数学理·江西省鹰潭一中2017届高三上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析 18页

‎2016-2017学年江西省鹰潭一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎2．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A∩B等于（　　）‎ A．[﹣2，2] B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3}‎ ‎3．若角765°的终边上有一点（4，m），则m的值是（　　）‎ A．1 B．±4 C．4 D．﹣4‎ ‎4．数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n+1（n∈N+） B．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ C．an=（﹣1）n+1（n∈N+） D．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ ‎5．设p：log2x＜0，q：（）x﹣1＞1，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎7．已知函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，则f（1）=（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．0 D．4﹣1‎ ‎8．已知、为平面向量，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．2‎ ‎10．数列{an}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（　　）‎ A．11 B．17 C．19 D．21‎ ‎11．设两个向量=（λ+2，λ2﹣cos2α）和=（m， +sinα），其中λ，m，α为实数．若=2，则的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，6] B．[﹣6，1] C．（﹣∞，] D．[4，8]‎ ‎12．若关于x的不等式xex﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为　　．‎ ‎14．数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n，则++…+=　　．‎ ‎15．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎16．在钝角△ABC中，∠A为钝角，令=， =，若=x+y（x，y∈R）．现给出下面结论：‎ ‎①当x=时，点D是△ABC的重心；‎ ‎②记△ABD，△ACD的面积分别为S△ABD，S△ACD，当x=时，；‎ ‎③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；‎ ‎④若=λ，其中点E在直线BC上，则当x=4，y=3时，λ=5．‎ 其中正确的有　　（写出所有正确结论的序号）．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R，m∈R}．‎ ‎（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；‎ ‎（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知在等差数列{an}中，a2=4，a5+a6=15．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+n，求b1+b2+…+b10．‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．‎ ‎（1）若向量，的夹角为钝角，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上， =m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．‎ ‎21．设函数f（x）在定义域[﹣1，1]是奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣3x2．‎ ‎（1）当x∈[0，1]，求f（x）；‎ ‎（2）对任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省鹰潭一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据不等式的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：∵a＜b＜0，‎ ‎∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，‎ ‎∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，‎ 故C正确，C，D不正确 当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A∩B等于（　　）‎ A．[﹣2，2] B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{0，1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由B中y=，得到4﹣x2≥0，‎ 解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，‎ ‎∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．若角765°的终边上有一点（4，m），则m的值是（　　）‎ A．1 B．±4 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】直接利用三角函数的定义，即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：因为角765°的终边上有一点（4，m），‎ 所以tan765°=tan45°==1，‎ 所以m=4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=（﹣1）n+1（n∈N+） B．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ C．an=（﹣1）n+1（n∈N+） D．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：观察数列各项，可写成：，﹣，，﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．设p：log2x＜0，q：（）x﹣1＞1，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由log2x＜0可知0＜x＜1，又由于＞1，得x﹣1＜0，故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵log2x＜0‎ ‎∴0＜x＜1，‎ 又∵＞1，‎ ‎∴得x﹣1＜0，‎ 故x＜1是0＜x＜1的充分不必要条件．‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．函数y=cos（4x+）的图象的相邻两个对称中心间的距离为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎【考点】余弦函数的图象；余弦函数的对称性．‎ ‎【分析】先根据函数的表达式求出函数的最小正周期，然后根据两向量对称轴间的距离等于半个周期可得答案．‎ ‎【解答】解：对于，T=‎ ‎∴两条相邻对称轴间的距离为=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，则f（1）=（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．0 D．4﹣1‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由已知利用函数性质推导出asin1﹣btan1=1，由此能求出f（1）的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，‎ ‎∴f（﹣1）=asin（﹣1）﹣btan（﹣1）+4×=﹣asin1+btan1+2=1，‎ ‎∴asin1﹣btan1=1，‎ ‎∴f（1）=asin1﹣bsin1+4×=1+2=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知、为平面向量，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据题意，画出平行四边形表示向量=， =， =，利用正弦定理即可求出．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 在平行四边形ABCD中， =， =， =，‎ ‎∠BAC=，∠DAC=，‎ 在△ABC中，由正弦定理得， ===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．2‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．‎ ‎∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．数列{an}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（　　）‎ A．11 B．17 C．19 D．21‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．‎ ‎【解答】解：由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，‎ 因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，‎ 且a10+a11＜0，‎ 所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，‎ 则S19=19a10＞0，‎ 又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12‎ 所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21‎ 又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，‎ 所以S19为最小正值，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．设两个向量=（λ+2，λ2﹣cos2α）和=（m， +sinα），其中λ，m，α为实数．若=2，则的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，6] B．[﹣6，1] C．（﹣∞，] D．[4，8]‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量相等的概念，向量相等，即向量的横纵坐标相等，可哪λ用m表示，所以可化简为2﹣，所以只需求的范围即可，再利用向量相等得到的关系式，把m用α的三角函数表示，根据三角函数的有界性，求出m的范围，就可得到的范围．‎ ‎【解答】解：∵=2，‎ ‎∴λ+2=2m，①λ2﹣cox2α=m+2sinα．②‎ ‎∴λ=2m﹣2代入②得，4m2﹣9m+4=cox2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα ‎=2﹣（sinα﹣1）2‎ ‎∵﹣1≤sinα≤1，∴0≤（sinα﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（sinα﹣1）2≤0‎ ‎∴﹣2≤2﹣（sinα﹣1）2≤2‎ ‎∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2‎ 分别解4m2﹣9m+4≥﹣2，与4m2﹣9m+4≤2得，≤m≤2‎ ‎∴≤≤4‎ ‎∴==2﹣‎ ‎∴﹣6≤2﹣≤1‎ ‎∴的取值范围是[﹣6，1]‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．若关于x的不等式xex﹣ax+a＜0的解集为（m，n）（n＜0），且（m，n）中只有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】设g（x）=xex，y=ax﹣a，求出g（x）的最小值，结合函数的图象求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=xex，y=ax﹣a，‎ 由题设原不等式有唯一整数解，‎ 即g（x）=xex在直线y=ax﹣a下方，‎ g′（x）=（x+1）ex，‎ g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，‎ 故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=ax﹣a恒过定点P（1，0），‎ 结合函数图象得KPA≤a＜KPB，‎ 即≤a＜，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13．由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】联立由曲线y=3﹣x2和y=2x两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（﹣3，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．‎ ‎【解答】解：联立得，解得或，‎ 设曲线与直线围成的面积为S，‎ 则S=∫﹣31（3﹣x2﹣2x）dx=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n，则++…+=　　．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】由an+1﹣an=a1+n，即an+1﹣an=1+n，采用累加法求得an=（n∈N*），则==2（﹣），采用裂项法即可求得++…+的值．‎ ‎【解答】解：an+1﹣an=a1+n，即an+1﹣an=1+n，‎ ‎∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，an﹣an﹣1=n（n≥2），‎ 上述n﹣1个式子相加得an﹣a1=2+3+…+n，‎ ‎∴an=1+2+3+…+n=，‎ 当n=1时，a1=1满足上式，‎ ‎∴an=（n∈N*），‎ 因此==2（﹣），‎ ‎∴++…+=‎ ‎=2（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=2（1﹣）‎ ‎=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是　[e2，+∞）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立 等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，‎ 即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，‎ f'（x）==，‎ 由f'（x）==0，‎ 解得lnx=﹣，即x=e﹣，‎ 由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，‎ 由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，‎ 即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，‎ 若m≤，‎ ‎∵当x=1时， =﹣1，‎ ‎∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，‎ 综上m≥e2．‎ 故答案为：[e2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．在钝角△ABC中，∠A为钝角，令=， =，若=x+y（x，y∈R）．现给出下面结论：‎ ‎①当x=时，点D是△ABC的重心；‎ ‎②记△ABD，△ACD的面积分别为S△ABD，S△ACD，当x=时，；‎ ‎③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；‎ ‎④若=λ，其中点E在直线BC上，则当x=4，y=3时，λ=5．‎ 其中正确的有　①②③　（写出所有正确结论的序号）．‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】①设BC的中点为M，判断是否与相等即可；‎ ‎②设，，将△ABD，△ACD的面积转化为△APD，△AQD的面积来表示；‎ ‎③求出x，y的范围，利用线性规划知识求出的范围；‎ ‎④用表示出，根据共线定理解出λ．‎ ‎【解答】解：①设BC的中点为M，则=，‎ 当x=y=时， =，‎ ‎∴D为AM靠近M的三等分点，故D为△ABC的重心．故①正确．‎ ‎②设，，则S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，‎ ‎∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，‎ ‎∴，故②正确．‎ ‎③∵D在△ABC的内部，∴，作出平面区域如图所示：‎ 令=k，则k为过点N（﹣2，﹣1）的点与平面区域内的点（x，y）的直线的斜率．‎ ‎∴k的最小值为kNS=，最大值为kNR=1．故③正确．‎ ‎④当x=4，y=3时，，‎ ‎∵，∴=，‎ ‎∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④错误．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，x∈R，m∈R}．‎ ‎（1）若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；‎ ‎（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】（1）先化简集合A，再根据A∩B=[0，3]，即可求得m的值．‎ ‎（2）先求CRB，再根据A⊆CRB，即可求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，‎ ‎∴A={x|﹣1≤x≤3，x∈R}，‎ ‎∵A∩B=[0，3]，‎ ‎∴m﹣2=0，即m=2，‎ 此时B={x|0≤x≤4}，满足条件A∩B=[0，3]．‎ ‎（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}．‎ ‎∴∁RB={x|x＞m+2或x＜m﹣2}，‎ 要使A⊆∁RB，‎ 则3＜m﹣2或﹣1＞m+2，‎ 解得m＞5或m＜﹣3，‎ 即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．已知在等差数列{an}中，a2=4，a5+a6=15．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+n，求b1+b2+…+b10．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．‎ ‎（2）由，利用分组求和法能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）∵由题意可知，‎ 解得a1=3，d=1，‎ ‎∴an=n+2；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．‎ ‎（1）若向量，的夹角为钝角，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上， =m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】（1）由已知点的坐标求出的坐标，再由向量，的夹角为钝角可得＜0，且A、B、C不共线，由此列式求得实数a的取值范围；‎ ‎（2）画出△ABC三边围成的区域，结合=m+n可得x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，再由线性规划知识求得m﹣n的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由A（a，a），B（2，3），C（3，2）．‎ 得，‎ 由题意，，‎ 得2＜a＜3且a，‎ ‎∴；‎ ‎（2）a=1时，A（1，1），B（2，3），C（3，2）．‎ 作出△ABC三边围成的区域如图：‎ ‎∵，∴（x，y）=m（1，2）+n（2，1），‎ 即x=m+2n，y=2m+n，解得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，‎ 由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．‎ ‎（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，‎ 从而可得，，即sinB=2sinBcosA，‎ 又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，‎ 又A亦为三角形内角，因此，．…‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ 由可知，，所以，从而，‎ 因此，，‎ 故的取值范围为．…‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）在定义域[﹣1，1]是奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣3x2．‎ ‎（1）当x∈[0，1]，求f（x）；‎ ‎（2）对任意a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，求θ的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，即可求出当x∈[0，1]，f（x）的表达式；‎ ‎（2）将不等式恒成立，转换为最值恒成立即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，f（﹣x）=﹣f（x），‎ 设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，‎ 则f（﹣x）=﹣3x2，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣3x2=﹣f（x），‎ 即f（x）=3x2．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=，‎ ‎∵不等式f（x）≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，‎ ‎∴f（x）max≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立，‎ ‎∵f（x）max=f（1）=3，‎ ‎∴2cos2θ﹣asinθ+1≥3，‎ 即2sin2θ+asinθ≤0，‎ 设f（a）=2sin2θ+asinθ，‎ ‎∵a∈[﹣1，1]，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴sinθ=0，‎ 即θ=kπ，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；‎ 法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎∵，‎ ‎∴…‎ ‎∵a＞2，∴，‎ 令f′（x）＞0，即，‎ ‎∵x＞0，∴0＜x＜1或，…‎ 所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…‎ ‎（Ⅱ）解法一：当a=4时，‎ 所以在点P处的切线方程为…‎ 若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），‎ 则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），‎ 当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…‎ ‎①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 即当0＜x＜x0时，恒成立，‎ 令，则φ（x0）=0，…‎ 要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．‎ 又∵，…‎ ‎∴，即．…‎ ‎②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…‎ ‎∴．…‎ 所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…‎ ‎（Ⅱ）解法二：‎ 猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：‎ 当时，…‎ ‎①当时，f（x）＜g（x）恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 令…‎ ‎∵，∴函数φ（x）在上单调递增，‎ 从而当时，恒成立，‎ 即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…‎ ‎②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…‎ 综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…‎ ‎　‎ ‎2016年11月18日