黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学（文）第三次模拟试题（Word版附答案） 13页

高三三模·文科数学·第 1 页 共 3 页 哈尔滨市第六中学校 2020 届第三次模拟考试试题 文科数学 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题 卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知  | 1A x x  ，  2B x x  ，则 A B  （ ） .A  1, .B  1,2 .C  2, .D  ,2 2.已知向量 (1, 2)a   ， ( ,1)b mr .若向量 a 与b 垂直，则 m  （ ） .A 2 .B 3 .C 1 .D 2 3.在复平面内，复数 1 2 1 iz i   对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 4.双曲线 2 2 14 x y  的渐近线方程是（ ） 高三三模·文科数学·第 2 页 共 3 页 .A 2 0x y  .B 2 0y x  .C 4 0x y  .D 4 0y x  5.若实数 ,x y 满足 4 3 6 0 0 x y x y y         ，则 z x y  的最小值是（ ） .A 2 .B 4 .C 2 .D 6 6.已知等差数列 na 满足 1 5 10a a  ， 38 3aa  ，则数列 na 的前10项的和等于（ ） .A 10 .B 11 .C 100 .D 110 7.设 2 1 3 2,2ln,2log  cba 则（ ） .A a b c  .B b a c  .C c a b  .D c b a  8.若某位同学5次数学成绩和8 次语文成绩的茎叶图如图，则该同学的数学成绩平均分与语文成绩 的中位数分别为( ) .A 107,112 .B 5.106,113 .C 5.106,112 .D 108,112 9.已知函数   sin 2 cos2f x x x  ，则（ ） .A  f x 的最小正周期为 2  .B 曲线  y f x 关于 3 ,08      对称 .C  f x 的最大值为 2 .D 曲线  y f x 关于 3 8x  对称 高三三模·文科数学·第 3 页 共 3 页 10.四棱锥 S ABCD 的三视图如图所示，四棱锥 S ABCD 的五个顶点都在一个球面上， 则该球 的表面积为（ ） .A 3 .B 6 .C 9 .D 12 11.若函数 3( ) 3 2f x x x a   有3个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） .A  1,1 .B ( 1,1) .C  2,1 .D  1,2 12.设 1 2,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点 1F 的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，若 1 13MF F N  , 且 2 4cos 5MNF  ，则椭圆C 的离心率为（ ） .A 2 2 .B 3 3 .C 2 1 2  .D 2 1 3  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.已知抛物线的方程 22y x ，其准线方程为 ； 14.若命题“ 2 0 0 0,2 2 1 0x R x ax     ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ； 高三三模·文科数学·第 4 页 共 3 页 15.已知各项都为正数的等比数列{ }na ，若 8 12 105+ =14a a a ，则 2 1 2 2 2 3 2 19log log log + loga a a a    ； 16.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ，点 K 在棱 1 1A B 上运动，过 , ,A C K 三点作正方体的截面，若 K 与 1B 重合，此时截面把正方体分 成体积之比为 ）（ 10   的两部分，则  ；若 K 为 棱 1 1A B 的中点，则截面面积为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ，已知  cos 2 cosa C b c A  ． （1）求角 A 的大小； （2）若 7a  ， 2b  ，求 ABC 的面积. 18.（本小题满分 12 分） 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了止损，某地一水果店老板利用抖音 直播卖货，经过一段时间对一种水果的销售情况进行统计，得到5天的数据如下： 高三三模·文科数学·第 5 页 共 3 页 销售单价 ix （元/ kg ） 8 8.5 9 9.5 10 销售量 iy （ kg ） 1100 1000 800 600 500 （Ⅰ）建立 y 关于 x 的回归直线方程； （Ⅱ）该水果店开展促销活动，当该水果销售单价为6 元/ kg 时，其销售量达到 1800kg ，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对 值不超过50kg ，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回 归直线方程是否理想？ （Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该水果成本是5元/ kg ，销售单价 x 为何值时（销售单 价不超过11元/ kg ），该水果店利润的预计值最大？ 参考公式：回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a  ，其中 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆˆa y bx  ． 参考数据： 5 1 35200i i i x y   ， 5 2 1 407.5i i x   ． 高三三模·文科数学·第 6 页 共 3 页 19.（本小题满分 12 分） 已知正 ABC 边长为 3，点 M ，N 分别是 AB ，AC 边上的点， 1AN BM  ， 如图 1 所示.将 AMN 沿 MN 折起到 PMN 的位置，使线段 PC 长为 5 ，连接 PB ，如图 2 所示. （Ⅰ）求证:直线 PN  平面 BCNM ； （Ⅱ）求四棱锥 BCNMP  的体积. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     的长轴长为 4 ，且其离心率 1 2e  . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； 高三三模·文科数学·第 7 页 共 3 页 （Ⅱ）若过椭圆 E 右焦点的直线l 交椭圆于 ,M N 两点，求 MON 面积的最大值. （其中O 为坐标原点） 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( ln )f x a x x  ， ( ) xg x xe . （1）求函数 ( )g x 在 0x  处的切线方程； （2）设 ( ) ( ) ( ).h x f x g x  ①当 a e 时，求函数 ( )h x 的单调区间； ②当 1a  时，求函数 ( )h x 的极大值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 1C 的参数方程为 5 5 21 5 5 t x t y       （其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点， 高三三模·文科数学·第 8 页 共 3 页 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2cos sin   . （1）求 1C 和 2C 的直角坐标方程； （2）设点  0,1P ，直线 1C 交曲线 2C 于 ,A B 两点，求 2 2PA PB 的值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 函数   2 1 2f x x x    . （Ⅰ）求函数  f x 的最小值； （Ⅱ）若  f x 的最小值为 M ，  2 2 0, 0a b M a b    ，求证： 1 1 4 1 2 1 7a b    ． 高三三模·文科数学·第 9 页 共 3 页 哈六中三模文科数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A A C C A C D B B A 二、填空题 13. 8 1 14. 2,2 15.19 16. 2 9 5 1； 17.（1）由正弦定理得：sin sin sin sin2 A CA B A  ， ┈2 分 又因为sin 0A  ，所以sin sin2 A C B  ， 又因为在  中所以 2 A C B  或 + =2 A C B  ┈4 分 解得 = 3B  ┈6 分 （2）因为 2a  ， 7b  ， 3B  ， 由余弦定理得 2 2 27 2 2 2 cos 3c c      ， 即 2 2 3 0c c   . ┈8 分 又 0c  ，所以 3c  . ┈10 分 故 ABC 的面积为 1 1 3 3sin 2 3 sin2 2 3 2ABCS ac B       . ┈12 分 18.（Ⅰ） 9, 800x y  , 回归方程为 ˆ 320 3680y x   ┈4 分 （Ⅱ）当 6x  时， ˆ 320 6 3680 1760y      ，则 1760 1800 40 50   ， 高三三模·文科数学·第 10 页 共 3 页 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． ┈8 分 （Ⅲ）设销售利润为 M ，则    5 320 3680 5 11M x x x      2320 5280 19400M x x    ，所以 8.25x  时， M 取最大值， 所以该产品单价定为8.25 元时，公司才能获得最大利润． ┈12 分 19.解：（Ⅰ）依题意得，在 AMN 中， 2AM  ， 1AN  ， 3A   由余弦定理得 2 2 22 1 2 2 1 cos 33MN        ，即 3MN  2 2 2MN AN AM   ， AN MN  ，即 PN MN 在图 2 PNC△ 中， 1PN  ， 2NC  ， 5PC  2 2 2PC PN NC   ， PN NC  又 MN NC N  ， ,MN NC  平面 BCNM ， PN  平面 BCNM ┈6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 PN  平面 BCNM 所以 PN 为四棱锥 BCNMP  的高， 4 37 2 3212 134 3 2   AMNABCBCNM SSS 所以 312 7 3 1  PNSV BCNMBCNMP ┈12 分 20.（1）（Ⅰ）由已知得 2, 1 3a c b  ， ， 则 E 的方程为 2 2 14 3 x y  ； ┈4 分 （Ⅱ）由已知直线l 斜率不为 0， )0,1(F ，所以设直线l 方程为： 1 myx ， ),(),,( 2211 yxNyxM ， 高三三模·文科数学·第 11 页 共 3 页 由      134 1 22 yx myx 得：   09643 22  myym   01144 2  m 43 9,43 6 221221   myym myy ┈6 分   43 16412 1 2 1 2 2 21 2 2121   m myyyyyyOMS MON ┈8 分 设  112  tmt ，则 ttt tS MON 13 6 13 6 2   ，又因为 tty 13  在 ，1 上单调增， 所以当 1t 时， MON 面积有最大值 2 3 ，此时 0m . ┈12 分 21.（1）   ( 1 xg x x e   ） ，切线斜率   00 (0 1 1k g e   ） 又 0)0( g 切线方程为 =y x ┈3 分 （2）当 ea  时，     xxexxexh  ln 由  ( 1)1( ) 1 ( 1) ( 0) x x x e xe h x e x e xx x            ， 设 xxeexk )( ，   01)(  xexxk ，即 xxeexk )( 在  ，0 上单调递减，又因为 01)1( 1  eek 所以 10  x 时， 0)( xk ，即 0)(  xh ，此时函数 )(xh 单调递增， 1x 时， 0)( xk ，即 0)(  xh ，此时函数 )(xh 单调递减， 所以当 ea  时，函数  xh 的单调增区间为  10，，单调减区间为  ，1 ┈7 分 ②当 1a  时，  ( ) ln 0xh x x x xxe    ，  ( 1) 11( ) 1 ( 1) x x x xe h x x ex x        ， 高三三模·文科数学·第 12 页 共 3 页 令 ( ) 1 xM x xe  ， ( ) ( 1) 0xM x x e     ，则 ( )M x 在[0, ) 单调递减， 又   00 1 0M    ， (1) 1 0M e   ，   0 0,1x  使得 0 0 0( ) 1 0xM x x e   ， 故当  00,x x ， ( ) 0M x  即 ( ) 0h x  ，此时 ( )h x 单调递增； 当  0,x x  ， ( ) 0M x  即 ( ) 0h x  ，此时 ( )h x 单调递减； 且 0( )=0h x  ( )h x 极大值   0 0 0 0 0ln xh x x x x e    又 0 0 1xx e  ， 0 0ln ) ln1=0xx e （ ，所以 0 0 0 0+ln n 0ln lxx e x x   故 ( )h x 极大值   0 0 0 0 0ln 0 1= 1xh x x x x e       . ┈12 分 22.(1)由已知得 21,CC 的直角坐标方程分别为 yxCxyC  2 21 :,12: ┈5 分 （2）将直线 1C 的参数方程代入 2C 直角方程得： 05522  tt ，不妨设 BA, 对应的参数分别为 21,tt ，则 0 恒成立， 5,52 2121  tttt ， 又因为 )1,0(P ，所以由参数t 的几何意义得：   302 21 2 21 2 2 2 1 22  ttttttPBPA  3022  PBPA ┈10 分 高三三模·文科数学·第 13 页 共 3 页 23.（1） 3 1, 2, 1( ) 2 1 2 3, 2 ,2 13 1, ,2 x x f x x x x x x x                    当 2x ≤ 时， ( ) 5f x  ；当 12 2x   时， 5 ( ) 52 f x  ； 当 1 2x  时， 5( ) 2f x  ．所以 ( )f x 的最小值为 5 2 ． ┈5 分 （2）由（1）知 5 2M  ，即 2 5a b  ， 又因为 0, 0a b  ， 所以 1 1 1 2 1a b   1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b          1 2 1 127 1 2 1 b a a b         1 2 1 12 27 1 2 1 b a a b          4 7  ． 当且仅当 2a b ，即 5 5,2 4a b  时，等号成立， 所以 1 1 4 1 2 1 7a b    ． ┈10 分