【数学】2020届一轮复习人教A版第63课等差、等比数列的综合学案（江苏专用） 6页

第63课　等差、等比数列的综合问题 ‎1. 等差、等比数列(C级要求).‎ ‎2. 高考中可能重点关注等差、等比数列{an}的前n项和Sn与通项公式an之间的相互转化，以及基本量、性质的运用.‎ ‎1. 阅读：必修5第65～68页.‎ ‎2. 解悟：①画出本章知识框图；②写出等差、等比数列的常用性质，体会形式上的联系与区别；③体会课本中整理知识的方法.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第67～68页习题第5、6、9、15题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为　2　.‎ 解析：设数列{an}的公差为d(d≠0).由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.‎ ‎2. 已知等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前6项和为　－24　.‎ 解析：设数列{an}的公差为d(d≠0).根据题意得a＝a2a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)或d＝－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.‎ ‎3. 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　－　.‎ 解析：由题意得S1＝a1＝－1；由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，‎ 故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.‎ ‎4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1dn；当n≥5时，dn＋10，‎ 所以函数f(k)单调递增，所以f(k)min＝2，‎ 所以λ<2；‎ ‎②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，‎ 则T2k－1＝T2k－a2k＝2k－(4k－1)＝1－2k，‎ 代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，‎ 得λ(1－2k)<(2k－1)4k，从而λ>－4k.‎ 因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，‎ 所以λ>－4.‎ 综上所述，实数λ的取值范围为(－4，2).‎ ‎【注】 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.‎ 考向❸ 新定义(类“等差”“等比”数列)问题 例3　若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”.已知数列{an}满足an＝2n－1＋1.判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论.‎ 解析：数列{an}不是“等比源数列”. 用反证法证明如下：‎ 假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列，‎ 因为an＝2n－1＋1，所以am＜an＜ak.‎ 由题意得a＝amak，‎ 所以(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，‎ 即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.‎ 又m＜n＜k，m，n，k∈N*，‎ 所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1，‎ 所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾，‎ 所以数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.‎ 所以数列{an}不是“等比源数列”.‎ 上例中若数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*).求证：数列{an}为“等比源数列”.‎ 解析：不妨设等差数列{an}的公差d≥0.‎ 当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，则数列{an}为“等比源数列”；‎ 当d＞0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，‎ 所以数列{an}中必有一项am＞0.‎ 为了使得数列{an}为“等比源数列”，‎ 只需要数列{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得a＝amak成立，即[am＋(n－m)d]2＝am·[am＋(k－m)d]，‎ 即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(k－m)成立，‎ 当n＝am＋m，k＝2am＋amd＋m时，上式成立，‎ 所以数列{an}中存在am，an，ak成等比数列.‎ 所以数列{an}为“等比源数列”.‎ ‎【注】 新定义问题中，需要严格以新定义为核心，借助特殊值理解题意，借助等差、等比数列的研究技巧进行变形求解.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝　1　.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题意得－1＋3d＝－q3＝8，解得d＝3，q＝－2，所以＝＝1.‎ ‎2. 设公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若－3a1，－a2，a3成等差数列，且a1＝1，则S4＝　－20　Ｗ.　‎ 解析：设数列{an}的公比为q，且q≠1.由题意得－2a2＝－3a1＋a3，即－2q＝－3＋q2，解得q＝－3或q＝1(舍去)，所以S4＝＝－20.‎ ‎3. 设等比数列{an}的前n项和Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8＝　2.‎ 解析：设{an}的公比为q.由题意得2S9＝S3＋S6，所以q≠1，‎ 所以 解得所以a8＝a1q7＝a1q×(q3)2＝8×＝2.‎ ‎4. 已知{an}是首项为2，公差不为0的等差数列，若a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝　　.‎ 解析：设数列{an}的公差为d.由题意得a＝a1a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，即(2＋2d)2＝‎ ‎2(2＋5d)，解得d＝，所以Sn＝na1＋d＝2n＋×＝.‎ ‎1. 解决等差(比)数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；②运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).‎ ‎2. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎