人教A版理科数学课时试题及解析（50）抛物线A 5页

课时作业(五十)A　[第50讲　抛物线]‎ ‎[时间：35分钟　　分值：80分]‎ ‎1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)‎ A．(2,0) B．(－2,0)‎ C．(4,0) D．(－4,0)‎ ‎2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x ‎3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. ‎4．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5． 以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0‎ C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0‎ ‎6． 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝2 D．x＝－2‎ ‎7． 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)‎ A. B．‎1 C．2 D．4‎ ‎8． 已知点M是抛物线y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎9． 已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．‎ ‎10． 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．‎ ‎11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.‎ ‎12．(13分) 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．‎ ‎(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；‎ ‎(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．‎ ‎13．(12分) 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．‎ ‎(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；‎ ‎(2)若＝λ1，＝λ2，∈，求λ2的取值范围．‎ 课时作业(五十)A ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 由y2＝－8x，易知焦点坐标是(－2,0)．‎ ‎2．B　[解析] 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.‎ ‎3．A　[解析] 设动点P到直线l1和直线l2的距离之和为d，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.‎ ‎4．D　[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝2py1，x＝2py2，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝2p(y1－y2)，即kAB＝＝＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．D　[解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.‎ ‎6．B　[解析] 抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，‎ 将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，‎ 所以＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，‎ 准线方程为x＝－1.‎ ‎7．C　[解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x＝－，圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16.‎ ‎∴3－＝4，∴p＝2.‎ 方法2：作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－＝－1，解得p＝2.‎ ‎8．C　[解析] 由题意可知，焦点坐标为F(0,1)，准线方程为l：y＝－1.过点M作MH⊥l于点H，由抛物线的定义，得|MF|＝|MH|.‎ ‎∴|MA|＋|MF|＝|MH|＋|MA|，当C、M、H、A四点共线时，|MA|＝|MC|－1，|MH|＋|MC|有最小值，于是，|MA|＋|MF|的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.‎ ‎9．－　[解析] 抛物线方程为x2＝y，故其准线方程是y＝－＝1，解得a＝－.‎ ‎10.　[解析] 设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝.‎ ‎11．±　[解析] 过点A(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x1＝，x1x2＝1.‎ 因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即＝6，解得k＝±.‎ 而此时k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±.‎ ‎12．[解答] (1)由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)．由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，‎ 解得k＝±，所以直线l的斜率为±.‎ ‎(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为，‎ 直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 联立方程 消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，‎ 所以y1＋y2＝，‎ 因为N为AB中点，所以＝y0，即＝y0，‎ 所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] (1)证明：由已知F，设A(x1，y1)，‎ 则y＝2px1，‎ 圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，‎ 圆的半径为＝×＝，‎ 所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．‎ ‎(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由＝λ1，＝λ2，得 ＝λ1(－x1，y0－y1)，‎ ＝λ2，‎ 所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，‎ －x2＝λ2，y2＝－λ2y1，‎ 由y2＝－λ2y1，得y＝λy.‎ 又y＝2px1，y＝2px2，‎ 所以x2＝λx1.‎ 代入－x2＝λ2，得－λx1＝λ2，(1＋λ2)＝x1λ2(1＋λ2)，‎ 整理得x1＝，‎ 代入x1－＝－λ1x1，得－＝－，‎ 所以＝1－，‎ 因为∈，所以λ2的取值范围是.‎ 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋，‎ 将x＝my＋代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，‎ 所以y1y2＝－p2(*)．‎ 由＝λ1，＝λ2，得 ＝λ1(－x1，y0－y1)，‎ ＝λ2，‎ 所以x1－＝－λ1x1，y1＝λ1(y0－y1)，‎ －x2＝λ2，y2＝－λ2y1，‎ 将y2＝－λ2y1代入(*)式，得y＝，‎ 所以2px1＝，x1＝.‎ 代入x1－＝－λ1x1，得＝1－，‎ 因为∈，所以λ2的取值范围是.‎