2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考（12月）数学（理）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年福建省莆田市第二十四中学高二上学期第二次月考（12月）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若是极坐标系中的一点，则，四点中与 重合的点有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】即.‎ 因此点Q，R，M与点P重合，‎ 故选：C.‎ ‎2．曲线为参数）与轴的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令 可得参数值： ，‎ 代入参数方程横坐标可得： ，‎ 据此可得曲线与轴的交点坐标是（-8,0），（-7,0）.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．已知向量与平面垂直，且经过点，则点到的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵.‎ 平面α的法向量.‎ ‎∴点P(4,3,2)到α的距离 故选B.‎ ‎4．设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】很明显数列的公比，‎ 设等比数列的前n项和为，由题意可得：‎ ‎，解得： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.‎ ‎5．已知两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为 (　 　)‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【考点】两条平行直线间的距离．‎ 分析：根据两直线平行（与y轴平行除外）时斜率相等，得到m的值，然后从第一条直线上取一点，求出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离．‎ 解：根据两直线平行得到斜率相等即-3=-，解得m=2，则直线为6x+2y+1=0，‎ 取3x+y-3=0上一点（1，0）求出点到直线的距离即为两平行线间的距离，‎ 所以d==．‎ 故选D ‎6．如图所示，正方体中， 是的中点，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】以所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系O-xyz，‎ 设正方体棱长为1，则D（0，0，0），（1，1，1），C（0，1，0），M（1， ，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选B.‎ ‎7．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,利用等差数列的性质可得： ,又<0, >0，‎ ‎∴>0, <0.‎ ‎∴，‎ 则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.‎ 故选：C.‎ 点睛：求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ 由此得： ，‎ 当为奇数时， ，‎ 当为偶数时， .‎ ‎8．直线与椭圆的位置关系为（ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：直线过定点，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交 ‎【考点】直线与椭圆的位置关系 ‎9．已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意及向量的运算由： 解得： ,所以的面积，所以在中， 即： ，即： ，所以根据得到： （当且仅当即时取得“”），所以答案为：B ‎【考点】1.平面向量的数量积；2.三角形的面积公式；3.均值不等式.‎ ‎10．已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于, 两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知抛物线C的焦点坐标为（2,0），则直线AB的方程为，将其代入，‎ 得.‎ 设，则， .①‎ 由 ‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 即. ④‎ 由①②③④解得k=2.故选D.‎ ‎【考点定位】直线与抛物线的位置关系 视频 ‎11．双曲线的虚轴长为4,离心率,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与的等差中项,则等于( )‎ ‎ ‎ A． B． C． D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意可知 得 ‎【考点】数列与解析几何的综合 ‎12．已知直线与圆相切，若对任意的均有不等式成立，那么正整数的最大值是（ ）‎ A.3 B.5 C.7 D.9‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵直线与圆相切，∴，即 ‎（※），令t=2m+n，则n=t-2m，代入（※）化简得，由题意该式有解，∴其判别式，解得t≥3，故正整数的最大值是3，故选A ‎【考点】本题考查了直线与圆的位置关系 点评：研究直线和圆的位置关系的相关问题时通常采用“几何法”即抓住圆心到直线的的距离与半径的关系 二、填空题 ‎13．直线的参数方程为 为参数），圆的参数方程为为参数），则直线被圆解得弦长为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】直线的参数方程为 为参数），化为普通方程得： .‎ 圆的参数方程为为参数)化为普通方程得： ,圆心为(0,0)，半径为3.‎ 圆心到直线的距离为： .‎ 直线被圆解得弦长为.‎ 答案为：3.‎ 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：‎ ‎（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．‎ ‎14．若抛物线的顶点是抛物线上的点距离最近的，则的取值范围的_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点P(x,y)为抛物线上的任意一点，则点P离点A(0,a)的距离的平方为 ‎|AP|2=x2+(y−a)2=x2+y2−2ay+a2‎ ‎∵‎ ‎∴|AP|2=2y+y2−2ay+a2(y⩾0)=y2+2(1−a)y+a2(y⩾0)‎ ‎∴对称轴为x=a−1‎ ‎∵离点A(0,a)最近的点恰好是顶点，即x=0时最小，‎ ‎∴a−1⩽0解得a⩽1‎ 故答案为：a⩽1.‎ ‎15．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由y2=8x准线为x=-2.‎ 则双曲线中c=2, ==2,a=1,b=.‎ 所以双曲线方程为x2-=1.‎ 视频 ‎16．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 椭圆焦点在x轴上，‎ 椭圆上点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,设左焦点为F1,连接AF,AF1,BF,BF1‎ ‎，‎ ‎∴四边形AFF1B为长方形。‎ 根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，‎ ‎,则： .‎ ‎∴‎ 椭圆的离心率，‎ ‎∴，‎ 则： sin()，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆离心率e的取值范围： ，‎ 故答案为： .‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，曲线与曲线交于，，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据加减消元法得曲线的普通方程，利用 将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求直线标准参数方程：，则根据参数几何意义得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得值，即得的值.‎ 试题解析：解：（1）曲线：；曲线：；‎ ‎（2）将（为参数）代入的直角坐标方程，‎ 得，所以；‎ 所以.‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎18．已知单调递增的等比数列满足： ，且是和的等差中项。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求使成立的最小的正整数。‎ ‎【答案】(1) (2) 满足不等式的最小正整数 ‎【解析】试题分析：（1）设的公比为，由基本量运算根据条件得，解方程即可得求出公比，进而得通项公式；‎ ‎（2），利用错位相减求和即可得，由，得，则，进而得的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设的公比为，‎ 由已知，得，得，解得.‎ ‎.‎ 从而得得，‎ 解得或（舍去）‎ 所以数列的通项公式为。‎ ‎（2），‎ 设 ‎ 则，‎ 两式相减可得，‎ 所以 ‎ 由，得，则，‎ 故满足不等式的最小正整数。‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19．如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面与所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据条件建立空间直角坐标系，（1）求异面直线所成的角，转化为求,(2)先求两个平面的法向量，然后用法向量的夹角的余弦值计算，然后再转化为正弦值．‎ 试题解析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）设平面的法向量为，因为，，‎ ‎∴，即，取，得，，∴，‎ 取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，‎ 由，得，‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎【考点】1．空间向量；2．异面直线所成角；3．二面角的计算．‎ ‎20．在平面四边形中， ， ，将沿折起，使得平面平面，如图．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：(1)由,将沿折起，使得平面 平面,即可得AB垂直于平面BCD.从而得到结论.‎ ‎(2)依题意,可得,又由平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线与平面所成角的正弦值.等价于求出直线与平面的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.‎ 试题解析：(1)因为平面,平面 平面平面所以平面又平面所以.‎ ‎(2)过点在平面内作,如图.由(1)知平面平面 平面所以.以为坐标原点,分别以的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得.则.设平面的法向量.则即.取得平面的一个法向量.设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【考点】1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.‎ 视频 ‎21．已知椭圆： .‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线与圆相切.‎ ‎【解析】试题分析：（1）把椭圆： 化为标准方程，确定，，利用求得离心率；（2）设点，，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.‎ ‎（1）由题意椭圆的标准方程为，‎ 所以，，从而，‎ 所以.‎ ‎（2）直线与圆相切，证明如下：‎ 设点，，其中，‎ 因为，所以，即，解得，‎ 当时，，代入椭圆的方程得，‎ 此时直线与圆相切.‎ 当时，直线的方程为，‎ 即，‎ 圆心到直线的距离为，又，，‎ 故.‎ 故此直线与圆相切.‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线与圆的位置关系.‎ 视频 ‎22．双曲线的离心率为2，右焦点到它的一条渐近线的距离为 。‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点且与双曲线的右支角不同的两点的直线，当点满足时，使得点在直线上的射影点满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】(1) (2) 存在这样的直线满足条件，其方程为或 ‎【解析】试题分析：（1）由点到直线的距离公式可知： ，结合即可求得，进而根据离心率可得，从而求得方程；‎ ‎（2）（2）假设存在满足条件的直线l，直线l的斜率不存在时，求得N，P，Q坐标，由，此时不满足条件；当斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，由韦达定理及向量的数量积的坐标表示，即，代入即可求得k的值，求得直线方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）双曲线焦点在x轴上，设右焦点为(c,0),一条渐近线为bx-ay=0.‎ 由点到直线的距离公式可知： ,由，解得.‎ 由双曲线的离心率为，解得.‎ 所以，双曲线的方程为.‎ ‎（2）因为，所以是的中点，‎ 假设存在满足条件的直线，‎ 若直线的斜率不存在时，此时点即为，可解得，‎ 所以，所以，此时不满足条件。‎ 若直线的斜率存在时，设斜率为，则的方程为，联立，‎ 得，要使得与双曲线交于右支的不同的两点，‎ 须要，即，可得，‎ 又，所以 又因为在直线上的射影为满足，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 可得或，又因为，所以，即，‎ 所以存在这样的直线满足条件，其方程为或。‎