2017-2018学年广西宾阳县宾阳中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 8页

‎2017-2018学年广西宾阳县宾阳中学高二下学期期末考试数学（理）试题 ‎ 出题人：施林玉 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题四个选项中有且只有一个正确.）‎ ‎1.复数z=(‎1+i‎-1+i‎)‎‎2016‎+‎i‎3‎（i为虚数单位）的共轭复数为（ ）‎ ‎ A.‎1+2i B.‎1+i C.‎1-i D.‎‎1-2i ‎2.已知f(a)=‎0‎‎1‎‎(‎2ax‎2‎-a‎2‎x)dx，则f(a)‎的最大值是（ ）‎ A .‎2‎‎9‎ B .‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎4‎‎9‎ ‎3.a，b，c，d，e共‎5‎个人，从中选‎1‎名组长‎1‎名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（ ）‎ ‎ A.‎20‎ B.‎16‎ C.‎10‎ D.‎‎6‎ ‎4.设曲线y=‎x+1‎x-1‎在点‎(3, 2)‎处的切线与直线ax+y+1=0‎垂直，则a=(‎ ‎‎)‎ ‎ A.‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎-‎‎1‎‎2‎ D.‎‎-2‎ ‎5.一盒子装有‎4‎件产品，其中‎3‎件一等品，‎1‎件二等品．从中取产品两次，每次任取一件，作不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，条件概率P(B|A)‎等于（ ）‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎9‎ D‎3‎‎4‎ ‎6.抛掷‎3‎枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上}‎，B={至多有一个反面向上}‎，则A与B关系是（ ）‎ ‎ A.互斥事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.不相互独立事件 ‎7.已知函数f(x)‎的定义域为R，f(-1)=2‎，对任意x∈R，f'(x)>2‎，则f(x)>2x+4‎的解集为（ ）‎ A.‎(-1, 1)‎ B.‎(-1, +∞)‎ C.‎(-∞, -1)‎ D.‎‎(-∞, +∞)‎ ‎8.若‎(x+a‎)‎‎2‎(‎1‎x-1‎‎)‎‎5‎的展开式中常数项为‎-1‎，则a的值为（ ）‎ ‎ A.‎1‎ B.‎8‎ C.‎-1‎或‎-9‎ D.‎1‎或‎9‎ ‎ ‎9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有‎5‎架歼‎-15‎飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）‎ A.‎12‎ B.‎18‎ C.‎24‎ D.‎‎48‎ ‎10.一个篮球运动员投篮一次得‎3‎分的概率为a，得‎2‎分的概率为b，不得分的概率为c（a, b, c∈(0, 1)‎），已知他投篮一次得分的数学期望为‎2‎，则‎2‎a‎+‎‎1‎‎3b的最小值为（ ）‎ ‎ A.‎32‎‎3‎ B.‎28‎‎3‎ C.‎16‎‎3‎ D.‎‎4‎ ‎11.已知每次试验的成功概率为p(03)=a，，则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值是________．‎ ‎16.已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R)‎在区间‎[1, e]‎上取得最小值‎4‎，则m=‎________．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知复数z=3+bi(b∈R)‎，且‎(1+3i)⋅z为纯虚数．‎ ‎(1)‎求复数z；‎ ‎(2)‎若w=‎z‎2+i，求复数w的模‎|w|‎．‎ ‎18.在二项式‎(‎3‎x-‎‎1‎‎2‎‎3‎x‎)‎n的展开式中，‎ ‎(1)‎若所有二项式系数之和为‎64‎，求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎(2)‎若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．‎ ‎ ‎ ‎19.如图，李先生家住H小区，他工作在C处科技园区，从家开车到公司上班路上有L‎1‎、L‎2‎两条路线，L‎1‎路线上有A‎1‎、A‎2‎、A‎3‎三个路口，各路口遇到红灯的概率均为‎1‎‎2‎；L‎2‎路线上有B‎1‎、B‎2‎两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为‎3‎‎4‎，‎3‎‎5‎．‎ ‎(1)‎若走L‎2‎路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)‎按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．设a为实数，函数f(x)=ex-x+a，x∈R．‎ ‎(1)‎求f(x)‎在区间‎[-1, 2]‎上的最值；‎ ‎(2)‎求证：当a>-1‎，且x>0‎时，‎ex‎>‎1‎‎2‎x‎2‎-ax+1‎ ‎21.随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的‎2‎‎5‎．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有‎1‎‎3‎的人的休闲方式是运动．‎ ‎(1)‎完成下列‎2×2‎列联表： ‎ 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 n ‎(2)‎若在犯错误的概率不超过‎0.05‎的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 参考公式：K‎2‎‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎，其中n=a+b+c+d． ‎ P(K‎2‎≥K‎0‎)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ K‎0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎22.已知函数f(x)=ax‎2‎+bx-lnx(a, b∈R)‎ ‎(1)‎设a≥0‎，求f(x)‎的单调区间 ‎(2)‎设a>0‎，且对于任意x>0‎，f(x)≥f(1)‎．试比较lna与‎-2b的大小．‎ 参考答案 ‎1-12 BABDA CBDCC AA ‎13.甲 14. 15. 16.-3e 三17.（本小题10分）‎ 解：‎(1)(1+3i)⋅(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i ∵‎(1+3i)⋅z是纯虚数 ∴‎3-3b=0‎，且‎9+b≠0‎ ∴b=1‎，∴z=3+i(2)w=‎3+i‎2+i=‎(3+i)⋅(2-i)‎‎(2+i)⋅(2-i)‎=‎7-i‎5‎=‎7‎‎5‎-‎1‎‎5‎i ∴‎|w|=‎(‎7‎‎5‎‎)‎‎2‎+(‎‎1‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎ .............10‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 解：‎(1)‎由已知得Cn‎0‎‎+Cn‎1‎+…+Cnn=64‎，‎2‎n‎=64‎，∴n=6‎，.........4 展开式中二项式系数最大的项是T‎4‎‎=C‎6‎‎3‎(x‎1‎‎3‎‎)‎‎6-3‎(-‎1‎‎2‎x‎-‎‎1‎‎3‎‎)‎‎3‎=20⋅(-‎1‎‎8‎)⋅x‎0‎=-‎‎5‎‎2‎．.......6‎ ‎(2)‎展开式的通项为Tr+1‎‎=(-‎‎1‎‎2‎‎)‎rCnrxn-2r‎3‎，‎(r=0, 1‎,…,n)‎ 由已知：‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎0‎Cn‎0‎,(‎1‎‎2‎)Cn‎1‎,(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎Cn‎2‎成等差数列，‎2×‎1‎‎2‎Cn‎1‎=1+‎‎1‎‎4‎Cn‎2‎，∴n=8‎，........10 在‎(‎3‎x-‎‎1‎‎2‎‎3‎x‎)‎n的展开式中，令x=1‎，得各项系数和为‎1‎‎256‎．..............12‎ ‎19.（本小题12分）‎ 解：‎(1)‎走L‎2‎路线，遇到红灯次数X的取值为‎0‎，‎1‎，‎2‎． P(X=0)=(1-‎3‎‎4‎)×(1-‎3‎‎5‎)=‎‎1‎‎10‎，P(X=1)=(1-‎3‎‎4‎)×‎3‎‎5‎+‎3‎‎4‎×(1-‎3‎‎5‎)=‎‎9‎‎20‎，P(X=2)=‎3‎‎4‎×‎3‎‎5‎=‎‎9‎‎20‎．............4 ∴X分布列为：‎ ‎ ‎X ‎ ‎‎0‎ ‎ ‎‎1‎ ‎ ‎‎2‎ ‎ ‎P ‎ ‎‎1‎‎10‎ ‎ ‎‎9‎‎20‎ ‎ ‎‎9‎‎20‎ 数学期望EX=0×‎1‎‎10‎+1×‎9‎‎20‎+2×‎9‎‎20‎=‎‎27‎‎20‎．.............6‎ ‎(2)‎走L‎1‎路线，遇到红灯次数ξ∼B(3,‎1‎‎2‎)‎，则Eξ=3×‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎． ..........10 ∴Eξ>EX． 因此李先生从上述两条路线中选择L‎2‎的路线上班．.........12‎ ‎20.（本小题12分）‎ 解：‎(1)f‎'‎(x)=ex-1‎，令f‎'‎‎(x)=0‎，则x=0‎， x∈(-1, 0)‎，f‎'‎‎(x)<0‎，‎f(x)‎ 为减函数， x∈(0.2)‎，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎为增函数， 所以，f(x‎)‎min=f(0)=1+a；................3 又因为f(-1)=e‎-1‎+1+a,f(2)=e‎2‎-2+a,f(-1)-f(2)=‎1‎e-3-e‎2‎<0‎， 所以f(x‎)‎max=f(2)=e‎2‎-2+a．................6‎ ‎(2)‎证明：令g(x)=ex-‎1‎‎2‎x‎2‎+ax-1,g'(x)=ex-x+a，..........8 由‎(1)‎知，g‎'‎‎(x)≥g‎'‎(0)=1+a>0‎， 所以g(x)‎在‎(0, +∞)‎单调递增，.......10 所以g(x)>g(0)=0‎， 所以，当a>-1‎，且x>0‎时，ex‎>‎1‎‎2‎x‎2‎-ax+1‎．...........12‎ ‎21.（本小题12分）‎ 解：‎(1)2×2‎列联表： ‎ 运动 非运动 总计 男性 ‎1‎‎5‎n ‎1‎‎5‎n ‎2‎‎5‎n 女性 ‎1‎‎5‎n ‎2‎‎5‎n ‎3‎‎5‎n 总计 ‎2‎‎5‎n ‎3‎‎5‎n n ‎ ..............4‎ ‎(2)若在犯错误的概率不超过‎0.05‎的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，‎ 则K‎2‎‎≥K‎0‎=3.841‎ 由于K‎2‎‎=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎=n(‎1‎‎5‎n×‎2‎‎5‎n-‎1‎‎5‎n×‎1‎‎5‎n‎)‎‎2‎‎2‎‎5‎n×‎3‎‎5‎n×‎2‎‎5‎n×‎3‎‎5‎n=‎n‎36‎， 故n‎36‎‎≥3.841‎，即n≥138.276‎，又由‎1‎‎5‎n∈Z，故n≥140‎， 则若在犯错误的概率不超过‎0.05‎的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有‎140‎人；............8‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎的结论，本次被调查的人中，至少有‎2‎‎5‎‎×140=56‎人的休闲方式是运动．.......12‎ ‎22.（本小题12分）‎ 解：‎(1)‎由f(x)=ax‎2‎+bx-lnx(a, b∈R)‎ 知f'(x)=2ax+b-‎‎1‎x 当a=0‎时，f'(x)=‎bx-1‎x 若b≤0‎时，由x>0‎得，f'(x)<0‎恒成立，故函数的单调递减区间是‎(0, +∞)‎；‎ 若b>0‎，令f'(x)<0‎可得x<‎‎1‎b，即函数在‎(0, ‎1‎b)‎上是减函数，在‎(‎1‎b, +∞)‎上是增函数、 ‎ 所以函数的单调递减区间是‎(0, ‎1‎b)‎，单调递增区间是‎(‎1‎b, +∞)‎，...........3 当a>0‎时，令f'(x)=0‎，得‎2ax‎2‎+bx-1=0‎ 由于‎△=b‎2‎+8a>0‎，故有 x‎2‎‎=‎‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a，x‎1‎‎=‎‎-b-‎b‎2‎‎+8a‎4a 显然有x‎1‎‎<0‎，x‎2‎‎>0‎， 故在区间‎(0, ‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a)‎上，导数小于‎0‎，函数是减函数； 在区间‎(‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a, +∞)‎上，导数大于‎0‎，函数是增函数 .................5 综上，当a=0‎，b≤0‎时，函数的单调递减区间是‎(0, +∞)‎；当a=0‎，b>0‎时，函数的单调递减区间是‎(0, ‎1‎b)‎，单调递增区间是‎(‎1‎b, +∞)‎；当a>0‎，函数的单调递减区间是‎(0, ‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a)‎，单调递增区间是 ..............6‎ ‎ （2） 由题意，函数f(x)‎在x=1‎处取到最小值， 由（1）知，‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a是函数的唯一极小值点故‎-b+‎b‎2‎‎+8a‎4a‎=1‎ 整理得‎2a+b=1‎，即b=1-2a ..............8 令g(x)=2-4x+lnx，则g'(x)=‎‎1-4xx 令g'(x)=‎1-4xx=0‎得x=‎‎1‎‎4‎ 当‎00‎，函数单调递增； 当‎1‎‎4‎‎