2021高考数学一轮复习课后限时集训32数列的概念与简单表示法文北师大版2 5页

课后限时集训32‎ 数列的概念与简单表示法 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知数列，，，…，，，则3是这个数列的(　　)‎ A．第20项　　　　　 B．第21项 C．第22项 D．第23项 C　[由题意知，数列的通项公式为an＝，令＝3得n＝22，故选C.]‎ ‎2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)‎ A．15　　　　B．16　　　　C．49　　　　D．64‎ A　[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)‎ A．2n B．2n－1‎ C．2n D．2n－1‎ C　[当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.]‎ ‎4．(2019·石家庄模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 020的值为(　　)‎ A．2 B．－3 ‎ C．－ D. D　[由题意知，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，‎ 因此数列{an}是周期为4的周期数列，‎ ‎∴a2 020＝a505×4＝a4＝.故选D.]‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝3,2an＋1＝an＋1，则an＝(　　)‎ A．2n－2＋1 B．21－n＋1‎ C．2n＋1 D．22－n＋1‎ D　[由2an＋1＝an＋1得2(an＋1－1)＝an－1，‎ 即an＋1－1＝(an－1)，又a1＝3，‎ - 5 -‎ ‎∴数列{an－1}是首项为a1－1＝2，公比为的等比数列，‎ ‎∴an－1＝2×＝22－n，‎ ‎∴an＝22－n＋1，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ n－1　[当n＝1时，a1＝S1＝.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝－1.‎ 又a1＝适合上式，则an＝n－1.]‎ ‎7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 　[由an＝an－1得＝，‎ ‎∴an＝××…××a1‎ ‎＝××…××1＝.‎ 当n＝1时，a1＝1适合上式．‎ 故an＝.]‎ ‎8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎(n－1)2　[由题意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，‎ 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1‎ ‎＝＝(n－1)2.]‎ 三、解答题 ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；‎ ‎(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.‎ ‎[解](1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n - 5 -‎ ‎＋1·(2n－1)，‎ 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．‎ ‎(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.‎ 由于a1不适合此式，所以an＝ ‎10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解](1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，‎ 可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，‎ 解得a2＝2；‎ 同理a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋an， ①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1， ②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，‎ 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.‎ ‎1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－1　　　 B．an＝3n－1‎ C．an＝2n D．an＝3n C　[∵a－an＋1an－2a＝0，‎ ‎∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数，‎ ‎∴an＋1＋an＞0，‎ ‎∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，‎ ‎∴数列{an}是以2为公比的等比数列．‎ - 5 -‎ ‎∵a1＝2，∴an＝2n.]‎ ‎2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝n B．an＝n2‎ C．an＝ D．an＝ B　[∵＋＋…＋＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝(n≥2)，‎ 两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①‎ 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ ‎－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.‎ ‎∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.‎ 又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，‎ ‎∴Sn＝－.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎[解](1)由题意可得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ - 5 -‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎1．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a－9＝4(Sn－n)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎2n＋3　[当n＝1时，a－9＝4(a1－1)，得a1＝5或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a－9＝4(Sn－1－n＋1)，所以a－a＝4an－4，整理得(an－2)2＝a.因为数列{an}的 各项均为正数，所以an－2＝an－1，即an－an－1＝2(n≥2)，所以数列{an}是以5为首项，2为公差的等差数列，所以an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.]‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，‎ 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ - 5 -‎