【数学】福建省莆田市（第一联盟体）2020届高三上学期联考试题（文）（解析版） 19页

福建省莆田市（第一联盟体）2020届高三上学期联考 数学试题（文）‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 解得： ‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C ‎2.若，则cos2α=（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件得，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎3.若，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，且 ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 若， ，‎ 反过来，当时，满足，当此时 ，‎ 当，.‎ 故选：A.‎ ‎4.已知等比数列满足，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列公比为，‎ ‎ ，解得： ‎ 故选：B.‎ ‎5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该三视图对应的直观图是三棱锥，如下图所示 由棱锥的体积公式得：，解得： ‎ 故选：C.‎ ‎6.已知，则满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ，‎ 是单调递增函数，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎7.已知直线与抛物线相交于两点，是的中点，则点到抛物线准线的距离为（ ）‎ A. B. 4 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知直线过抛物线的焦点，如图，‎ 都和准线垂直，并且垂直分别是，‎ 由图象可知，‎ 根据抛物线的定义可知，‎ ‎，‎ ‎ 联立得，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎8.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 则函数在上为奇函数，故排除B、D.‎ ‎，当时，，即 所以函数在区间上单调递减，故排除C 故选：A.‎ ‎9.关于函数有下述四个结论：①是周期函数；②的最小值为；③的图象关于轴对称；④在区间单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】① ‎ ‎，‎ 是周期为的周期函数，故①正确；‎ ‎②的周期是，所以分析时函数的值域，‎ 当时， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的值域是，‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 的值域是，‎ 综上可知函数的值域是，最小值是-1，故②不正确；‎ ‎③ ‎ 是偶函数，关于轴对称，故③正确；‎ ‎④由②知，当时， ，‎ ‎ ，而在上单调递减，故④不正确.‎ 综上可知，正确编号是①③.‎ 故选：B.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，与双曲线右支交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ）‎ A. B. C. ） D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】取切点为B，连接BO，作，垂足于A 因为，且为的中点，所以 在直角三角形中，，所以 由双曲线的定义得： ‎ 由余弦定理可知：‎ 化简得：，又 所以，即 所以 故双曲线的渐近线斜率为 故选：A.‎ ‎11.2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成，即变换成.若按上述规定，若王华收到的密文是，那么原来的明文是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；‎ 对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，，即对应的明文为，故排除B；‎ 故选：C.‎ ‎12.已知对任意实数都有，，若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式 ‎ 当时，，即 ，‎ 设，， ‎ 当时， ，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，函数取得最小值，，‎ 当时，，‎ 当时，，即 设，， ，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 时，取得最大值，，‎ 时，，‎ 当时，恒成立，‎ 综上可知：.‎ 故选：D.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知复数满足（为虚数单位），则复数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎14.已知满足，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先画出不等式组表示的可行域，如图，‎ 令，画出初始目标函数，然后平移到点取得最大值 ‎ ，解得：，‎ ‎.‎ 当目标函数过点时，取得最小值，，‎ 的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎15.在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平面,垂足为点，连接，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ ‎，同理，‎ 是四边形外接圆的直径，‎ 取的中点，即是四边形外接圆的圆心，‎ 作平面，则 ‎ 过的中点作的垂线，交于点，则 ‎ ‎，‎ 是三棱锥外接球的球心，‎ ‎，，,‎ ‎,‎ ‎，即底面外接圆的直径是2，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎16.在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，，且，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是锐角三角形，在的内部，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 两边平方后 ‎ ‎,‎ ‎，且，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎，解得：（舍）或 ，‎ 即，‎ 的最大值是.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，.若在边上，且，求的长.‎ 解：（1）因为，‎ 由正弦定理可得，‎ 化简得：，‎ 所以，‎ 即.‎ 又因为，所以.‎ 则.‎ 因为，所以，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 因为，所以，即，‎ 因为，即，所以.‎ 中，，‎ 由余弦定理得：，‎ 则，‎ 所以.‎ ‎18.设数列的前项和为，且，为正项等比数列，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和.‎ 解：（1）由，得当时，，‎ 当时，，‎ 所以当时，，‎ 也满足此式.‎ 所以.‎ 又，‎ 因为为正项等比数列，设的公比为.‎ 所以，即，‎ 所以.‎ ‎（2）因为.‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ 所以.‎ ‎19.如图，正方形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若是的中点，设，且三棱锥的体积为，求的值.‎ ‎（1）证明：取中点，连结.‎ 因，所以.‎ 在中，，，‎ 则，‎ 所以，‎ 又，且面，‎ 所以面，‎ 又面，所以面面.‎ ‎（2）解：因为面面，‎ 又面面，且，‎ 所以面，‎ 所以.‎ 又因为，，‎ 所以.‎ 因为，所以.‎ 又，‎ 所以，得.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，离心率为，且过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交于，（异于）两点，直线的斜率分别为.若，求的值.‎ 解：（1）依题意得椭圆的离心率为，‎ 则 将点代入椭圆方程得，‎ 则，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的斜率为.‎ 由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线.‎ 由消去，得，‎ 所以，.‎ 所以 ‎.‎ 又因为点在椭圆上，所以，‎ 则，所以.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）函数在处的切线过点，求的方程；‎ ‎（2）若且函数有两个零点，求的最小值.‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以又，‎ 所以在处切线方程为，‎ 即.‎ 又因为直线过点，所以得即.‎ 所以直线方程为即.‎ ‎（2）因为.‎ 令得即，‎ 因为所以，‎ 所以当时，，当时，，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以.‎ 因为有两个零点，所以即得，‎ 又因为，‎ ‎.‎ 设 则，因为在上单调递增，‎ 所以，所以在单调递增，‎ 所以.‎ 又，所以，‎ 故在上有一个零点，在上有一个零点，‎ 即在上有两个零点，‎ 则又且，‎ 所以得最小值为8.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选--题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.已知曲线的参数方程为（‎ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.‎ 解：（1）曲线的普通方程为：，‎ 将曲线上的点按坐标变换得到，代入得的方程为：.‎ 化为极坐标方程为：.‎ ‎（2）点在直角坐标的坐标为，‎ 因为直线过点且倾斜角为，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入得：.‎ 设两点对应的参数分别为，‎ 则.‎ 所以.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都为正数，且，证明：.‎ 解：（1）由得得，‎ 因为的解集为，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以成立.‎