2018届二轮复习 坐标系与参数方程 课件（全国通用） 81页

选修 4-4 坐标系与参数方程 【 必备知识 】 1. 极坐标与直角坐标的互化公式 设点 P 的直角坐标为 (x,y), 极坐标为 (ρ,θ), 则 (ρ,θ) ⇒ (x,y) (x,y) ⇒ (ρ,θ) x=________ ， y= ________ ρ 2 =_____ ， tan θ =________ ρcosθ ρ sin θ x 2 +y 2 2. 常见圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点 , 半径 为 r 的圆 :_____. (2) 圆心为 M(a,0), 半径为 a 的圆 :___________. (3) 圆心为 M , 半径为 a 的圆 :___________. ρ=r ρ=2acosθ ρ=2asinθ 3. 常见直线的极坐标方程 (1) 直线过极点 , 直线的 倾斜角为 α:_____________. (2) 直线过点 M(a,0), 且垂直于极轴 :__________. (3) 直线过点 M , 且平行于极轴 :__________. θ=α(ρ∈R) ρcosθ=a ρsinθ=a 4. 直线、圆与椭圆的参数方程 特征 普通方程 参数方程 直线过点 M 0 (x 0 ,y 0 ), 倾斜角为 α x=x 0 (α=90°) y-y 0 =tanα(x-x 0 )(α≠90°) ____________ __________ (t 为参数 ) 特征 普通方程 参数方程 圆心 (a,b), 半径为 r (x-a) 2 + (y-b) 2 =r 2 ____________ __________ 焦点在 x 轴上 , 长轴长为 2a, 短轴长为 2b ____________ __________ (θ 为参数 ) (θ 为参数 ) 【 真题体验 】 1.(2017· 全国卷 Ⅲ) 在直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 1 的参 数方程为 (t 为参数 ), 直线 l 2 的参数方程为 (m 为参数 ), 设 l 1 与 l 2 的交点为 P, 当 k 变化时 ,P 的轨迹为曲线 C. (1) 写出 C 的普通方程 . (2) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系 , 设 l 3 :ρ(cosθ+sinθ)- =0,M 为 l 3 与 C 的交点 , 求 M 的极径 . 【 解析 】 (1) 直线 l 1 的普通方程为 y=k(x-2), 直线 l 2 的普通方程为 x=-2+ky. 消去 k 得 x 2 -y 2 =4, 即 C 的普通方程为 x 2 -y 2 =4. (2) l 3 化为普通方程为 x+y= , 联立 　 　 所以 ρ 2 =x 2 +y 2 = =5, 所以 l 3 与 C 的交点 M 的极径为 . 2.(2016· 全国卷 Ⅰ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的 参数方程为 (t 为参数 ,a>0). 在以坐标 原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 曲线 C 2 :ρ=4cosθ. (1) 说明 C 1 是哪一种曲线 , 并将 C 1 的方程化为极坐标方程 . (2) 直线 C 3 的极坐标方程为 θ=α 0 , 其中 α 0 满足 tanα 0 =2, 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上 , 求 a. 【 解析 】 (1) (t 为参数 ), 所以 x 2 +(y-1) 2 =a 2 . 　① 所以 C 1 为以 (0,1) 为圆心 ,a 为半径的圆 . 方程为 x 2 +y 2 -2y+1-a 2 =0. 因为 x 2 +y 2 =ρ 2 ,y=ρsinθ, 所以 ρ 2 -2ρsinθ+1-a 2 =0, 即为 C 1 的极坐标方程 . (2)C 2 :ρ=4cosθ, 两边同乘 ρ, 得 ρ 2 =4ρcosθ, 因为 ρ 2 =x 2 +y 2 ,ρcosθ=x, 所以 x 2 +y 2 =4x. 即 (x-2) 2 +y 2 =4. 　② C 3 : 化为普通方程为 y=2x, 由题意 :C 1 和 C 2 的公共弦所在直线即为 C 3 . ①-② 得 :4x-2y+1-a 2 =0, 即为 C 3 , 所以 1-a 2 =0, 所以 a=1. 【 大数据易错点 】 排序 1: 忽略几何意义致误 . 透彻理解直线参数方程中参数 t, 极坐标方程中极径 ρ 的几何意义 . 排序 2: 忽视范围致误 . 方程的互化过程中 , 不但要注意参数 t 的范围 , 而且要注意 x,y 的范围 , 即方程互化的等价性 . 热点考向一　直角坐标与极坐标的互化及应用 命题解读 : 主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和 极坐标的几何意义 , 同时考查了转化与化归思想 . 【 典例 1】 (2017· 江苏一模 ) 已知圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标 方程分别为 ρ=2,ρ 2 -2 ρcos =2. 世纪金榜导学号 46854125 (1) 把圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程 . (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 . 【 解题导引 】 (1) 利用公式 ρ= ,ρsinθ=y, ρcosθ=x 转化为直角坐标方程 . (2) 先求出公共弦所在直线的直角坐标方程 , 再化为极坐标方程 . 【 规范解答 】 (1)ρ=2 ⇒ ρ 2 =4, 所以 x 2 +y 2 =4; 因为 ρ 2 -2 ρcos =2, 所以 ρ 2 - 所以 x 2 +y 2 -2x-2y-2=0. (2) 将两圆的直角坐标方程相减 , 得经过两圆交点 的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=1, 即 【 规律方法 】 直角坐标与极坐标方程的互化及应用 (1) 直角坐标方程化极坐标方程时 , 可以直接将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入即可 . (2) 极坐标方程化直角坐标方程时 , 一般需要构造 ρ 2 ,ρsinθ,ρcosθ, 常用的技巧有式子两边同乘以 ρ, 两角和与差的正弦、余弦展开等 . 【 变式训练 】 (2017· 全国卷 Ⅱ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以坐标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4. (1)M 为曲线 C 1 上的动点 , 点 P 在线段 OM 上 , 且满足 |OM|·|OP|=16, 求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程 . (2) 设点 A 的极坐标为 点 B 在曲线 C 2 上 , 求△ OAB 面积的最大值 . 【 解析 】 (1) 设 P 的极坐标为 (ρ′,θ)(ρ′>0),M 的 极坐标为 (ρ 0 ,θ)(ρ 0 >0), 由题设知 =ρ′, =ρ 0 , 由 · =16 得 C 2 的极坐标方程 ρ′=4cosθ(ρ′>0), 因此 C 2 的直角坐标方程为 (x-2) 2 +y 2 =4(x≠0). (2) 设点 B 的极坐标为 (ρ B ,α)(ρ B >0), 由题设知 =2, ρ B =4cosα, 于是△ OAB 的面积 S= · ρ B · sin∠AOB =4cosα · 当 α=- 时 ,S 取得最大值 2+ . 所以△ OAB 面积的最大值为 2+ . 【 加练备选 】 (2017· 广西二模 ) 在极坐标系中 , 已知 圆 C 经过点 P 圆心为直线 ρsin 与 极轴的交点 , 求圆 C 的极坐标方程 . 【 解析 】 因为点 P 所以 x= y= =1, 所以点 P(1,1). 因为直线 ρsin , 展开为 所以 y- x=- , 令 y=0, 则 x=1, 所以直线与 x 轴的交点为 C(1,0). 所以圆 C 的半径 r=|PC|= 所以圆 C 的方程为 (x-1) 2 +y 2 =1, 展开为 x 2 -2x+1+y 2 =1, 化为极坐标方程 ρ 2 -2ρcosθ=0, 即 ρ=2cosθ, 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ. 热点考向二　参数方程与普通方程的互化及应用 命题解读 : 主要考查参数方程与普通方程的互化公式、参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义 . 【 典例 2】 (2017· 衡水一模 ) 已知直线 l 的参数方程 为 (t 为参数 ), 圆 C 的参数方程为 (α 为参数 ). 世纪金榜导学号 46854126 (1) 若直线 l 与圆 C 的相交弦长不小于 , 求实数 m 的取值范围 . (2) 若点 A 的坐标为 (2,0), 动点 P 在圆 C 上 , 试求线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程 . 【 解题导引 】 (1) 将相应的参数方程化为普通方程解题 . (2) 把中点坐标表示出来 , 利用相应的性质求轨迹 . 【 规范解答 】 (1) 直线 l 的参数方程为 (t 为 参数 ), 普通方程为 y=mx, 圆 C 的参数方程为 (α 为参数 ), 普通方程为 x 2 +(y-1) 2 =1. 圆心到直线 l 的距离 d= , 相交弦长 = 所以 , 所以 m≤-1 或 m≥1. (2) 设 P(cosα,1+sinα),Q(x,y), 则 x= (cosα+2),y= (1+sinα), 消去 α, 整理可得线段 PA 的中点 Q 的轨迹方程 (x-1) 2 + 【 规律方法 】 参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1) 代入消参法 : 将参数解出来代入另一个方程消去参数 , 直线的参数方程通常用代入消参法 . (2) 三角恒等式法 : 利用 sin 2 α+cos 2 α=1 消去参数 , 圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法 . (3) 常见消参数的关系式 : 【 变式训练 】 已知直线 l : (t 为参数 ), 曲线 C 1 : (θ 为参数 ). (1) 设 l 与 C 1 相交于 A,B 两点 , 求 |AB|. (2) 若把曲线 C 1 上各点的横坐标伸长为原来的 倍 , 纵坐标伸长为原来的 3 倍 , 得到曲线 C 2 , 设点 P 是曲线 C 2 上的一个动点 , 求它到直线 l 的距离的最大值 . 【 解析 】 (1) 由题意 , 消去参数 t, 得直线 l 的普通方程为 y= (x-1), 根据 sin 2 θ+cos 2 θ=1 消去参数 , 曲线 C 1 的 普通方程为 x 2 +y 2 =1, 联立得 解得 A(1,0),B 所以 |AB|=1. (2) 由题意得曲线 C 2 的参数方程为 (θ 是参数 ), 设点 P( cosθ,3sinθ), 所以点 P 到直线 l 的距离 所以曲线 C 2 上的一个动点 P 到直线 l 的距离的最大值 为 . 【 加练备选 】 1.( 新题预测 ) 已知曲线 C: 　　 (k 为参数 ) 和直线 l : (t 为参数 ). (1) 将曲线 C 的方程化为普通方程 . (2) 设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点 , 且 P(2,1) 为弦 AB 的 中点 , 求弦 AB 所在的直线方程 . 【 解析 】 (1) 由 即 两式相除得 k= , 代入 x= , 得 =x, 整理得 =1, 即为曲线 C 的普通方程 . (2) 将 代入 =1, 整理得 (4sin 2 θ+cos 2 θ)t 2 +(4cosθ+8sinθ)t-8=0. 由 P 为 AB 的中点 , 则 所以 cosθ+2sinθ=0, 即 tanθ=- , 故 l AB :y-1=- (x-2), 即 y=- x+2, 所以所求的直线方程为 x+2y-4=0. 2.(2017· 全国卷 Ⅰ) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参 数方程为 (θ 为参数 ), 直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ). (1) 若 a=-1, 求 C 与 l 的交点坐标 . (2) 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 , 求 a. 【 命题意图 】 本题主要考查参数方程及普通方程的互化 . 【 解析 】 (1)a=-1 时 , 直线 l 的方程为 x+4y-3=0. 曲线 C 的标准方程是 +y 2 =1, 联立方程 则 C 与 l 的交点坐标是 (2) 直线 l 一般式方程是 x+4y-4-a=0. 设曲线 C 上点 则 P 到 l 的距离 其中 tan φ = . 依题意得 :d max = , 解得 a=-16 或 a=8. 热点考向三　极坐标与参数方程的综合应用 考情分析 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 T23 10 分 题型解读 主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程和极坐标方程在解决曲线问题的应用 , 以解答题的形式出现 . 类型一 直线参数方程中参数几何意义的应用 【 典例 3】 (2017· 惠州一模 ) 已知曲线 C 的极坐标方程 是 ρ=4cosθ, 以极点为平面直角坐标系的原点 , 极轴 为 x 轴的正半轴 , 建立平面直角坐标系 , 直线 l 的参数方 程是 (t 是参数 ). 　世纪金榜导学号 46854127 (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程 . (2) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 , 且 |AB|= , 求直线 l 的倾斜角 α 的值 . 【 解题导引 】 (1) 解答本题先将极坐标方程两边同乘以 ρ, 代入公式即可 . (2) 解答本题 (2) 可以拆解成以下几个小题 : ① 确定 A,B 两点对应参数 t 1 ,t 2 的关系式 : 直线的参数方程代入圆的方程 , 整理化简为关于 t 的一元二次方程 ; ② 用 t 1 ,t 2 表示出 |AB|; ③ 利用弦长列出方程求角 . 【 规范解答 】 (1) 因为 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ 2 =x 2 +y 2 , 所以曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 可化为 ρ 2 =4ρcosθ, 所以 x 2 +y 2 =4x, 所以 (x-2) 2 +y 2 =4. (2) 将 代入圆的方程 (x-2) 2 +y 2 =4 得 : (tcosα-1) 2 +(tsinα) 2 =4, 化简得 t 2 -2tcosα-3=0. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t 1 ,t 2 , 则 所以 |AB|=|t 1 -t 2 |= 因为 |AB|= , 所以 所以 cosα=± . 因为 α∈[0,π), 所以 α= 或 α= π. 所以直线的倾斜角 α= 或 α= π. 【 规律方法 】 关于直线参数方程中参数 t 的几何意义 及应用 (1) 几何意义 : 参数 t 的绝对值等于直线上动点 M 到定点 M 0 的距离 , 若 t>0, 则 的方向向上 ; 若 t<0, 则 的方向向下 ; 若 t=0, 则点 M 与 M 0 重合 . (2) 应用 : 一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于 A,B 两点 , 与弦长 |AB| 及其相关的问题 , 解决的方法是首先用 t 表示出弦长 , 再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题 . 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : (1) 未能利用参数 t 的几何意义表示 |AB|=|t 1 -t 2 |, 无法利用弦长求角 . (2) 弄错极角的范围 , 求出角的值为锐角、钝角中的一个 . 【 母题变式 】 1. 写出曲线 C 的参数方程 . 【 解析 】 因为 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ 2 =x 2 +y 2 , 所以曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 可化为 ρ 2 =4ρcosθ, 所以 x 2 +y 2 =4x, 所以 (x-2) 2 +y 2 =4. 令 (θ 为参数 ), 即 (θ 为参数 ). 2. 若直线 l 参数方程改为 第 (2) 问求 |AB|, 结果如何 ? 【 解析 】 由 (1) 得曲线 C 的直角坐标方程为 (x-2) 2 +y 2 =4, 将 代入得 化简得 t 2 -t-3=0, 得 t 1,2 = 所以 |AB|=|t 1 -t 2 |= ( 另法 :t 1 +t 2 =1,t 1 t 2 =-3, 故 |AB|=|t 1 -t 2 |= 类型二 极坐标方程中极径几何意义的应用 【 典例 4】 在直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 的方程为 (x- ) 2 +(y+1) 2 =9, 以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 . 世纪金榜导学号 46854128 (1) 求圆 C 的极坐标方程 . (2) 直线 OP:θ= (p∈R) 与圆 C 交于点 M,N, 求线段 MN 的长 . 【 解题导引 】 (1) 将圆的标准方程化为一般方程 , 再利用公式化为极坐标方程 . (2) 将 θ= 代入圆 C 的极坐标方程 , 利用 ρ 表示弦长并求值 . 【 规范解答 】 (1)(x- ) 2 +(y+1) 2 =9 可化为 x 2 +y 2 - 2 x+2y-5=0, 故其极坐标方程为 ρ 2 -2 ρcosθ+2ρsinθ-5=0. (2) 将 θ= 代入 ρ 2 -2 ρcosθ+2ρsinθ-5=0, 得 ρ 2 -2ρ-5=0, 所以 ρ 1 +ρ 2 =2,ρ 1 ρ 2 =-5, 所以 |MN|=|ρ 1 -ρ 2 |= 【 规律方法 】 极径的几何意义及其应用 (1) 几何意义 : 极径 ρ 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离 . (2) 应用 : 一般应用于过极点的直线与曲线相交 , 所得的弦长问题 , 需要用极径表示出弦长 , 结合根与系数的关系解题 . 【 变式训练 】 在平面直角坐标系 xOy 中 , 抛物线 C 的方程为 x 2 =4y+4. (1) 以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 求 C 的极坐标方程 . (2) 直线 l 的参数方程是 (t 为参数 ), l 与 C 交 于 A,B 两点 ,|AB|=8, 求 l 的斜率 . 【 解析 】 (1) 由 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得抛物线 C 的极坐标方程 ρ 2 cos 2 θ-4ρsinθ-4=0. (2) 在 (1) 中建立的极坐标系中 , 直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R), 设 A,B 所对应的极径分别为 ρ 1 ,ρ 2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 cos 2 αρ 2 -4sinαρ-4=0, 因为 cos 2 α≠0( 否则 , 直线 l 与抛物线 C 没有两个公共 点 ), 于是 ρ 1 +ρ 2 = ,ρ 1 ρ 2 = |AB|=|ρ 1 -ρ 2 |= 由 |AB|=8 得 cos 2 α= ,tanα=±1, 所以 l 的斜率为 1 或 -1. 【 加练备选 】 1. 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数 方程为 (α 为参数 ), 直线 C 2 的方程为 y= x, 以 O 为极点 , 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , (1) 求曲线 C 1 和直线 C 2 的极坐标方程 . (2) 若直线 C 2 与曲线 C 1 交于 A,B 两点 , 求 【 解析 】 (1) 曲线 C 1 的参数方程为 (α 为参 数 ), 普通方程为 (x-2) 2 +(y-2) 2 =1, 即 x 2 +y 2 -4x-4y+7=0, 极坐标方程为 ρ 2 -4ρcosθ-4ρsinθ+7=0, 直线 C 2 的方程为 y= x, 极坐标方程为 θ= . (2) 直线 C 2 与曲线 C 1 联立 , 可得 ρ 2 -(2+2 )ρ+7=0, 设 A,B 两点对应的极径分别为 ρ 1 ,ρ 2 , 则 ρ 1 +ρ 2 =2+ 2 ,ρ 1 ρ 2 =7, 所以 2. 以平面直角坐标系的原点为极点 ,x 轴的正半轴为极 轴 , 建立极坐标系 , 两种坐标系中取相同的单位 , 已知 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 直线 l 的极坐 标方程为 ρ= 点 P 在 l 上 . (1) 过 P 向圆 C 作切线 , 切点为 F, 求 |PF| 的最小值 . (2) 射线 OP 交圆 C 于 R, 点 Q 在 OP 上 , 且满足 |OP| 2 = |OQ|·|OR|, 求 Q 点轨迹的极坐标方程 . 【 解析 】 (1) 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数 ), 可得圆 C 的普通方程为 x 2 +y 2 =4, 直线 l 的极坐标方程为 ρ= 即有 ρsinθ+ρcosθ=4, 即直线 l 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 由 |PO| 2 =|PF| 2 +|OF| 2 , 由 P 到圆心 O(0,0) 的距离 d 最小时 , |PF| 取得最小值 . 由点到直线的距离公式可得 d min = 可得 |PF| 最小值为 (2) 设 P,Q,R 的极坐标分别为 (ρ 1 ,θ),(ρ,θ), (ρ 2 ,θ), 由 ρ 1 = ρ 2 =2, 又 |OP| 2 =|OQ| · |OR|, 可得 ρ 1 2 =ρρ 2 , 即有 ρ= 即 Q 点轨迹的极坐标方程为 ρ=