【推荐】专题09 圆锥曲线（第01期）-2016-2017学年高三数学（文）期末优质试卷 37页

www.ks5u.com 一．基础题组 ‎1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，7】已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）‎ A． B． C.6 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由椭圆的定义可知，则的周长是，故选B.‎ 考点：椭圆的定义.‎ ‎2. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，5】已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为，为的中点，为坐标原点，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：双曲线的定义、标准方程与几何性质.‎ ‎3. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，4】已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,所以点在双曲线的左支上，所以，故选A.‎ 考点：双曲线的定义及几何性质.‎ ‎4. 【河北唐山2017届高三上期期末，4】双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式．‎ ‎5. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），6】抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A．1 B． C.2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，知抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选D．‎ 考点：1、线与双曲线的几何性质；2、点到直线的距离．‎ ‎6. 【四川2016年普通高考适应性测试，6】已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线相交于，两点，则的面积为（ ）‎ A.12 B.24 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，两点坐标为，所以的面积为，选A.‎ 考点：双曲线焦点 ‎7. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，4】已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则为（ ）‎ A． B．1 C.2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，选B.‎ 考点：双曲线基本量 ‎8. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，4】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设为两曲线的一个公共点，则的面积为（ ）‎ A.18 B． C.36 D．‎ ‎【答案】D 考点：双曲线与抛物线 ‎9.【河北衡水中学2017届高三上学期五调，14】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由在抛物线上，所以，两式作差得，所以直线的斜率，直线方程为 即.‎ 考点：直线与抛物线的位置关系.‎ ‎10. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，14】双曲线的离心率 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线的标准方程及几何性质 二．能力题组 ‎1. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，11】若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）‎ A．或 B．或 C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为成等比数列，所以（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为，其中 ‎，离心率为，故选D.‎ 考点：1.等比数列的性质；2.双曲线的几何性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的性质、双曲线的几何性质，属中档题；求双曲线的离心率的值或范围的基本思想是建立关于的方程或不等式，根据已知条件和双曲线中的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于的等量关系或不等关系，解方程或不等式可得所求离心率的值或范围．解题中要注意椭圆与双曲线中关系的不同．‎ ‎2. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，9】过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎3. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，9】已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5:4，且，则点到原点的距离为（ ）．‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设，则，因为，所以，所以，因此，其到原点的距离为，选B.‎ 考点：抛物线定义 ‎【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎4. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，11】已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：双曲线渐近线 ‎5. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，8】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（ ）‎ A．4 B．8 C.16 D．32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，选C.‎ 考点：焦点弦 ‎【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根 ‎6. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，12】已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B 考点：直线与椭圆位置关系 ‎7. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，11】已知抛物线的焦点为，、为抛物线上两点，若，则△的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，所以,因此△的面积为，选B.‎ 考点：抛物线 ‎8. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，12】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）‎ A． B． C．2 D．-2‎ ‎【答案】A ‎9. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，15】在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：线段的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，即，其轴的交点为,所以该抛物线的准线方程是.‎ 考点：抛物线的标准方程．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.本题解答的关键是通过求线段的垂直平分线方程，得到其与轴的交点即抛物线的焦点坐标，根据标准形式的抛物线特征得到其准线方程.求线段的垂直平分线方程把握好“垂直”和“平分”，垂直得到斜率，平分即垂直平分线过线段中点，据此求出垂直平分线方程.‎ ‎10. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，16】已知为双曲线上的动点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎11. 【四川2016年普通高考适应性测试，15】如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，‎ 围成一个平行四边形，则 .‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，斜率为，则斜率为，且 ‎，所以，同理，因此 考点：解析几何定值问题 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎12. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，16】设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎13. 【河北唐山2017届高三上期期末，15】抛物线 与椭圆 有相同的焦点， 抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，知，，即．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和轴垂直，所以，又由抛物线的定义知，所以，即，，解得．‎ 考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．‎ ‎【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎14. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，16】已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为____________．‎ ‎【答案】‎ 三、拔高题组 ‎1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）‎ 已知曲线在轴右边，上的每一点到点的距离比到轴的距离多1.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过点的直线与曲线有两交点，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，与曲线的交点为，‎ ‎∴.‎ 将的方程代入抛物线方程化简得：.‎ ‎∴判别式.‎ 又，‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ 又恒成立，，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎∴恒成立.‎ ‎，‎ ‎∴只需即可.‎ 即：.‎ ‎∴所求的取值范围为.‎ 考点：1.抛物线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.向量的坐标运算.‎ ‎【名师点睛】本题考查.抛物线的定义、标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系以及向量的坐标运算，属难题；抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等问题.‎ ‎2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，20】（本小题满分12分）‎ 已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；‎ ‎（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；(3) 直线总经过定点.‎ 得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.‎ 试题解析： （1）设，则，，………………1分 ‎∴，化简，得，∴椭圆的方程为.………………3分 ‎3. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，21】（本小题满分12分）‎ 如图，已知圆：经过椭圆：（）的左右焦点，，与椭圆在第一象限的交点为，且，，三点共线．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于，两点．当的面积取到最大值时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点的坐标为，‎ 直线的斜率为………………………………………………………………………………（6分）‎ 故设直线的方程为，‎ ‎ 考点：1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎4. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，20】设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积．‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ 考点：1.椭圆的定义与标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. ‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属中档题.求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与 的公共弦长为，过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若，求直线的斜率.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎（2）如图，设，因与同向，且知，设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根，，从而 ‎,‎ 由得，而是这个方程的两根，，从而，‎ 由得：，解得，即直线的斜率为.‎ ‎【考点】1.椭圆与抛物线的性质；2.直线与抛物线、椭圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆与抛物线的性质、直线与抛物线、椭圆的位置关系，属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.‎ ‎6. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），20】（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【思维点睛】在解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数、三角等知识解答，这就要求在分析、解决问题时要充分利用数形结合、设而不求法、弦长公式及韦达定理综合思考．‎ ‎7. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，21】（本小题满分14分）已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点. 设直线和的斜率为.‎ ‎①求证: 为定值；‎ ‎②求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)①见解析；②．‎ ‎，‎ 令，则 ‎，所以时，的最大值为.‎ 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎8. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 考点：解析几何中定值问题 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎9. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，20】（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当的面积为时，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）由，得，‎ 设点的坐标分别为，‎ 则．．．．．．．．．．．7分 所以，‎ 又因为点到直线的距离，‎ 所以的面积为．．．．．．．．．．．．．．10分 由，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎10. 【四川2016年普通高考适应性测试，20】（本小题满分12分）‎ 过点作一直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上到直线的距离最小的点，直线与直线交于点.‎ ‎（Ⅰ）求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线平行于抛物线的对称轴.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 所以点的纵坐标为.‎ 从而可得轴，‎ 所以，轴.……………………………………13分 考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系 ‎【思路点睛】‎ 解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎11. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，20】（本小题满分12分）‎ 如图，点，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上非顶点的三点，直线的斜率分别为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎12. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，20】在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为定值．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若，过点的直线交轨迹于，两点，以 为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）．（Ⅱ）或．‎ ‎（2）当直线与轴重合时，与轨迹无交点，不合题意；‎ 当直线与轴垂直时，：，此时， ，以为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；‎ 当直线与既不重合，也不垂直时，不妨设直线：（）．‎ ‎，，的中点，‎ 由得，‎ 得，，‎ ‎13. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，20】（本题满分12分）‎ 已知椭圆的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）设， ………………6分 由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，所以，．．．．．．．．．8分 又因直线与椭圆交于不同的两点，‎ 故，即．则 ‎．．．．．．．．．．．．．．10分 令，则，则 ‎ ‎