命题角度6-2 函数的单调性与极值、最值的综合应用（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 14页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度2：函数的单调性与极值、最值的综合应用 ‎1.已知函数， .‎ ‎（1）求函数在上的最值；‎ ‎（2）求函数的极值点.‎ ‎【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得 ，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.‎ 因为，所以 ，‎ 其中， .‎ 因为，所以， ，‎ 所以当时， ，当时， ，‎ 所以函数在上是增函数，在上是减函数，‎ 故为函数的极大值点，函数无极小值点.‎ ‎2.已知函数， ，其中， .‎ ‎（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；‎ ‎（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析: （1）求导,由题意,可得,下来按照求函数的单调区间与极值的一般步骤求解即可;‎ ‎（2）当时， ，求导,酒红色的单调性可得,进而得到.‎ 又， ，分类讨论,可得或时， 在上无极值.‎ 若，通过讨论的单调性，可得 ，或 ，可得的取值范围.‎ 试题解析:（1），‎ ， ， .‎ 令得， ，‎ 令得；令得或.‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为， .‎ 的极小值为.‎ ‎（i）若，则， 在上递增， 在上无极值.‎ ‎（ii）若，则， 在上递减， 在上无极值.‎ ‎（iii）若， 在上递减，在上递增，‎ ，或 ，‎ ， .‎ 综上， 的取值范围为.‎ 点睛：本题考查导数在研究函数性质时的综合应用，属难题.解题时要认真研究题意，进而通过分类讨论研究其性质以达到解决问题的目的 ‎3.已知函数，.‎ ‎（l）求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.‎ ‎【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)或.‎ 试题解析：（1）由已知得，.‎ 当时，由，得，‎ 由，得.‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）因为 ，‎ 则 .‎ 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 又因为，.‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递减；‎ 在上，在上单调递增.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 所以在上有且只有一个零点.‎ 又在上，在上单调递增；‎ 在上，在上单调递减.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题先把极值点问题转化为，导函数零点问题，即零点存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数f(x)；②求区间(a,b)两端点的函数值f(a)和(b)；③若函数在该区间上连续且f(a)f(b)<0，则方程在该区间内必有根.‎ ‎4.已知函数 (其中， ).‎ ‎(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎【答案】(1) ；（2）最大值是 ，最小值是0；（3）证明见解析 .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由题意可知：当时， 恒成立，解出的取值范围即可；（2）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；（3）利用（2）的结论，只要令，利用放缩法证明即可.‎ 试题解析：(1) ， 函数在上为增函数， 对任意恒成立. 对任意恒成立，即对任意恒成立. 时， ， 所求正实数的取值范围是.‎ ‎(2)当时， ， 当时， ，故在上单调递减； 当时， ，故在上单调递增；‎ 在上有唯一的极小值点，也是最小值点， 又因为， ， ， 所以在上有的最大值是 综上所述， 在上有的最大值是，最小值是0‎ ‎5.设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求， 的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1）， ．（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（１）借助导数的几何意义建立方程组求解；（２）依据题设条件借助到数与函数的单调性之间的关系分析求解；（３）借助题设条件运用分类整合思想进行分析求解：‎ ‎（Ⅰ）， ．‎ 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且，即，且，解得， ．‎ ‎（Ⅱ）记，当时， ，‎ 由（Ⅱ）的单调增区间为， ；单调减区间为．‎ ‎①当时，即时， 在区间上单调递增，‎ 所以在区间上的最大值为 ；‎ ‎②当且，即时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为；‎ 当且，即时， 且，所以在区间上的最大值为；‎ ‎③当时， ， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为与中的较大者，‎ 由知，当时， ，所以在区间上的最大值为；‎ ‎④当时， 在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为．‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置问题旨在考查导数与函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，充分借助导数的几何意义这一条件信息建立方程组求解，使得问题获解；求解第二问时，依据题设条件借助到数与函数的单调性之间的关系，先求函数的导数，再确定函数中参数的取值范围；解答本题的第三问时，先构造函数，再求出其导数，然后）借助题设条件运用分类整合思想分别求出其最大值从而使得问题获解。‎ ‎6.设函数. ‎ ‎（1）若，证明： 在上存在唯一零点；‎ ‎（2）设函数，（ 表示中的较小值），若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明在上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值.‎ ‎（2）由（1）得， 在上存在唯一零点， 时， 时，‎ .当时，由于； 时， ，于是在单调递增，则，所以当时， .当时，因为， 时， ，则在单调递增； 时， ，则在单调递减，于是当时， ，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.‎ ‎7.已知函数．‎ ‎（I）若，求曲线在点处的切线的方程；‎ ‎（II）设函数有两个极值点，其中，求的最小值．‎ ‎【答案】（I）;（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）求出，可得切线斜率 ，再根据点斜式可得切线方程；（II）得，其两根为，且，从而，利用导师研究其单调性，进而可得结果.‎ 试题解析：（I）当时，，‎ 得切线的方程为即．‎ ‎（II），定义域为．‎ ‎，令得，其两根为，‎ 且．所以，．‎ ‎，‎ ‎．‎ 则,‎ ‎,‎ 当时，恒有时，恒有，‎ 总之当时，在上单调递减，所以，‎ ‎．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎8.已知， ，其中是自然常数， .‎ ‎（1）当时，求的极值，并证明恒成立；‎ ‎（2）是否存在实数，使的最小值为 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵， .‎ ‎∴当时， ，此时单调递减；‎ 当时， ，此时单调递增.‎ ‎∴的极小值为.即在上的最小值为 .‎ 令， ，‎ 当时， ， 在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴恒成立.‎ ‎（2）假设存在实数，使有最小值 ， .‎ ‎①当时， 在上单调递减， ， （舍去），‎ ‎∴时，不存在使的最小值为3.‎ ‎②当时， 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ，满足条件.‎ ‎③当时， 在上单调递减， ，（舍去），‎ ‎∴时，不存在使的最小值为 .‎ 综上，存在实数，使得当时， 有最小值 .‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数a,使有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题.‎ ‎9. 已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若,求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若存在两个极值点，求的最小值.‎ ‎【来源】重庆一中2017届高三下学期期中考试试卷（5月考）数（文）‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3） 试题解析：解:（Ⅰ）时, 所以 ,‎ 所以在点处的切线方程为 ‎ ‎（Ⅱ） ‎ 的的对称轴为 ‎ 当即时,方程无解,‎ 在恒成立,所以在单增 当即时,方程有相等的实数解, ‎ 在恒成立,所以在单增 当即时,方程有解,‎ 解得 当时, ,解不等式 所以在单增,在单减 ‎ ‎ 当时, ,解不等式 ‎ 所以在单增,在单减 ,在和单增, ‎ 综上所得:，单调递减，单调递增；‎ ‎，单调递增，单调递减，‎ 单调递增；，单调递增 ‎ ‎(Ⅲ)´由(Ⅰ)可知当时函数有两个极值点,且为方程 的两个根, , 令,则问题转化为在的最值.‎ 又∵且 , ‎ 所以在,所以当时最小 ‎∴ ‎【点睛】本题考查了利用导数解决切线，单调性和函数极值，最值的综合问题，利用导数求函数的单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得 的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间，利用导数求极值，先求导数的零点，再分析两侧的单调性，确定是极大值还是极小值.‎ ‎10.已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.‎ ‎【来源】河北省定州中学2017届高三下学期第二次月考（4月）数学试题 ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得，即得不等式，（2）利用（1）结论可得函数的导数在区间内单调递增，根据零点存在定理可得有一唯一零点且．从而可得在处取最小值，利用化简，得．最后再利用导数研究函数单调性，即得函数的值域.‎ ‎（2）对求导，得， ． ‎ 记， ．‎ 由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增， ‎ 又， ，所以存在唯一正实数，使得 ．‎ 于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；‎ 当时， ， ，函数在区间内单调递增．‎ 所以在内有最小值， ‎ 由题设即． ‎ 又因为．所以．‎ 根据（Ⅰ）知， 在内单调递增， ，所以．‎ 令，则，函数在区间内单调递增，‎ 所以，‎ 即函数的值域为． ‎