【数学】2019届一轮复习人教B版第4章三角函数解三角形第2节学案 12页

第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝‎ tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈ )‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎2.同角三角函数基本关系式的常用变形：‎ ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( )‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈ )，则sin α＝.( )‎ 解析 (1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(2018·大连双基测试)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝( )‎ A.－ B. C.－ D. 解析 因为α为锐角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－，故选A.‎ 答案 A ‎3.已知sin＝，那么cos α＝( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 ∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C.‎ 答案 C ‎4.(教材习题改编)已知tan α＝2，则的值为________.‎ 解析 原式＝＝＝3.‎ 答案 3‎ ‎5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.‎ 解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案 － 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2018·烟台测试)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－‎ sin α的值为( )‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )‎ A. B. C.1 D. 解析 (1)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ 答案 (1)B (2)A 规律方法 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )‎ A. B. C. D.－2‎ ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ 解析 (1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α，‎ 又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.‎ 因为cos＝cos αcos ＋sin αsin ，‎ 所以cos＝×＋×＝.‎ 答案 (1)A (2) 考点二 诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)已知A＝＋(k∈ )，则A的值构成的集合是( )‎ A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}‎ C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}‎ 解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ 答案 C ‎(2)求值：‎ 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求 f 的值.‎ 解 ∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝ ‎＝.‎ 规律方法 1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 ‎2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.‎ ‎(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.‎ 解析 (1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈ ，∴β＝π－α＋2kπ，k∈ ，∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.‎ ‎(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ 答案 (1) (2)1‎ 考点三 诱导公式、同角三角函数基本关系式的活用 ‎【例3】 (1)(2018·广州模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于( )‎ A. B. C.－ D.－ ‎(2)已知tan＝，则tan＝________.‎ 解析 (1)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎(2)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan ‎＝－tan＝－.‎ 答案 (1)D (2)－ 规律方法 1.常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎2.常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【训练3】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )‎ A.－1 B.－ C. D.1‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析 (1)由 得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.‎ ‎(2)由题意，得cos＝，∴tan＝.‎ ‎∴tan＝tan＝－＝－.‎ 答案 (1)A (2)－ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.sin 600°的值为( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°‎ ‎＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 答案 B ‎2.(2018·武汉模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝( )‎ A.－ B. C.－ D. 解析 因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.‎ 答案 C ‎3.(2018·青岛一模)已知tan θ＝3，则cos＝( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 ∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.‎ 答案 C ‎4.＝( )‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 ‎ 解析 ＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案 A ‎5.(2018·兰州质检)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝( )‎ A.－ B. C.－ D.－ 解析 ∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，‎ ‎∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，‎ ‎∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案 A ‎6.(2018·郴州二模)已知sin＝，则cos＝( )‎ A. B. C.－ D.－ 解析 因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.‎ 答案 B ‎7.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.‎ 答案 B ‎8.(2018·济南月考)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 018)的值为( )‎ A.－1 B.1 C.3 D.－3‎ 解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3.‎ 答案 C 二、填空题 ‎9.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为________.‎ 解析 由sin(π－α)＝，得sin α＝，‎ 又≤α≤π，所以cos α＝－，‎ 则sin 2α＝2sin αcos α＝－.‎ 答案 － ‎10.化简：＝________.‎ 解析 原式＝＝＝1.‎ 答案 1‎ ‎11.已知sin＝，则cos＝________.‎ 解析 ∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝.‎ 答案 ‎12.(2018·孝感质检)已知tan α＝3，则的值是________.‎ 解析 原式＝ ‎＝＝＝＝＝2.‎ 答案 2‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案 D ‎14.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )‎ A.1＋ B.1－ C.1± D.－1－ 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案 B ‎15.sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.‎ 解析 sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.‎ 答案 ‎16.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________.‎ 解析 由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，‎ 所以f ＝f ‎＝f ＝f ＝f ＋sinπ.‎ 因为当0≤x<π时，f(x)＝0.‎ 所以f ＝0＋＝.‎ 答案