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- 2021-06-12 发布
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湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)
数 学(文科)
命题人、审题人：彭萍 苏萍 曾克平
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z＋z－3＝(C)
(A)－2i (B)－i (C)i (D)2i
(2)若a，b为实数，则“01 000的最小n值是(C)
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【解析】因为a1＝1，log3an＋1＝log3an＋1 (n∈N*)，所以an＋1＝3an，Sn＝，则满足Sn>1000的最小n值是7.
(7)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为(C)
(A)2 (B)2 (C)4 (D)2
【解析】设长方体长、宽、高分别为m、n、x.由已知，m2＋n2＋x2＝7，m2＋x2＝6
得n＝1，又x2＋1＝a2，m2＋1＝b2，所以：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝x2＋m2＋2n2＋2ab＝8＋2ab≤8＋2，由此解得：a＋b≤4，当且仅当a＝b时取“＝”．故a＋b的最大值为4.
(8)已知函数f(x)＝Acos ωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f＝1，则函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后所得图象的函数解析式为(A)
(A)y＝2sin πx (B)y＝sin πx
(C)y＝2cos πx (D)y＝cos πx
【解析】由最小正周期为2，得＝2，则ω＝π，又f＝1，所以Acos＝1，A＝2，所以f(x)＝2cos πx，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝2cos＝2cos＝2sin πx的图象．
(9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若△AOB的面积为 ，则直线AB的斜率为(C)
(A)2 (B)－2 (C)±2 (D)
【解析】设直线AB的倾斜角为α，由S△ABC＝＝得sin α＝，所以tan α＝±2.
(10)若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋4)上存在最大值，则实数a的取值范围是(C)
(A)(－6，－2) (B)(－6，3)
(C)(－6，－3] (D)(－6，－2]
【解析】函数f(x)＝x3＋x2－在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数．
令f(x)＝f(－2)＝，得x＝－2或x＝1.结合图像可知：
解得a∈(－6，－3]．
(11)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f[f(x)＋1]的零点个数是(D)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【解析】设f(M)＝0，得M＝2或M＝－1.当M＝－1时，
由f(x)＋1＝－1得log2(－x)＝－2或x－2＝－2，
即得x＝0或x＝－；当M＝2时，由f(x)＋1＝2得f(x)＝1，
即log2(－x)＝1或x－2＝1，即x＝－2或x＝3.
(12)在平面直角坐标系xOy中，A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点， M的坐标为(3，1)，则·的最大值为(B)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
·＝(－)·＝(3x2＋y2)－(3x1＋y1)，
由于A、B为不等式组所表示的区域上任意两个动点，
故要求·的最大值即求目标函数z＝3x＋y的最大值与最小值的差，作出不等式所表示的平面区域如图，可知目标函数最大值和最小值分别为6和3，·的最大值为3.
选择题答题卡
题 号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答 案
C
A
A
D
C
C
C
A
C
C
D
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
(13)已知集合A＝{3，a2}，B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝__{0，1，2，3}__．
【解析】∵A＝{3，a2}，集合B＝{0，b，1－a}，且A∩B＝{1}，
∴a2＝1，解得：a＝1或a＝－1，
当a＝1时，1－a＝1－1＝0，不合题意，舍去；
当a＝－1时，1－a＝1－(－1)＝2，此时b＝1，
∴A＝{3，1}，集合B＝{0，1，2}，
则A∪B＝{0，1，2，3}．
故答案为：{0，1，2，3}．
(14)已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为__2－3__．
【解析】∵正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，
∴y＝(0＜x＜2)．
∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x＋1)＋－3≥2－3＝2－3，
当且仅当x＝－1时取等号．
∴x＋y的最小值为2－3.
故答案为：2－3.
(15)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为____．
【解析】设正方形ABCD的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为5＋5＋×2×2＝12，
阴影部分的面积为2×2××2＝4，
∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为＝，故答案为.
(16)函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是kA、kB，规定φ(A，B)＝叫做曲线y＝f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y＝ex＋x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1－x2＝1，则φ(A，B)的取值范围是____．
【解析】y＝ex＋x的导数为y′＝ex＋1，
kA＝ex1＋1，kB＝ex2＋1，
φ(A，B)＝＝＝，
x1－x2＝1，可得x1＞x2，ex1＞ex2，
可令t＝ex1－ex2，
可设f(t)＝，t＞0，
f′(t)＝＝，
当0＜t＜时，f′(t)＞0，f(t)递增；
当t＞时，f′(t)＜0，f(t)递减．
则当t＝处f(t)取得极大值，且为最大值＝.
则φ(A，B)∈.
故答案为：.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
已知数列{an}中，a1＝2，且2an＝an－1＋1(n≥2，n∈N＋)．
(Ⅰ)求证：数列{an－1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝n(an－1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜4.
【解析】(Ⅰ)an－1＝－1＝(an－1－1), 2分
又a1－1＝1≠0，
∴数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列. 4分
∴an－1＝，得an＝＋1.5分
(Ⅱ)bn＝n(an－1)＝n，
设Sn＝1＋＋＋＋…＋＋ ①
则Sn＝＋＋＋＋…＋＋ ②8分
①－②得：Sn＝1＋＋＋＋＋…＋－＝2－－，
∴Sn＝4－－＝4－，10分
Sn＝4－<4，又bn＝n>0，
∴数列{Sn}是递增数列，故Sn≥S1＝1，
∴1≤Sn＜4. 12分
(18)(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E、F分别是BC、PC的中点．
(Ⅰ)证明：AE⊥平面PAD；
(Ⅱ)取AB＝2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形，
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD，PA∩AD＝A，
∴AE⊥平面PAD; 4分
(Ⅱ)设线段PD上存在一点H，连接AH，EH.
由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 6分
在Rt△EAH中，AE＝，
∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，
此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝. 10分
∴线段PD上存在点H，
当DH＝时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为. 12分
(19)(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，
tan∠AMC＝－.
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若角∠BAC＝，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
【解析】(Ⅰ)由cos∠BAM＝，
得：sin∠BAM＝，
∴tan∠BAM＝. 2分
又∠AMC＝∠BAM＋∠B，
∴tan B＝tan(∠AMC－∠BAM)＝＝＝－；5分
又B∈(0，π)，
∴B＝.6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B＝.角∠BAC＝，
∴C＝.
则AB＝BC.8分
设MB＝x，
则AB＝2x.
在△ABM中由余弦定理，得AM2＝AB2＋MB2－2AB·BMcos B，10分
即7x2＝21.
解得：x＝.
故得△ABC的面积S△ABC＝×4x2×sin＝3. 12分
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，连接椭圆四个顶点的四边形面积为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)A、B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q，是否存在实数λ，使xP＝λxQ恒成立，并说明理由．
【解析】(Ⅰ)由题意e＝＝，2ab＝2
解得a＝，b＝，故椭圆C的方程为＋＝15分
(Ⅱ)设切线方程为y＝kx＋m，
与椭圆联立消元得x2＋6kmx＋3m2－6＝0
∵直线与椭圆相切，∴Δ＝36k2m2－4＝0
化简得m2＝2＋3k2，7分
且xP＝－＝－，8分
又点A(－，0)，D(，k＋m)，
直线AD方程为y＝9分
同理直线BC方程为y＝10分
解得xQ＝－11分
∴存在λ＝1，使xP＝λxQ恒成立.12分
(21)(本小题满分12分)
已知函数f＝.
(Ⅰ)求函数f的极值点；
(Ⅱ)设g＝，若函数g在∪内有两个极值点x1、x2，求证：g·g<.
【解析】(Ⅰ)f′＝＝，1分
①若00，可得02，即函数f在，上为增函数；由f′<0，可得a2，由f′＝0得x＝2，x＝a；由f′>0可得x<2或x>a，所以函数f在，上为增函数；由f′<0，可得22.9分
gg＝＝
＝＝.11分
∵a>2，
∴gg＝<.12分
请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点
．
(Ⅰ)求a；
(Ⅱ)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求＋的最大值．
【解析】(Ⅰ)由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2可将曲线C、直线l的极坐标方程化为直角坐标方程分别为＋y2＝a2，l的方程为：x＋y－3＝0，
由已知得＝aa＝1.5分
(Ⅱ)因为曲线C为圆，由圆的对称性，设∠AOx＝θ，θ∈，
则＋＝ρ＋ρ＝2cos θ＋2cos，
3cos θ＋sin θ＝2sin≤2，
所以当θ＝时，＋的最大值为2.10分
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝＋，
(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；
(Ⅱ)若不等式f(x)<2x＋a的解集为A，B＝，且满足BA，求实数a的取值范围．
【解析】(Ⅰ)f(x)≤9可化为＋≤9
，或，或；2分
2
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