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- 2021-06-12 发布
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微专题 73 求参数的取值范围
一、基础知识：
求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通
过解函数的值域求得参数范围
1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不
等关系如下：
（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
① 椭圆（以 为例），则 ，
② 双曲线：（以 为例），则 （左支） （右支）
③ 抛物线：（以 为例，则
（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次
方程
（3）点与椭圆（以 为例）位置关系：若点 在椭圆内，则
（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件
2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条
件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变
量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围
（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的
值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数” ；③ 反比例函数；④
分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行
解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达
式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
2 2
2 2 1 0x y a ba b ,x a a ,y b b
2 2
2 2 1 , 0x y a ba b ,x a ,a
y R
2 2 0y px p 0,x
0
2 2
2 2 1 0x y a ba b 0 0,x y
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
0ay x ax
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建
立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看
能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关
于该变量的不等式，解不等式即可
二、典型例题：
例 1：已知椭圆 ， 、 是其左右焦点，离心率为 ，且经过
点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 分别是椭圆长轴的左右端点， 为椭圆上动点，设直线 斜率为 ，且
，求直线 斜率的取值范围；
解：（1）
椭圆方程为： 代入 可得：
椭圆方程为：
（2）由（1）可得： 设 ，
则
在椭圆上
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 1F 2F 6
3
3,1
C
1 2,A A Q 1AQ k
1 1,2 3k
QA2
6
3
ce a : : 3 :1: 2a b c
2 2
2 2 13
x y
b b 3,1 2 4b
2 23 12a b
2 2
112 4
x y
1 22 3,0 , 2 3,0A A ,Q x y
2 3
yk
x
2 2 3A Q
yk
x
2
2
2 122 3 2 3A Q
y y yk k xx x
Q 2 2
2 211 1212 4 3
x y y x
2
2
2
1
12 3A Q
yk k x
即
例 2：已知椭圆 的离心率为 ，其左，右焦点分别是 ，过
点 的直线 交椭圆 于 两点，且 的周长为
（1）求椭圆 的方程
（2）若过点 的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足
（ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围
解：（1）
的周长
椭圆方程为：
（2）设直线 的方程为 ， ，
联立直线与椭圆方程：
，解得：
2
1
3A Qk k 1 1,2 3k
1 2 ,13 3k
2
2 ,13A Qk
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 2
2 1 2,F F
1F l C ,E G 2EGF 4 2
C
2,0M C ,A B P
OA OB tOP O 2 5
3PA PB t
2
2
ce a : : 2 :1:1a b c
2EGF 4 4 2 2C a a
1b
2
2 12
x y
AB 2y k x 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,P x y
OA OB tOP 1 2
1 2
x x tx
y y ty
2 2 2 2
2 2
2
1 2 8 8 2 0
2 1
y k x
k x k x k
x y
22 2 28 4 1 2 8 2 0k k k 2 1
2k
2 3
1 2 1 2 1 22 2 2
8 8 4, 4 42 1 2 1 2 1
k k kx x y y k x x k kk k k
，代入 可得：
由条件 可得：
，代入 可得：
例 3：在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为 ，且在所有
过焦点的弦中，弦长的最小值为
（1）求椭圆方程
（2）若过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 （ 在 之间），求三角形
与三角形 面积比值的范围
解：（1）
2
2
2
8
2 1
4
2 1
kx
t k
ky
t k
2
2 12
x y
2 2
2
2 2
8 42 2
2 1 2 1
k k
t k t k
2
2
2
16
1 2
kt k
2 5
3PA PB 2 5
3AB
2
1 2
2 51 3AB k x x
22
1 2 1 2
201 4 9k x x x x
2 2
1 2 1 22 2
8 8 2,2 1 2 1
k kx x x xk k
22 2
2 2 2
2 2
8 8 2 201 4 4 1 14 13 02 1 2 1 9
k kk k kk k
2 1
4k 2 1 1,4 2k
2
2
2
2
16 1 8=16 ,411 2 32
kt k
k
2 6 2 62, ,23 3t
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 2
2
2
0,2B l ,E F E ,B F OBE
OBF
2
2
ce a : : 2 :1:1a b c
由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为
椭圆方程为
（2）设 ，
联立直线与椭圆方程：
同号
设 ，所解不等式为：
，即
22 2b
a
1, 2b a
2
2 12
x y
: 2l y kx 1 1 2 2, , ,E x y F x y
1 1 2 2
1 1,2 2OBE OBFS OB x x S OB x x
1 1
2 2
OBE
OBF
xS x
S x x
2 2
2 2
2 1 2 8 6 0
2 2
y kx k x kx
x y
2 2 2 38 24 1 2 0 2k k k
1 2 1 22 2
8 6, 01 2 1 2
kx x x xk k 1 2,x x
2
2 22
1 2 1 2
2
1 2 2 1
2
8
321 2 26 3 1 2
1 2
k
x x k x xk
x x x xk
k
2 3
2k
2
2
2
32 32 1 164,13 33 1 2 2
k
k
k
1 2
2 1
164 2 3
x x
x x
1
2
0xt x
1 2 4 1
1 16 12 33 3
t tt
t tt
1
2
1,1 1,33
x
x
1,1 1,33
OBE
OBF
S
S
例 4：已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆
心，椭圆 的短半轴长为半径的圆相切
（1）求椭圆 的方程
（2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线 ，垂足为点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程
（3）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值
范围
解：（1） 与圆 相切
即 ，解得
（2）由（1）可得 线段 的垂直平分线交 于点
即
的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，设为
（3）思路：由已知可得 ，设 ，则所求 为关于 的函数，
只需确定 的范围即可，因为 ，所以有可能对 的取值有影响，可利用此条件
得到 关于 的函数，从而求得 范围。
2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b 3
3 : 2l y x
1C
1C
1C 1F 2F 1l 1F 2l
1l P 2PF 2l M M 2C
2C x Q ,R S 2C 0QR RS QS
3 33
ce a ca : 2l y x
2 2 2x y b
2
2O ld b 2b
3a c
2 2 2 22b a c c 2 1c 1c
3a
2 2
1 : 13 2
x yC
1 : 1l x 2PF 2l M
2PM MF 1 2M ld MF
M 2F 1l 2 2 0y px p
2 1,0F 2p 2
2 : 4C y x
0,0Q
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
y yR y S y
QS
2y
2y 0QR RS
2y
2y 1y 2y
解： 与椭圆的交点为 ，设
，因为 ，化简可得：
①
考虑
由①可得
时，可得
例 5：已知椭圆 的离心率 ，左焦点为 ，椭圆上的点到 距
离的最大值为
（1）求椭圆 的方程
（2）在（1）的条件下，过点 的直线 与圆 交于 两点， 与点 的轨迹
交于 两点，且 ，求椭圆的弦 长的取值范围
解：（1）由离心率可得：
依题意可得： 可得：
椭圆方程为：
（2）由（1）可得椭圆方程为 不妨设
2C 0,0Q
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
y yR y S y
2 2 2
1 2 1
1 2 1, , ,4 4
y y yQR y RS y y
2 2 2
1 2 1
1 2 1 016
y y y
QR RS y y y
1 2y y
2 1
1
16y y y
2 22 22
2 2
1 8 644 4
yQS y y
2
2 2 2
2 1 1 12 2
1 1 1
16 256 25632 2 32 64y y y yy y y
2
2 64y 22
2
1 8 64 8 54QS y
8 5,QS
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 1
3e 1F 1F
8
C
N l 2 2 36x y ,G H l C
,P Q 8 2,2 34GH RQ
1
3
ce a : : 3: 2 2 :1a b c
8a c 6, 2a c
2 2 2 32b a c
2 2
136 32
x y
2 2
136 32
x y 2,0N
① 当直线斜率不存在时， ，符合题意，可得：
② 当直线斜率存在时，
设直线
在圆 中
可得：
解得：
设 ，联立直线与椭圆方程：
消去 可得：
8 2GH 32
3RQ
: 2l y k x 2
2
1O l
kd
k
2 2 36x y
2
22 2 1 1362 4d r GH GH
8 2,2 34GH
2
2
2
42 4 2 41
kd k
2 1k
1 1 2 2, , ,R x y Q x y
2 2
2
136 32
y k x
x y
y
2
221 2 136 32
x k x
2 2 2 29 8 36 36 288 0k x k x k
22 2
1 2 1 22 2 2
36 836 36 288,9 8 9 8 9 8
kk kx x x xk k k
22 2
1 2 1 2 1 21 1 4RQ k x x k x x x x
2 22
2
2 2
36 8361 49 8 9 8
kkk k k
22 2 2
2
22
36 4 36 8 9 8
1
9 8
k k k
k
k
4 4 2
2
22
9 9 64 64
12 1
9 8
k k k
k
k
2 2
2
2 22
64 64 96 9612 1 9 89 8
k kk kk
由 可得：
综上所述： 的取值范围是
例 6 ：已知椭圆 的两个焦点 ，
动点 在椭圆上，且使得 的点 恰有两个，动点
到焦点 的距离的最大值为
（1）求椭圆 的方程
（2）如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 ，作圆 的两条
切线，设切点分别为 ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的取值范围
解：（1） 使得 的点 恰有两个
的最大值为
为短轴顶点时，
到焦点 的距离的最大值为
椭圆 的方程：
（2）由椭圆方程可得圆
设 ，由圆的性质可得：
2
2
2
12 1212 12 89 8 9
k
k
k
2 1k 32 192
3 17RQ
RQ 32 192,3 17
2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b 1 2,F F
P 1 90F PF P
P 1F 2 2
1C
1C 2C 2 2x T 2C
,A B AB 1C ,C D AB
CD
1 90F PF P
1 2F PF 90
P 1 90F PF
b c 2 2 2 22 2 2a b c b a b c
P 1F 2 2a c
2, 2a c
1C
2 2
14 2
x y
2 2
2 : 4C x y
1 1 2 22 2, , , , ,T t A x y B x y
1 1 2 2: 4, : 4AT x x y y BT x x y y
代入 可得： 满足方程
则 到 的距离
下面计算 ：联立方程
设
不妨设
设 ，所以
设
在 单调递增
所以 ，即
例 7：已知椭圆 过点 ，且离心率
2 2,T t 1 1
2 2
2 2 4
2 2 4
x ty
x ty
,A B 2 2 4 0x ty
O AB 2
4
8O ABd
t
2
2 2
2
42 4 8O AB
tAB r d t
CD 2 2
2 2
2 2 4 16 8 16 0
2 4
x ty t y ty
x y
3 3 4 4, , ,C x y D x y
3 4 3 42 2
8 16,16 16
ty y y yt t
22 2
2
1 2 1 2 1 2 2
4 8
1 1 48 8 16
tt tCD y y y y y y t
2 2 2 2
2 22 2
4 16 4 164 8 84 8 8
AB t t t t
CD t tt t
2 8 8m t m
3 2
3 3
12 256 12 2561AB m m
CD m m m
1 10 8s sm
31 12 256AB s sCD
31 12 256f s s s
' 2 112 768 0 8f s s s
f s 10,8
1,2f s 1, 2AB
CD
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 31, 2
1
2e
（1）求椭圆方程
（2）若直线 与椭圆交于不同的两点 ，且线段 的垂直平分线
过定点 ，求 的取值范围
解：（1） 可得：
椭圆方程为 ，代入 可得：
椭圆方程为：
设 ，联立方程可得：
设 中点 ，则
则 的中垂线为： ，代入 可得：
，代入 可得：
: 0l y kx m k ,M N MN
1,08G
k
1
2
ce a : : 2 : 3 :1a b c
2 2
2 2 14 3
x y
c c 31, 2
2
2 2
1 9 1 1 14 4 3 cc c
2 2
14 3
x y
1 1 2 2, , ,M x y N x y
2 2
2 2 23 4 12 3 4 8 4 12 0x y k x kmx m
y kx m
2 2 2 2 2 2 2 2 28 4 3 4 4 12 64 4 16 48 12 36km k m k m k m k m
2 24 48 12 36 0k m
2 24 3m k
MN 0 0,P x y 1 2 1 2,2 2
x x y yP
1 2 1 2 1 22 2
8 6, 24 3 4 3
km mx x y y k x x mk k
2 2
4 3,4 3 4 3
km mP k k
MN 2 2
3 1 4
4 3 4 3
m kmy xk k k
1,08
21 4 38m kk 2 24 3m k
2
2 21 4 3 4 38 k kk
或
即 的取值范围是
例 8：在平面直角坐标系 中，原点为 ,抛物线 的方程为 ,线段 是抛物线
的一条动弦．
（1）求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ;
（2）当 时，设圆 ,若存在且仅存在两条动弦 ,满足
直线 与圆 相切，求半径 的取值范围？
解：（1）由抛物线 可得： ，准线方程：
（2）设直线 ， ，联立方程：
与圆相切
，不妨令
则 ，令
在 单调递减，在 单调递增
2 2 2 14 3 64 20k k k
5
10k 5
10k
k 5 5, ,10 10
xOy O C yx 42 AB C
C F
8AB )0)1(: 222 rryxD （ AB
AB D r
yx 42 0,1F 1y
:AB y kx b 1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
2 4 4 0
4
y kx b x kx b
x y
1 2 1 24 , 4x x k x x b
2 2 2 2 2
1 21 1 16 16 8 1 2AB k x x k k b k k b
2
2
4
1b kk
AB 2
1
1D AB
bd r
k
2
2
2
4 11
1
kkr
k
21 , 1t k t
3
4r tt
3
3
3
4 ,1 24
4 , 2
t ttf t tt t tt
f t 1, 2 2,
则若关于 的方程有两解，只需关于 的方程有一解
时， 与 有一个交点
例 9：已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的两个焦点，
是椭圆上任意一点，且 的周长是
（1）求椭圆 的方程
（2）设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两
条切线交椭圆于 两点，当圆心在 轴上移动且 时，
求 的斜率和取值范围
解：（1）
的周长
椭圆方程为：
（2）由椭圆方程可得： ，设过 且与圆 相切的直线方程为
，整理可得：
两条切线斜率 是方程 的两根
联立直线 与椭圆方程可得：
1 3f
k t
3r y r y f t
3r
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 15
4 1 2,F F P
1 2PF F 8 2 15
C
2 2 4: 9T x t y T
,E F x 1,3t
EF
15
4
ce a : : 4 :1: 15a b c
1 2PF F 1 2 1 2 2 2 8 2 15C F F PF PF a c
4, 15a c
2 2 2 1b a c
2
2 116
x y
0,1M M T 1 1,2iy k x i
2
1 2
31
i
i
k td r
k
22 23 1 2 1 9 1 4 1i i i ik t k k t k
2 29 4 18 5 0i it k tk
1 2,k k 2 29 4 18 5 0t k tk
ME
消去 可得：
，同理可得：
由 可得：
设 ，可知 为增函数，
例 10：已知椭圆 ，其中 为左右焦点，且离心率为 ，
直线 与椭圆交于两不同点 ，当直线 过
椭圆 右焦点 且倾斜角为 时，原点 到直线 的距离为
（1）求椭圆 的方程
（2）若 ，当 的面积为 时，求 的最大值
解：（1）设直线
1
2 2
1
16 16
y k x
x y
y 2 2
1 11 16 32 0k x k x
1
2
1
32
1 16E
kx k
2
2
2
32
1 16F
kx k
1 2 1 21 1E FE F E F
EF
E F E F E F
k x k xy y k x k xk x x x x x x
1 2
1 22 2
1 2 1 2
1 21 2
2 2
1 2
32 32
1 16 1 16
1 1632 32
1 16 1 16
k kk kk k k k
k kk k
k k
2 29 4 18 5 0t k tk 1 2 1 22 2
18 5,9 4 9 4
tk k k kt t
2
2
2
18
6 19 4 65 2828 31 16 39 4
EF
t
ttk t tt t
16 28 3
f t
tt
f t 1,3t
6 ,1825EFk
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 1 2,F F 3
3e
l 1 1 2 2, , ,P x y Q x y l
C 2F 4
O l
2
2
C
OP OQ ON OPQ
6
2 ON PQ
:l y x c
椭圆方程为
（2）若直线 斜率存在，设 ，
联立方程： 消去 可得： ，整理可得：
考虑
2 122O l
cd c
3
3
ce a 3 3a c
2 2 2 2b a c
2 2
13 2
x y
l :l y kx m 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
OP OQ ON
1 2 1 2,N x x y y
2 22 3 6
y kx m
x y
y 222 3 6x kx m
2 2 23 2 6 3 6 0k x kmx m
2 2 2 2 26 4 3 2 3 6 24 3 2 0km k m k m
2 23 2k m
2
1 2 1 22 2
6 3 6,3 2 3 2
km mx x x xk k
1 2 1 2 2 2
6 42 23 2 3 2
km my y k x x m k mk k
2 2
6 4,3 2 3 2
km mN k k
2 2 2
22
1 2 1 2 2
2 6 1 3 21 4 3 2
k k mPQ k x x x x k
21O l
md
k
2 2 2
2 2
1 1 2 6 1 3 2 6
2 2 3 2 21OPQ O l
mk k mS PQ d k k
2 2 22 3 2 3 2m k m k
即
等号成立条件：
时 的最大值是
当斜率不存在时， 关于 轴对称，设
，再由 可得：
可计算出
所以综上所述 的最大值是
三、历年好题精选
1、已知点 是双曲线 上的动点， 分别是双
曲线的左右焦点， 为坐标原点，则 的取值范围
是（ ）
2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 0m k m k k m k m
22 23 2 2 0k m
2 23 2 2k m
2 2 2 2
6 4 6 4 3 2, , ,3 2 3 2 2 2
km m km m kN k k m m m m
2 2
2
2 2 2 2 2
9 4 6 6 4 26k mON m m m m m
2
2
2 2 2
2
2 4 22
2 2124 1 3 2 3 224 443 2
mmk k m
PQ m mk
2
2 22 2
2 2
2 26 42 26 4 252
m mON PQ m m
2 2
2 26 4 2mm m
2m ON PQ 5
,P Q x 0 0,P x y 0 0, 0x y
0 0 0 0
1 622 2OPQS x y x y
2 2
0 0 13 2
x y 0
0
6
2
1
x
y
2 6 5ON PQ
ON PQ 5
P
2 2
18 4
x y 1 2,F F
O 1 2PF PF
OP
A. B. C. D.
2、（2015，新课标 I）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两
个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3 、（ 2014 ， 四 川 ） 设 ， 过 定 点 的 动 直 线 和 过 定 点 的 动 直 线
交于点 ，则 的最大值是______
4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛
物线上的两个动点，且满足 ，过弦 的
中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5、（2016，贵州模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点
为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 是线段 的中点，若果
三点的圆恰好与直线 相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过定点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 .若实数 满足
，求 的取值范围.
6、（2015，山东理）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率
为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径
0,6 2, 6
1 6,2 2
60, 2
0 0,M x y
2
2: 12
xC y 1 2,F F C
1 2 0MF MF
0y
3 3,3 3
3 3,6 6
2 2 2 2,3 3
2 3 2 3,3 3
m R A 0x my B
3 0mx y m ,P x y PA PB
2 2 0y px p F ,A B
120AFB AB
M MN N MN
AB
3
3 1 2 3
3 2
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 1 2,F F
A A 2AF x Q 1F 2QF 2, ,A Q F
: 3 3 0l x y
C
0,2M 1l C ,G H MG MH
MG MH 1
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
3
2 1 2,F F 1F 2F
的圆相交，交点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 ， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线 交椭圆
于 两点，射线 交椭圆 于点
①求 的值；②求 面积最大值.
7、（2014，四川）已知椭圆 的焦距为 ，其短轴的两个端
点与长轴的一个端点构成正三角形
（1）求椭圆 的标准方程
（2）设 为椭圆 的左焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交
椭圆 于点
① 证明： 平分线段 （其中 为坐标原点）
② 当 最小时，求点 的坐标
8、（2014，湖南）如图， 为坐标原点，椭圆 的左右焦点
分别为 ，离心率为 ；双曲线 的左右焦点分别为
，离心率为 ，已知 ，且
（1）求 的方程
（2）过 作 的不垂直于 轴的弦 为 的
中点，当直线 与 交于 两点时，求四边形 面积的最小值
C
C
2 2
2 2: 14 4
x yE a b P C P y kx m
E ,A B PO E Q
| |
| |
OQ
OP ABQ
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 4
C
F C T 3x F TF
C ,P Q
OT PQ O
TF
PQ T
O
2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
1 2,F F 1e
2 2
2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b
3 4,F F 2e 1 2
3
2e e
1 2,C C
1F 1C y ,AB M AB
OM 2C ,P Q APBQ
9、（2014，山东）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点
的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有
，当 的横坐标为 3 时， 为正三角形
（1）求 的方程
（2）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点
① 证明直线 过定点，并求出定点坐标
② 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理
由
10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，过点 作斜
率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 .
（1）求椭圆 的方程;
（2）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的
都有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在
说明理由;
（3）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求
的最小值.
11 、（南 通 市 海 安 县 2016 届 高 三 上 期 末 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆 C ：
的焦距为 2
（1）若椭圆 经过点 ，求椭圆 C 的方程；
（2）设 ， 为椭圆 的左焦点，若椭圆 存在点 ，满足 ，求椭圆
的离心率的取值范围；
2: 2 0C y px p F A C
A l C B x D
FA FD A ADF
C
1l l∥ 1l C E
AE
ABE
xoy
C )0(12
2
2
2
bab
y
a
x
2
1e )0,4(A A
)0( kk l C D y E
C
P AD Q
)0( kk EQOP Q
O l C M
OM
AEAD
xOy
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x
C )1,2
6(
2,0A F C C P 2PF
PA C
P
D M
A O x
y
E
12、已知定点 ，曲线 C 是使 为定值的点 的轨迹，曲线
过点 .
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 过点 ，且与曲线 交于 ，当 的面积取得最大值时，求直线 的方程；
（3）设点 是曲线 上除长轴端点外的任一点，连接 、 ，设 的角平分线
交曲线 的长轴于点 ，求 的取值范围.
13、已知圆 ,若椭圆 的右顶点为圆
的圆心，离心率为 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若存在直线 ，使得直线 与椭圆 分别交于 两点，与圆 分别交于
两点，点 在线段 上，且 ，求圆 的半径 的取值范围．
14、已知 、 是椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 为椭圆
上的一个动点， 的内切圆面积的最大值为 .
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若 是椭圆上不重合的四个点，满足向量 与 共线， 与 共
线，且 ，求 的取值范围.
)0,3(),0,3( 21 FF |||| 21 RFRF R
C )1,0(T
C
l 2F C PQ PQF1 l
P C 1PF 2PF 21PFF
PM C ( ,0)M m m
2 2 2: 2M x y r ( 0)r
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
M 2
2
:l y kx l C ,A B M ,G H
G AB AG BH M r
1F 2F
2 2
2 2 1x y
a b ( 0)a b 1
2e P
1 2PF F 4
3
, , ,A B C D 1F A
1FC
1F B
1F D
0AC BD | | | |AC BD
习题答案：
1、答案：B
解析：设 ，其中 ，由焦半径公式可得：
代入可得：
因为 所以解得
由对称性可知：当 时，
2、答案：A
解析：由 可得 ，所以
，则 ，由 得：
代入到不等式： ，解得
3、答案：5
解析：由两条动直线 可得两条信息：①两个定点坐标 ，
且两条直线垂直，垂足即为 ，所以 为直角三角形，可知 ，
,P x y 0x 1 2,PF ex a PF ex a
1 2
2 2 2 2
2PF PF ex a ex a ex
OP x y x y
2
2 64,2 2
xy e
1 2
2 2 2
2
2
6 6
3 44 22
PF PF ex a ex a x
OP x y xx x
2 8x 1 2
2
6 2,6
3 4
2
PF PF
OP
x
0x 1 2 2,6PF PF
OP
2
2: 12
xC y 1 23,0 , 3,0F F 1 0 03 , ,MF x y
2 0 03 ,MF x y 2 2
1 2 0 0 3 0MF MF x y 2
20
0 12
x y 2 2
0 02 2x y
2
1 2 03 1 0MF MF y
0
3 3,3 3y
1 3
x my
m x y
0,0 , 1,3A B
P PAB
2 2 2 10PA PB AB
由均值不等式可得 ，等号成立
当且仅当
4、答案：A
解析：过 分别作准线的垂线，垂足设为
设 ，由抛物线定义可得：
在梯形 中，可得 为中位线
由余弦定理可知在 中，
5、解析：设椭圆 的半焦距为
由 为线段 中点，
所以 三点圆的圆心为 ，半径为
又因为该圆与直线 相切，所以
所以 ，故所求椭圆方程为 ；
（2）若 与 轴不垂直，可设其方程为 ，代入椭圆方程
可得 ，由 ，得
设 ，根据已知，有
2 2 2 2
52 2
PA PB PA PBPA PB PA PB
PA PB
,A B ,Q P
,AF a BF b ,AF AQ BF BP
AQPB MN
1 1
2 2 2
a bMN AQ BP AF BF
ABF
2 2 2 2 22 cosAB AF BF AF BF AFB a b ab
2 22 2AB a b ab a b ab
2
2
a bab
2
2 2 23
4 4
a bAB a b a b
22
2 2
1
1 34
3 3 3
4
a bMN MN
ABAB a b
C 0c c
1F 2F Q 2AQ AF
2, ,A Q F 1 ,0F c 2c a
l 3 2 12
c c c
2 24, 3a b
2 2
14 3
x y
1l x 2y kx
2 2
14 3
x y
2 23 4 16 4 0k x kx 0 2 1
4k
1 1 2 2, , ,G x y H x y 1 2x x
于是
消去 ，可得
因为 ，所以
即有 ，有
6、解析：（1） 椭圆离心率为
，
左、右焦点分别是 ,
圆 ：
圆 ： 由 两 圆 相 交 可 得 ， 即 ， 交 点
，
，
整理得 ，解得 （舍去）
故 椭圆 C 的方程为 .
（2）① 椭圆 E 的方程为 ，
设点 ，满足 ，射线 ，
1 2 2 2
2
1 2 2
161 3 4
1
3 4
kx x x k
x x x k
2x 2 2
2
1 64
3 4
k
k
2 1
4k
2
2
2
64 64 4,1633 4 4
k
k
k
21 1 2 4,16
1 2,14
3
2
3
2
ce a : : 2 :1: 3a b c
1 2( 3 ,0), ( 3 ,0)F b F b
1F 2 2( 3 ) 9,x b y
2F 2 2( 3 ) 1,x b y 2 2 3 4b 1 3 2b
22 2( , 1 ( ) )
3 3b b
2
2 2 2
21 ( 3 )4 3 13 4
b
b
b b b
4 24 5 1 0b b 2 1,b 2 1
4b
2 1,b 2 4,a
2
2 14
x y
2 2
116 4
x y
0 0( , )P x y
2
20
0 14
x y 0
0
0
: ( 0)yPO y x xxx
代入 可得点 ，于是 .
② 点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍：
，得 ，整理得
，
当且仅当 等号成立.
而直线 与椭圆 C： 有交点 P，则
有解，即 有解，
其判别式 ，即 ，则上
述 不成立，等号不成立，
设 ，则 在 为增函数，
于是当 时 ，故 面积最大值为 12.
7、解析：（1）由已知可得： 解得：
2 2
116 4
x y 0 0( 2 , 2 )Q x y
2 2
0 0
2 2
0 0
( 2 ) ( 2 )| | 2| |
x yOQ
OP x y
0 0( 2 , 2 )Q x y AB AB
0 0
2 2
| 2 2 | | |3
1 1
kx y m md
k k
2 2
116 4
y kx m
x y
2 24( ) 16x kx m 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m
2 2 2 2 2 264 16(4 1)( 4) 16(16 4 ) 0k m k m k m
2
2 2
2
1| | 16(16 4 )1 4
kAB k mk
2 2
2 2
2 2
1 1 | | | | 16 4| | 3 4 16 4 62 2 1 4 1 4
m m k mS AB d k mk k
2 2 2
2
16 46 122(4 1)
m k m
k
2 2 2 2| | 16 4 , 8 2m k m m k
y kx m
2
2 14
x y
2 24 4
y kx m
x y
2 2 2 2 24( ) 4,(1 4 ) 8 4 4 0x kx m k x kmx m
2 2 2 2 2 2
1 64 16(1 4 )( 1) 16(1 4 ) 0k m k m k m 2 21 4k m
2 28 2m k
2
| | (0,1]
1 4
mt
k
2 2
2
| | 16 46 6 (4 )1 4
m k mS t tk
(0,1]
2 21 4k m max 6 (4 1) 1 6 3S ABQ
2 2
3
2 2 4
a b
c a b
2 26, 2a b
椭圆方程为：
（2）① 由（1）可得： ，设
所以设 ， ，联立椭圆方程可得：
设 为 的中点，则 点的坐标为
的斜率
在 上，即 平分
② 由①可得：
由弦长公式可得：
等号成立当且仅当
最小时， 点的坐标为
2 2
16 2
x y
2,0F 3,T m
0
3 2TF
mk m
: 2PQ x my 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2 2
2 21 3 4 2 06 2
2
x y
m y my
x my
1 2 1 22 2
4 2,3 3
my y y ym m
1 2 1 2 2
124 3x x m y y m
M PQ M 2 2
6 4,3 3
m
m m
3OM
mk OT 3OT
mk
M OT OT PQ
2 1TF m
22 2
1 2 1 2 1 21 1 4PQ m y y m y y y y
22
2
2 2 2
2 6 14 21 43 3 3
mmm m m m
222
2 2
222
33 1 41 1 424 124 12 6 1
mTF mm mPQ mmm
2
2
1 4 32 1 424 1 3m m
2
2
41 11m mm
TF
PQ T 3,1 , 3, 1
8、解析：（1）由 可得：
（2）由（1）可得： ，设直线 ，联立方程可得：
设
中点
即
与双曲线联立方程可得：
设点 到直线 的距离为 ，则点 到直线 的距离也为
1 2
3
2e e
2 2 2 2 4 4
2
3
2
a b a b a b
a a a
4 4 4 2 23 24a b a a b
: 2 :1a b
2 4,0 , 3 ,0F b F b
2 4 3 3 1F F b b 1b
2a
2 2
2 2
1 2: 1, : 12 2
x xC y C y
1 1,0F : 1AB x my
2 22
2
1
2 2 1 0
12
x my
m y myx y
1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
1 2 1 2 2
42 2x x m y y m
AB 2 2
2 ,2 2
mM m m
: 2
mPQ y x 2 0mx y
2
2 2 2 2
2 22
2
42 2 4 ,2 212
my x mm x x ym mx y
2
2 2
2
42 2 2
mPQ x y m
A PQ d B PQ d
，因为点 在直线 的异侧
由 时，
综上所述：四边形 面积的最小值为 2
9、解析：（1）依题意可知 ，设 ，则 的中点为
由抛物线定义可知： ，解得： 或 （舍）
抛物线方程为：
（2）① 由（1）可得 ，设
的斜率为 直线
设直线 ，代入抛物线方程：
和 有且只有一个公共点
1 1 2 2
2
2 22
4
mx y mx yd
m
,A B 2 0mx y
1 1 2 22 2 0mx y mx y
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 22 2 2 2 2mx y mx y mx y mx y m y y
2
2
1 2 1 2 1 2 2
2 2 14 2
my y y y y y m
2 2
1 2
2 2
2 2 2 12
4 4
m y y md
m m
2
22
1 2 2 1 32 2 2 12 22APBQ
mS PQ d mm
四边形
20 2 2m 0m min 2S
APBQ
,02
pF
,0 0D t t FD 2 ,04
p t
FA FD
3 2 2
p pt 3t p 3t
2 3 24
p t p 2 4y x
1,0F 0 0, , ,0DA x y D x
FA FD 0 01 1 2D Dx x x x
0 2,0D x
AB 0
2AB
yk 1l l∥
0
1 : 2
yl y x b
2
0 0
8 8 0y by y y 1l C E
2
0 0 0
64 32 20b by y y
设 ，则可得：
当 时，
，整理可得：
恒过点
当 时，可得： ，过点
过点
② 由①可得： 过点
设
在直线 上，
设 直线 的方程为
代入抛物线方程可得：
,E EE x y 2
0 0
4 4,E Ey xy y
2
0 4y 0 0
2
0 0
4
4
E
AE
E
y y yk x x y
0
0 02
0
4: 4
yAE y y x xy
2
0 04y x
0
2
0
4 14
yy xy AE 1,0F
2
0 4y : 1AE x 1,0F
AE 1,0F
AE 1,0F
0
0
1 2AE AF EF x x
: 1AE x my
0 0,A x y AE 0
0
1xm y
1 1,B x y AB 0
0 0 0
0
2 22
yy y x x x y xy
2
0
0
8 8 4 0y y xy
0 1 1 0 1 0
0 0 0
8 8 4, 4y y y y x xy y x
0 0
0 0 0
02
0 0
4 84 1
4 1 14
1B AE
x m yx y xd x
x xm
0 0
00
1 1 14 22ABES x x xx
，等号成立当且仅当
10、解析：（1）由左顶点为 可得 ，又 ，所以
又因为 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 .
（2）直线 的方程为 ，由 消元得， .
化简得， ，
所以 ， .
当 时， ，
所以 .因为点 为 的中点，所以 的坐标为 ，则
直线 的方程为 ，令 ，得 点坐标为 ，
假设存在定点 ，使得 ，
则 ，即 恒成立，
所以 恒成立，所以 即
因此定点 的坐标为 .
（3）因为 ，所以 的方程可设为 ，
由 得 点的横坐标为
0 0 0 0
0 00 0
1 1 1 12 2, 2 2x x x xx xx x
1 4 2 2 2 162ABES
0
0
0
0
0
1
1
1
x
x x
x x
( 4 0)A ， 4a 1
2e 2c
2 2 2 12b a c
2 2
116 12
x y
l ( 4)y k x
2 2
116 12
( 4),
x y
y k x
， 2 2[ ( 4)] 116 12
x k x
2 2( 4)[(4 3) 16 12)] 0x k x k
1 4x
2
2 2
16 12
4 3
kx k
2
2
16 12
4 3
kx k
2
2 2
16 12 24( 4)4 3 4 3
k ky k k k
2
2 2
16 12 24,4 3 4 3( )D k k
k k
P AD P
2
2 2
16 12,4 3 4 3( )k k
k k
3 ( 0)4OPk kk
l ( 4)y k x 0x E (0,4 )k
( , )( 0)Q m n m OP EQ
1OP EQk k 3 4 14
n k
k m
(4 12) 3 0m k n 4 12 0
3 0
m
n
，
，
3
0
m
n
，
，
Q ( 3,0)
OM l OM y kx
2 2
116 12
x y
y kx
， M 2
4 3
4 3
x
k
由 ，得
，
当且仅当 即 时取等号，
所以当 时， 的最小值为 ．
11、解析：（1）依题意可得：
将 代入椭圆方程可得：
解得：
椭圆方程为
（2）可知 ，设 ，可知：
由 可得：
，整理可得：
联立方程： ，可解得：
，即
OM l
2D A E A D A
M M
x x x x x xAD AE
OM x x
2
22
2
2
16 12
1 4 94 3
4 3 3 4 3
4
8
3
k
kk
k
k
2
2
1 6 ) 2( 24 3
3 4 3
k
k
≥
2
2
64 3
4 3
k
k
3
2k
3
2k AD AE
OM
2 2
2 2 1c c
2 2 1a b
)1,2
6( 2 2
3 1 12a b
2 2
2 2
1
3 1 12
a b
a b
2
2
3
2
a
b
2 2
13 2
x y
1,0F 0 0,P x y
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
2PF
PA 2 22PA PF
2 22 2
0 0 0 02 2 1x y x y
2 2
0 0 2x y
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
2 2
2
1
1
x y
x y
a b
a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 2 2 1 3x a a b a a a a a
0 ,x a a
2 2
0x a 2 2 20 3a a a
22 3 2 3a a
12、解析：（1） 2 分
曲线 C 为以原点为中心， 为焦点的椭圆
设其长半轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ，则 ，
曲线 C 的方程为 4 分
（2）设直线 的为 代入椭圆方程 ，得
，计算并判断得 ，
设 ,得
到直线 的距离 ，设 ，则
当 时，面积最大
的面积取得最大值时，直线 l 的方程为：
和 9 分
（3）由题意可知： = , =
设 其中 ，将向量坐标代入并化简得：
m（ ，
1 3 2,3 2
ce a a
3241)3(2 21
2
2121 FFTFTFRFRF
21, FF
a b c 322 c 1,3,2 bca
14
2
2
yx
l ,3 myx 14
2
2
yx
0132)4( 22 myym 0
),(),,( 4433 yxQyxP
243
243
4
1
4
32
myy
m
myy
2
2
43
2
43
2
43
2
43
4
)1(44))[(1()()(
m
myyyymyyxxPQ
1F l 2
2 3
1
d
m
21 mt 1t
23
34
3
34
4
134||2
1
22
2
1
ttt
t
m
mdPQS PQF
2,2,3 22 mmt 即
PQF1
2 3 0x y 2 3 0x y
1
1| || |
PF PM
PF PM
2
2| || |
PF PM
PF PM
1
1| |
PF PM
PF
2
2| |
PF PM
PF
0 0( , )P x y 2
0 4x
2 3
0 0 04 16) 3 12x x x
因为 ，所以 ，
而 ，所以
13、解析：(1)设椭圆的焦距为 2C，因为 a= , ,
,所以椭圆 C 的方程为 .
(2)设 ,
联立直线与椭圆方程得：
,则
,
M( )到直线 的距离 。
,显然若点 H 也在直线 AB 上,则由对称性可知,直线 就是 y 轴
与已知矛盾,
要使得|AG|=|BH|,
只要|AB|=|GH|,
,
当 时, ，
当 k 时, ,
综上 .
14、解析：(1)由几何性质可知：当 内切圆面积取最大值时，
2
0 4x 0
3
4m x
0 ( 2,2)x 3 3( , )2 2m
2 2
2
c
a
1, 1c b
2
2 12
x y
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 22 2 0
y kx
x y
2 2(1 2 ) 2 0k x 1 2 1 2 2
20, 1 2x x x x k
2
2
2 2
8 8(1 )| | (1 )1 2 1 2
kAB k k k
2,0 l 2
| 2 |
1
kd
k
2
2
2
2| | 2 1
kGH r k y kx
2 2
2
2 2
2 8(1 )2 1 1 2
k kr k k
4
2
4 22(1 )2 3 1
kr k k
0k 2r
0 2
2
2 2
12(1 )1 12 3 ( )
r
k k
2
2 2 2
1 1 10 ( ) 3( ) 2 2k k k
2
2 2
1 10 1 1 2( ) 3( ) 2k k
2 3r
2 3r
1 2PF F
即 取最大值，且 .
由 得
又 为定值， ，
综上得 ；
又由 ，可得 ，即 ，
经计算得 ， ， ，
故椭圆方程为 .
(2) ①当直线 与 中有一条直线垂直于 轴时， .
②当直线 斜率存在但不为 0 时，
设 的方程为： ，由 消去 可得：
，
代入弦长公式得： ，
同理由 消去 可得 ，
代入弦长公式得： ，
所以
令 ，则 ，所以 ，
1 2PF FS 1 2 max
1( ) 22PF FS c b bc
2 4
3r 2 3
3r
1 2
2 2PF FC a c 1 2 1 22PF F PF F
rS C
2 3
2 2 3
bc
a c
1
2
ce a 2a c 3b c
2c 2 3b 4a
2 2
116 12
x y
AC BD x | | | | 6 8 14AC BD
AC
AC ( 2)y k x 2 2
( 2)
116 12
y k x
x y
y
2 2 2 2(3 4 ) 16 16 48 0k x k x k
2
2
24( 1)| | 3 4
kAC k
2 2
1 ( 2)
116 12
y xk
x y
y 2
2 2 2
1 1 1(3 4 ) 16 16 48 0x xk k k
2
2
24( 1)| | 3 4
kBD k
2 2
2 2
2 2 2
168( 1) 168| | | | 1 1(3 4 )(4 3 ) 12 1 ( 1)
kAC BD k k
k k
2
1 (0,1)1 tk
2 4912 (12, ]4t t 96| | | | [ ,14)7AC BD
由①②可知， 的取值范围是 .| | | |AC BD 96[ ,14]7
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