【数学】2020届一轮复习人教A版忽视直线的斜率不存在学案 9页

‎ 专题八 解析几何 误区一：忽视直线的斜率不存在失误 一、易错提醒 斜率是研究直线的重要工具,它贯穿于整个直线与方程的始终,在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,所以在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解．‎ 二、典例精析 误区1: 用直线的点斜式方程,忘记讨论斜率不存在而致误 方程表示经过点,斜率为k的直线,该方程称作直线的点斜式方程,在利用直线的点斜式方程解题时,首先要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．‎ ‎【例1】已知直线l经过直线与 的交点. ‎ ‎（1）点到直线l的距离为1,求l的方程；‎ ‎（2）求点到直线l的距离的最大值.‎ ‎【解析】（1）联立解得交点, ‎ 若直线l的斜率不存在,即方程为, ‎ 此时点A到直线l的距离为1,满足题意； ‎ 若直线l的斜率存在,设方程为,即,‎ ‎∴,解得,直线方程为； ‎ 综合得：直线l的方程为或. ‎ ‎（2）若直线l的斜率不存在,即方程为,距离为1 , ‎ 若直线l的斜率存在,设方程为,即,‎ 点A到直线l的距离为, ‎ 显然时,d有最大值,且 当且仅当取等号 ‎ ‎∴点A到直线l的距离的最大值为 ‎ ‎（2）由和得交点B（2,1） ‎ 依题意AB和直线垂直距离最大.又A（1,0） ‎ ‎ 距离最大值为 ‎ ‎【点评】若忽视斜率不存在,则容易漏解．‎ ‎【小试牛刀】已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2＋y2＝2‎ 的位置关系,并证明你的结论．‎ ‎【解析】(1)由题意得,椭圆C的标准方程为＋＝1,‎ 所以a2＝4,b2＝2,从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2,c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB,所以·＝0,即tx0＋2y0＝0,解得t＝－.‎ 当x0＝t时,y0＝－,代入椭圆C的方程,得t＝±,‎ 故直线AB的方程为x＝±,圆心O到直线AB的距离d＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ 当x0≠t时,直线AB的方程为y－2＝(x－t)．‎ 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.‎ 圆心O到直线AB的距离d＝ .‎ 又x＋2y＝4,t＝－,故d＝＝＝.‎ 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．‎ ‎【点评】注意本题第2问,要分x0＝t及x0≠t两种情况讨论,因为x0＝t时,直线AB的斜率不存在.‎ 误区2: 用直线的斜截式方程,忘记讨论斜率不存在而致误 ‎ 方程表示斜率为k,且在y轴上的截距为b的直线,称作直线的斜截式方程,在利用直线的斜截式方程解题,也要判断直线的斜率是否存在,若有可能不存在,则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．‎ ‎【例2】【2017届河北武邑中高三上期调研四】已知椭圆,的离心率,且过点.=‎ ‎(Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设与圆相切的直线交椭圆与,两点,求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为,此时直线方程.‎ ‎【分析】（1）利用由条件求出椭圆的几何量,然后求解椭圆方程；（2）①当不存在时,直接求解三角形的面积；②当存在时,设直线为,联立直线与椭圆的方程组,通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积,利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.‎ ‎【解析】（1）由题意可得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）①当不存在时,,‎ ‎ ‎ ‎②当不存在时,设直线为,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时等号成立 ‎,‎ 面积的最大值为,此时直线方程.‎ ‎【小试牛刀】(2015·四川)如图,椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得＝恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．‎ ‎【解析】(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,‎ 因此 解得a＝2,b＝,‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,‎ 如果存在定点Q满足条件,则有＝＝1,‎ 即|QC|＝|QD|,‎ 所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0)．‎ 当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,－),‎ 由＝,有＝,解得y0＝1或y0＝2,‎ 所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,‎ 则Q点坐标只可能为(0,2),‎ 下面证明：对任意直线l,均有＝,‎ 当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,‎ 当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y＝kx＋1,A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0,‎ 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0,‎ 所以x1＋x2＝－,‎ x1x2＝－,‎ 因此＋＝＝2k,‎ 易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2,y2),‎ 又kQA＝＝＝k－,‎ kQB′＝＝＝－k＋＝k－,‎ 所以kQA＝kQB′,即Q,A,B′三点共线,‎ 所以＝＝＝,‎ 故存在与P不同的定点Q(0,2),使得＝恒成立．‎ 误区3直线方程在解题中的应用 方程表示经过点的直线,注意该方程可以表示经过点,斜率不存在的直线,但不表示经过点斜率为0的直线,所以若能判断直线过,且斜率可能不存在但不为0,可考虑设其方程为,这样可以避免讨论斜率是否存在.‎ ‎【例3】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的 离心率为,且右焦点到直线（其中）的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；=‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线分别交直线和于点,若,求直线的方程．‎ ‎【解析】（1）由题意得,故,即,‎ 从而,,,‎ 故椭圆的标准方程为．‎ 因此 ‎,‎ 则点的纵坐标为,‎ 于是点的横坐标为,‎ 又,故,‎ 所以,‎ 因为可得,‎ 化简得,即,‎ 化简得,计算得,‎ 从而直线方程为或．‎ 解法二：若的斜率不存在时,则方程为,此时,易知此时,不满足题意；当的斜率为时,此时亦不满足题意；‎ 因此斜率存在且不为,不妨设斜率为,则方程,‎ 不妨设,,‎ 联立直线与椭圆,‎ 即,‎ 因为点在椭圆内,故恒成立,‎ 所以,故 ‎,‎ 又,,‎ 故,‎ 因为,故,‎ 即,即,‎ 整理得,即,即,‎ 解得,从而直线方程为或．‎ ‎【小试牛刀】设抛物线C：y2＝4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A,B两点．‎ ‎(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小；‎ ‎(2)求·的值．‎ ‎【解析】：(1)∵F(1,0),∴直线L的方程为y＝x－1,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得x2－6x＋1＝0,∴x1＋x2＝6,x1x2＝1.‎ ‎∴|AB|＝＝·＝·＝8.‎ ‎ ‎