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- 2021-06-12 发布
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2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(每题5分,共12道题,满分60分)
1.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则z=( )
A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i
2.取一个正方形及其外接圆,随机向圆内抛一粒豆子,则豆子落入正方形外的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知p:|x|<2;q:x2﹣x﹣2<0,则q是p的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
5.若y=,则y′=( )
A. B.
C. D.
6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分如图所示,则甲、乙两运动员得分的中位数分别是( )
A.26 33.5 B.26 36 C.23 31 D.24.5 33.5
7.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,则对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球,都是白球
B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球
8.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A. B. C. D.
9.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,)
10.椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间的关系如下:
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
5
2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程: =﹣x+2.8;但现在丢失了一个数据,该数据应为( )
A.3 B.4 C.5 D.2
12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
二、填空题(每道小题5分,共4道,满分20分)
13.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,,且z1•是实数,则实数t等于 .
14.所给命题:
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;
②{x|x2+1=0,x∈R}=∅或{0}=∅;
③对于命题:“p且q”,若p假q真,则“p且q”为假;
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.
其中为真命题的序号为 .
15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为 .
16.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值,并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为 .
三、解答题(满分70分)
17.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.
18.已知复数z=(2+i)m2﹣﹣2(1﹣i).当实数m取什么值时,复数z是:
(1)零;
(2)虚数;
(3)纯虚数;
(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
19.已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)讨论f(1)和f(﹣1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
20.已知双曲线C1:.
(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当•=3时,求实数m的值.
21.设函数f(x)=x3﹣x2+6x﹣a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
2016-2017学年辽宁省辽河油田二中高二(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每题5分,共12道题,满分60分)
1.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则z=( )
A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】复数方程两边同乗1﹣2i,化简即可.
【解答】解:∵(1+2i)z=4+3i,
∴(1﹣2i)(1+2i)z=(4+3i)(1﹣2i)
5z=10﹣5i,
z=2﹣i,
故选B.
2.取一个正方形及其外接圆,随机向圆内抛一粒豆子,则豆子落入正方形外的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出豆子落入正方形外对应图形的面积,及满足条件“外接圆”的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解.
【解答】解:设正方形的边长为1,
由已知易得:S正方形=1
S外接圆=
故豆子落入正方形外的概率P==
故选B.
3.已知p:|x|<2;q:x2﹣x﹣2<0,则q是p的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【解答】解:由|x|<2,得﹣2<x<2,
由x2﹣x﹣2<0得﹣1<x<2,
则q是p的充分不必要条件,
故选:A
4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】等可能事件的概率.
【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果,而满足条件的事件是a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3共有3种结果.
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果,
而满足条件的事件是a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3共有3种结果,
∴由古典概型公式得到P==,
故选D.
5.若y=,则y′=( )
A. B.
C. D.
【考点】导数的乘法与除法法则.
【分析】因为的导数为,对于函数的导数,直接代入公式计算即可.
【解答】解:∵,∴y′=
=
故选A
6.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分如图所示,则甲、乙两运动员得分的中位数分别是( )
A.26 33.5 B.26 36 C.23 31 D.24.5 33.5
【考点】茎叶图.
【分析】
由茎叶图知甲的数据有12个,中位数是中间两个数字的平均数,乙的数据有13个,中位数是中间一个数字36.
【解答】解:由茎叶图知甲的数据有11个,中位数是中间一个数字26.
乙的数据有12个,中位数是中间两个数字的平均数=33.5.
故选:A.
7.从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,则对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球,都是白球
B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】对立事件是在互斥的基础之上,在一次试验中两个事件必定有一个要发生.根据这个定义,对各选项依次加以分析,不难得出选项B才是符合题意的答案.
【解答】解:对于A,至少有1个白球和都是白球能同时发生,故它们不互斥,更谈不上对立了,
对于B,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个红球”也会发生,
比如恰好一个白球和一个红球,故B不对立;
对于C,恰有1个白球,恰有2个白球是互斥事件,它们虽然不能同时发生
但是还有可能恰好没有白球的情况,因此它们不对立;
对于D,“至少有1个白球”说明有白球,白球的个数可能是1或2,
而“都是红球”说明没有白球,白球的个数是0,
这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,故B是对立的;
故选:D
8.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A. B. C. D.
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,分析可知:该程序的作用是计算并输出S=++的值,并输出.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是计算并输出S=++的值
∵S=++=.
故选D.
9.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】对函数进行求导,令导函数大于等于0在R上恒成立即可.
【解答】解:若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.
故选C.
10.椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质;等比关系的确定.
【分析】由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列可得到e2==,从而得到答案.
【解答】解:设该椭圆的半焦距为c,由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,
∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,
∴(2c)2=(a﹣c)(a+c),
∴=,即e2=,
∴e=,即此椭圆的离心率为.
故选B.
11.某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间的关系如下:
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
5
2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程: =﹣x+2.8;但现在丢失了一个数据,该数据应为( )
A.3 B.4 C.5 D.2
【考点】线性回归方程.
【分析】求出的值,代入方程,求出的值,从而求出丢失了的数据.
【解答】解:设该数据是a,
=0,故=﹣x+2.8=2.8,
∴(5+a+2+2+1)=2.8,
解得:a=4,
故选:B.
12.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
【考点】圆锥曲线的共同特征;椭圆的标准方程;双曲线的简单性质.
【分析】由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得(2,2)在椭圆C: +=1.利用,即可求得椭圆方程.
【解答】解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,
∴(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0)上
∴
又∵
∴
∴a2=4b2
∴a2=20,b2=5
∴椭圆方程为: +=1
故选D.
二、填空题(每道小题5分,共4道,满分20分)
13.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,,且z1•是实数,则实数t等于 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】首先写出复数的共轭复数,再进行复数的乘法运算,写成复数的代数形式的标准形式,根据是一个实数,得到虚部为0,得到关于t的方程,得到结果.
【解答】解:∵复数z1=3+4i,z2=t+i,
∴z1•=(3t+4)+(4t﹣3)i,
∵z1•是实数,
∴4t﹣3=0,
∴t=.
故答案为:
14.所给命题:
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题;
②{x|x2+1=0,x∈R}=∅或{0}=∅;
③对于命题:“p且q”,若p假q真,则“p且q”为假;
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件.
其中为真命题的序号为 ③④ .
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“,对角线互相平分的四边形不一定是菱形;
②,{0}中有一个元素0,∅中一个元素都没有;
③,若p、q中只要有一个是假,则“p且q”为假;
④,满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°.
【解答】解:对于①,原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”,对角线互相平分的四边形不一定是菱形,故错
对于②,{0}中有一个元素0,∅中一个元素都没有,故错;
对于③,若p、q中只要有一个是假,则“p且q”为假,故正确;
对于④,满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形,等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°,故正确.
故答案为:③④
15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】设∠AFx=θ(0<θ<π,利用|AF|=3,可得点A到准线l:x=﹣1的距离为3,从而cosθ=,进而可求|BF|,|AB|,由此可求AOB的面积.
【解答】解:设∠AFx=θ(0<θ<π)及|BF|=m,
∵|AF|=3,
∴点A到准线l:x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=,
∵m=2+mcos(π﹣θ)
∴
∴△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=
故答案为:.
16.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值,并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为
f(x)=x3+x2﹣8x+6 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数在某点取得极值的条件.
【分析】求出f′(x),由函数在x=﹣2处取得极值得到f′(﹣2)=0,又∵函数与直线在点 (1,0 )处相切,∴f′(1)=﹣3,联立两个关于a、b的二元一次方程,求出a和b,又由函数过点(1,0),代入求出c的值,则函数f(x)的表达式可求.
【解答】解:∵f′(x)=3x2+2ax+b,
∴f′(﹣2)=3×(﹣2)2+2a×(﹣2)+b=0,
化简得:12﹣4a+b=0 ①
又f′(1)=3+2a+b=﹣3 ②
联立①②得:a=1,b=﹣8
又f(x)过点(1,0)
∴13+a×12+b×1+c=0,∴c=6.
∴f(x)=x3+x2﹣8x+6.
故答案为:f(x)=x3+x2﹣8x+6.
三、解答题(满分70分)
17.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(1)列出基本事件,求出基本事件数,找出满足“x+y≤3”的种数,再根据概率公式解答即可;
(2)从基本事件中找出满足条件“|x﹣y|=2”的基本事件,再根据古典概型的概率公式解之即可.
【解答】解:设(x,y)表示一个基本事件,则掷两次骰子包括:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36个基本事件.
(1)用A表示事件“x+y≤3”,
则A的结果有(1,1),(1,2),(2,1),共3个基本事件.
∴.
答:事件“x+y≤3”的概率为.
(2)用B表示事件“|x﹣y|=2”,
则B的结果有(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1),共8个基本事件.
∴.
答:事件“|x﹣y|=2”的概率为.
18.已知复数z=(2+i)m2﹣﹣2(1﹣i).当实数m取什么值时,复数z是:
(1)零;
(2)虚数;
(3)纯虚数;
(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】首先把复数进行整理,先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数化成代数形式的标准形式,(1)当这个数字是0时,需要实部和虚部都等于0,(2)当复数是一个虚数时,需要虚部不等于0,(3)当复数是一个纯虚数时,需要实部等于零而虚部不等于0,(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数,得到实部和虚部的和等于0.解方程即可.
【解答】解:复数z=(2+i)m2﹣﹣2(1﹣i)=2
=2m2﹣3m﹣2+(m2﹣3m+2)i
(1)当这个数字是0时,
有2m2﹣3m﹣2=0,
m2﹣3m+2=0,
∴m=2
(2)当数字是一个虚数,
m2﹣3m+2≠0,
∴m≠1 m≠2
(3)当数字是一个纯虚数
有2m2﹣3m﹣2=0,
m2﹣3m+2≠0,
∴m=﹣
(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数
有2m2﹣3m﹣2+m2﹣3m+2=0,
∴m=0或m=2
19.已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)讨论f(1)和f(﹣1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出f'(x),因为函数在x=±1处取得极值,即得到f'(1)=f'(﹣1)=0,代入求出a与b得到函数解析式,然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性,得到f(1)和f(﹣1)分别是函数f(x)的极小值和极大值;
(Ⅱ)先判断点A(0,16)不在曲线上,设切点为M(x0,y0),分别代入导函数和函数中写出切线方程,因为A点在切线上,把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程.
【解答】(Ⅰ)解:f'(x)=3ax2+2bx﹣3,依
题意,f'(1)=f'(﹣1)=0,
即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3﹣3x,f'(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1).
令f'(x)=0,得x=﹣1,x=1.
若x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
则f'(x)>0,
故f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若x∈(﹣1,1),
则f'(x)<0,故f(x)在(﹣1,1)上是减函数.
所以,f(﹣1)=2是极大值;f(1)=﹣2是极小值.
(Ⅱ)解:曲线方程为y=x3﹣3x,点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),
则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0.
因f'(x0)=3(x02﹣1),
故切线的方程为y﹣y0=3(x02﹣1)(x﹣x0)
注意到点A(0,16)在切线上,有16﹣(x03﹣3x0)=3(x02﹣1)(0﹣x0)
化简得x03=﹣8,
解得x0=﹣2.
所以,切点为M(﹣2,﹣2),切线方程为9x﹣y+16=0.
20.已知双曲线C1:.
(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当•=3时,求实数m的值.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的标准方程.
【分析】(1)先确定双曲线C1:的焦点坐标,根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,),建立方程组,从而可求双曲线C2的标准方程;
(2)直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立,求出A、B两点的坐标用坐标,利用数量积,即可求得实数m的值.
【解答】解:(1)∵双曲线C1:,
∴焦点坐标为(,0),(,0)
设双曲线C2的标准方程为(a>0,b>0),
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)
∴,解得
∴双曲线C2的标准方程为
(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=﹣2x
由,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m)
由,可得x=﹣m,y=m,∴B(﹣m, m)
∴
∵
∴m2=3
∴
21.设函数f(x)=x3﹣x2+6x﹣a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;一元二次方程的根的分布与系数的关系.
【分析】(1)先求函数f(x)的导数,然后求出f'(x)的最小值,使f'(x)min≥m成立即可.
(2)若欲使方程f(x)=0有且仅有一个实根,只需求出函数的极大值小于零,或求出函数的极小值大于零即可.
【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣9x+6=3(x﹣1)(x﹣2),
因为x∈(﹣∞,+∞),f′(x)≥m,
即3x2﹣9x+(6﹣m)≥0恒成立,
所以△=81﹣12(6﹣m)≤0,
得,即m的最大值为
(2)因为当x<1时,f′(x)>0;
当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0;
所以当x=1时,f(x)取极大值;
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2﹣a;
故当f(2)>0或f(1)<0时,
方程f(x)=0仅有一个实根、解得a<2或
22.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:(a>b>0)的左焦点为F1(﹣1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,点P(0,1)代入椭圆,得b=1,由此能求出椭圆C1的方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+m,由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0.由此能求出直线l的方程.
【解答】解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(﹣1,0),所以c=1,
点P(0,1)代入椭圆,得,即b=1,
所以a2=b2+c2=2
所以椭圆C1的方程为.
(2)直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
因为直线l与椭圆C1相切,
所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0
整理得2k2﹣m2+1=0①
由,消去y并整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0
因为直线l与抛物线C2相切,所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0
整理得km=1②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为或.
2017年1月18日