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- 2021-06-12 发布
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“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二数学(理科)试卷
(考试时间:120分钟 总分:150分)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分
第I卷(选择题,共60分)
一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
3.已知,,若,则( )
A. B. C. , D.,
4.已知函数,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.设复数在复平面内对应的点为,则点关于虚轴对称的点为( )
A. B. C. D.
6.已知,
则( )
A、70 B、68 C、69 D、71
7.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度
C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度
8.在长方体中,已知,,则异面直线与
所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
9.,则实数等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.在直棱柱中,底面是等腰三角形,,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
11.函数的图象大致是( )
A B C D
12.已知函数,若,则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡相应位置)
13. .
14.已知(为虚数单位,),则 .
15.某节晚自习课堂上,小明向值班老师报告说:有同学在玩手机游戏,四名可疑同学被请到数学组办公室,四人陈述如下:
甲:我们四人都没有玩; 乙:我们四人中有人玩;
丙:乙和丁至少有一人没玩; 丁:我没有玩.
若四人中有两人说的是真话,有两人说的是假话,则说真话的是 .
16.在平面几何中有如下结论:正三角形的内切圆面积为,外接圆面积为,则,推广到空间中可以得到类似结论:已知正四面体的内切球体积为,外接球体积为,则= .
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)设为坐标原点,已知复数分别对应向量,为复数的共轭复数,,其中,且为纯虚数.
(Ⅰ)判断复数在复平面上对应的点在第几象限;
(Ⅱ)求.
18. (本题满分12分) 已知函数在处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在处的切线方程.
19. (本题满分12分)如图,在中,,点、分别在线段、上,且,将沿折起到的位置,使得二面角的大小为.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)当时,求与平面所成角的正弦值.
20.(本题满分12分) “世界陶瓷之都”德化县,最有名的就是陶瓷了,然而德化特产也是丰富多彩的。德化人用它们天然的色彩进行归类,变得像口诀一样好记,三黑“黑鸡、黑兔、黑羊”,三黄“德化梨、黄花菜、山茶油”,三白“大米、淮山、白萝卜”,三红“
红米、红菇、红酒”。为了提高经济效益,某食品厂进行淮山的深加工,每公斤淮山的成本20元,并且每公斤淮山的加工费为元(为常数,且,设该食品厂每公斤淮山的出厂价为元(),销售量,且(为自然对数的底)。根据市场调查,当每公斤淮山的出厂价为30元时,日销售量为100公斤。
(Ⅰ)求该工厂的每日利润元与每公斤淮山的出厂价元的函数关系式;
(Ⅱ)若,当每公斤淮山的出厂价为多少元时,该工厂的利润最大,并求最大值.
21. (本题满分12分)观察下列不等式: ,…,
(Ⅰ)请写出第五个不等式,你能归纳推理出第n个不等式的一般形式吗?
(Ⅱ)用数学归纳法证明你的推论.
22. (本题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,设函数有唯一零点,求的值.
“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017-2018学年第二学期第一次月考
高二数学(理科)试卷
参考答案及评分标准
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
A
D
B
A
B
B
C
A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13. 0 14. -1 15. 乙和丙 16.
三、解答题:本大题共6小题,共70分
17.(本题满分10分)
解:(Ⅰ)由题意,得,
则.........................2分
因为为纯虚数,
所以, ..............................3分
解得或...............................4分
又因为,所以,.......................5分
所以 在复平面上对应的点在第四象限 ................6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
所以...........................8分
..........................10分
18. (本题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知得 …………………………………1分
因为函数在处取得极值
所以,即 …………………………………4分
解得 …………………………………6分
经检验,当时,函数在处取得极值 ……………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,……………………8分
切线斜率 …………………………………9分
又切点为
切线方程为,即 …………………………………12分
19.(本题满分12分)
证明:(Ⅰ)
,翻折后垂直关系没变,仍有,
…………4分
(Ⅱ) ,二面角的平面角,…………5分
,又,由余弦定理得,
,,两两垂直……………………6分
以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图直角坐标系。
则
……8分
设平面的法向量
由可得…………10分
故与平面所成的角的正弦值为 …………12分
20. (本题满分12分)
解:(Ⅰ)设由已知得 …………………………………2分
日销量 …………………………………………………………………3分
. …………………………………………6分
(Ⅱ)当时, ……………………………………………7分
…………………………………………………………………8分
,
………………………10分
………………………………………………………11分
当每公斤淮山的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为元. ……12分
21.(本题满分12分)
解:(Ⅰ) ……1分
根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式,即一般不等式为:
……4分
(Ⅱ)用数学归纳法证明如下:
(1)当,猜想成立 …………5分
(2)假设当时,猜想成立,即, …………6分
则当时,
,
即当时,猜想也正确, …………11分
由(1),(2)知对任意的,不等式都成立. ……12分
22.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)由题可知函数为
…………………………………1分
①当时,在上恒成立
此时函数在上单调递增 …………………………………2分
②当时,令,则或(舍去)
当时,, 当时,
此时函数在上单调递减,在上单调递增 …………………………4分
(Ⅱ)由题可知, .
令,即,
因为,所以 (舍去), . …………5分
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增, …………………………6分
所以的最小值为. …………………………………7分
因为函数有唯一零点,所以, …………………………………8分
由即 …………………………………9分
可得,因为,所以,
设函数,因为当时该函数是增函数,
所以至多有一解. …………………………………10分
因为当时,, …………………………………11分
所以方程的解为,即,解得. …………………………12分