，得.‎ 所以轨迹的方程为. ‎ ‎（2）存在. 理由如下：‎ 由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设所在直线的方程为，不妨设，则直线所在的方程为. ‎ 联立方程消去，并整理得，‎ 解得，‎ 将代入可得，‎ 所以点的坐标为.‎ 所以. ‎ 同理可得， ‎ 由，得， ‎ 所以，则，解得或.‎ 当斜率时，斜率；当斜率时，斜率；当斜率时，斜率.‎ 综上所述，符合条件的三角形有3个.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求动点的轨迹方程，直线与椭圆综合应用问题，属于中档题.‎