2021高考数学一轮复习课时作业70坐标系理 4页

课时作业70　坐标系 ‎ [基础达标]‎ ‎1．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值．‎ 解析：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式得：‎ ＋＝1即2x2＋2y2＝1，与x2＋y2＝1，‎ 比较系数得所以 ‎2．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．‎ 解析：(1)(x－)2＋(y＋1)2＝9可化为 x2＋y2－2x＋2y－5＝0，‎ 故其极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，‎ 所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，‎ 所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.‎ ‎3．[2020·烟台模拟]以平面直角坐标系为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)写出C1，C2的直角坐标方程．‎ ‎(2)设M，N分别是曲线C1，C2上的两个动点，求|MN|的最小值．‎ 解析：(1)依题意ρsin＝ρsin θ－ρcos θ＝，‎ 所以曲线C1的普通方程为x－y＋2＝0，‎ 因为曲线C2的极坐标方程为：‎ ρ2＝2ρcos＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 4‎ 所以x2＋y2－x－y＝0‎ 即2＋2＝1.‎ ‎(2)由(1)知圆C2的圆心，所以圆心到直线x－y＋2＝0的距离：‎ d＝＝，‎ 又半径r＝1，所以|MN|min＝d－r＝－1.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1(0≤θ＜2π)，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解析：(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎5．[2018·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 4‎ 解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ ‎6．[2020·安徽省考试试题]在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．‎ 解析：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，‎ 圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.‎ ‎(2)设A，B，将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.‎ 将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，‎ 4‎ 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋.‎ 故△OAB的面积为×(1＋)2×sin＝1＋.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7．[2019·长沙市统一模拟考试]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求l和M的极坐标方程；‎ ‎(2)当a∈时，求|OA|＋|OB|的取值范围．‎ 解析：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，‎ 所以M的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，‎ 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0，‎ 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，‎ 当α∈时，Δ＝4sin 2α＞0，‎ 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，‎ 根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．‎ 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝2sin .‎ 当α∈时，α＋∈，‎ 故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,2]．‎ 4‎