高中数学选修2-2教学课件第一章 4 40页

§4 数学归纳法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解数学归纳法的原理 . 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法 . 基本步骤是 (1) 验证： n ＝ 1 时，命题成立； (2) 在假设当 n ＝ k ( k ≥ 1) 时，命题成立的前提下，推出 n ＝ k ＋ 1 时命题成立 . 根据 (1)(2) 可以断定命题对一切正整数都成立 . 2. 应用数学归纳法注意的问题 (1) 用数学归纳法证明的对象是 与 有关 的命题 . (2) 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可 . (3) 步骤 (2) 的证明必须以 “ 假设当 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N ＋ ) 时命题成立 ” 为条件 . 正整数 n 探要点 · 究 所然 情境导学 多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下 . 只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下 … ，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下 . 请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？ 探究点一　数学归纳法的原理 思考 1 　多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？ 答　 (1) 第一张牌被推倒 ； ( 2) 任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 . 结论 ：多米诺骨牌会全部倒下 . 所有的骨牌都倒下，条件 (2) 给出了一个递推关系，条件 (1) 给出了骨牌倒下的基础 . 思考 2 　用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？ 答　 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题 P ( n ) ，可按下列步骤进行： (1)( 归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N ＋ ) 时命题成立； (2)( 递推是关键 ) 假设当 n ＝ k ( k ≥ n 0 ， k ∈ N ＋ ) 时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立，其中，利用假设是证题的核心 . 思考 3 　 用数学归纳法证明 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 n － 1) ＝ n 2 ，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正 . 证明： (1) n ＝ 1 时，左边＝ 1 ，右边＝ 1 2 ＝ 1 ，等式成立 . (2) 假设 n ＝ k 时等式成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 k － 1) ＝ k 2 ， 由 (1) 和 (2) 可知对任何 n ∈ N ＋ 等式都成立 . 答　 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设 . 从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明 n ＝ k ＋ 1 正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式 . 探究点二　用数学归纳法证明等式 例 1 　 用数学归纳法证明 证明　 (1) 当 n ＝ 1 时，左边＝ 1 2 ＝ 1 ， 等式成立 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时等式成立，即 那么， 1 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ k 2 ＋ ( k ＋ 1) 2 即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立 . 根据 (1) 和 (2) ，可知等式对任何 n ∈ N ＋ 都成立 . 反思与感悟　 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于 “ 先看项 ” ，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关 . 由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 . 所以等式成立 . 假设 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时， 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， 所以 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立 . 综上所述，对于任何 n ∈ N ＋ ，等式都成立 . 探究点三　用数学归纳法证明数列 问题 例 2 　 已知 数列 计算 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，根据计算结果，猜想 S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明 . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为 3 n ＋ 1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想 . 猜想成立 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时猜想成立，即 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， 所以，当 n ＝ k ＋ 1 时猜想也成立 . 根据 (1) 和 (2) ，可知猜想对任何 n ∈ N ＋ 都成立 . 反思与感悟　 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是 “ 完全归纳 ” 的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是 “ 归纳 —— 猜想 —— 证明 ” 的基本思想 . 跟踪训练 2 　数列 { a n } 满足 S n ＝ 2 n － a n ( S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 ) ，先计算数列的前 4 项，再猜想 a n ，并证明 . 解　 由 a 1 ＝ 2 － a 1 ， 得 a 1 ＝ 1 ； 由 a 1 ＋ a 2 ＝ 2 × 2 － a 2 ， 由 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 2 × 3 － a 3 ， 由 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 2 × 4 － a 4 ， 下面证明猜想正确： (1) 当 n ＝ 1 时，由上面的计算可知猜想成立 . (2) 假设当 n ＝ k 时猜想成立， 当 n ＝ k ＋ 1 时， S k ＋ a k ＋ 1 ＝ 2( k ＋ 1) － a k ＋ 1 ， 所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也成立 . 当堂测 · 查 疑缺 1. 若命题 A ( n )( n ∈ N ＋ ) 在 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时命题成立，则有 n ＝ k ＋ 1 时命题成立 . 现知命题对 n ＝ n 0 ( n 0 ∈ N ＋ ) 时命题成立，则有 ( 　　 ) A. 命题对所有正整数都成立 B. 命题对小于 n 0 的正整数不成立，对大于或等于 n 0 的正整数都 成立 1 2 3 4 C. 命题对小于 n 0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n 0 的正整数都成立 D. 以上说法都不 正确 1 2 3 4 解析　 由已知得 n ＝ n 0 ( n 0 ∈ N ＋ ) 时命题成立， 则有 n ＝ n 0 ＋ 1 时命题成立； 在 n ＝ n 0 ＋ 1 时命题成立的前提下， 又可推得 n ＝ ( n 0 ＋ 1) ＋ 1 时命题也成立，依此类推，可知选 C. 答案　 C 1 2 3 4 2. 用数学归纳法证明 “ 1 ＋ a ＋ a 2 ＋ … ＋ a 2 n ＋ 1 ＝ ( a ≠ 1) ”. 在验证 n ＝ 1 时，左端计算所得项为 ( 　　 ) A.1 ＋ a B.1 ＋ a ＋ a 2 C.1 ＋ a ＋ a 2 ＋ a 3 D.1 ＋ a ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 解析　 将 n ＝ 1 代入 a 2 n ＋ 1 得 a 3 ，故选 C . 1 2 3 4 C 3. 用数学归纳法证明 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ 2 n － 1( n ∈ N ＋ ) 的过程如下： (1) 当 n ＝ 1 时，左边＝ 1 ，右边＝ 2 1 － 1 ＝ 1 ，等式成立 . (2) 假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 时等式成立，即 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 k － 1 ＝ 2 k － 1 ，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 k － 1 ＋ 2 k ＝ ＝ 2 k ＋ 1 － 1. 所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立 . 由此可知对于任何 n ∈ N ＋ ，等式都成立 . 1 2 3 4 上述证明的错误是 ___________ __ ___. 解析　 本题在由 n ＝ k 成立， 证 n ＝ k ＋ 1 成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符 . 1 2 3 4 未用归纳假设 1 2 3 4 ∵ 左边 > 右边 ， ∴ 不等式成立 . 1 2 3 4 (2) 假设 n ＝ k ( k ≥ 2 ，且 k ∈ N ＋ ) 时不等式成立，即 则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1 2 3 4 1 2 3 ∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立 . 由 (1)(2) 知，对于一切大于 1 的自然数 n ，不等式都成立 . 4 呈 重点、现 规律 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1) 验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1 ； (2) 递推是关键：正确分析由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障 ； (3) 利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看