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- 2021-06-15 发布
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2019-2020学年度第一学期黄陵中学高二重点班
数学(文)期末考试试题
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,,,,故可得,故选C.
2.在△ABC中,“A=”是“cos A=”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据在中,根据角得范围和特殊角的三角函数值,及充要条件的判定方法,即可判定,得到答案.
【详解】在中,则,所以且,
所“”是“”充要条件,故选C.
【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题,其中熟记充要条件的判定方法,以及特殊角的三角函数值是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.
3.命题,,命题,,则下列命题中是真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由于命题p:∀x∈R,x2+1>0,为真命题,而命题q:∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定,一一验证选项即可得正确结果.
【详解】命题p:由于对已知∀x∈R,x2≥0,则x2+1≥1>0,
则命题p:∀x∈R,x2+1>0,为真命题,¬p为假命题;
命题q:由于对∀θ∈R,sin2θ+cos2θ=1,
则命题q:∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5为假命题,¬q为真命题.
则p∧q、¬p∧q、¬p∨q为假命题,p∧(¬q)为真命题.
故选D.
【点睛】题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假,再根据真值表进行判断.
4.不等式的解集是( )
A. {x|x<-8或x>-3} B. {x|x≤-8或x>-3}
C. {x|-3≤x≤2} D. {x|-3<x≤2}
【答案】B
【解析】
【分析】
先将分式不等式转化为整式不等式,再解二次不等式即可得解.
【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,
故选:B.
【点睛】本题考查了分式不等式的解法,主要要注意分母不为0,重点考查了二次不等式的解法及运算能力,属基础题.
5.若a<1,b>1,那么下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. a2<b2 D. ab<a+b
【答案】D
【解析】
分析】
举反例说明ABC错误,利用不等式性质证明D正确.
【详解】当时满足a<1,b>1,但,即A,B,C错误;
,又a<1,b>1,
所以,
故选:D
【点睛】本题考查不等式性质,考查基本分析判断能力,属基础题.
6.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
A. 15 B. 30
C. 31 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列性质解得,再根据等差数列性质得结果.
【详解】因为
故选:A
【点睛】本题考查等差数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
7.双曲线的实轴长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:化方程为双曲线的标准方程得:,所以,故实轴长为,故选A.
考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的简单几何性质.
8.已知函数可导,则等于( )
A. B. 不存在
C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据导数的定义进行求解,将看成一个整体,即可得到答案。
【详解】因为,所以,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查导数的概念、极根符号的理解,属于基础题.
9.若函数满足,则的值为
A. 0 B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
,解得.故选.
10.若实数a,b满足a+b=2,则的最小值是( )
A. 18 B. 6 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由重要不等式可得,再根据a+b=2,代入即可得解.
【详解】解:由实数a,b满足a+b=2,有,当且仅当,即时取等号,
故选:B.
【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件,重点考查了运算能力,属基础题.
11.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A. 5 B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
由面积公式得:,解得,所以或,当时,
由余弦定理得:=1,所以,又因为AB=1,BC=,所以此时为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以,由余弦定理得:=5,所以,故选B.
考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.
12.已知为坐标原点,是椭圆:的左焦点,,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得的坐标,设出直线的方程为,分别令,可得的坐标,再由中点坐标公式可得的坐标,运用三点共线的条件,斜率相等,
结合离心率公式可得所求值.
【详解】由题意可设,,
令,代入椭圆方程可得,可得,
设直线的方程为,
令,可得,所以,
令,得,所以,
设的中点为,则可得,
由三点共线,可得,所以,即,即,
所以离心率.
故选:A
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求直线的交点坐标,考查了斜率公式,属于中档题.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.命题“∃x0∈ ,tan x0≤sin x0”的否定是______________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定直接求解.
【详解】因为命题的否定为
故答案为:
【点睛】本题考查特称命题的否定,考查基本分析求解能力,属基础题.
14.已知椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(0,2),则k=________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化成椭圆标准形式,再根据方程列等量关系,解得结果.
【详解】
因为椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(0,2),
所以
故答案为:
【点睛】本题考查椭圆标准方程形式以及基本量计算,考查基本分析求解能力,属基础题.
15.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x<m恒成立,则实数m的取值范围是________.
【答案】(2,+∞)
【解析】
【分析】
当x∈[﹣1,2]时,x3﹣x2﹣x<m恒成立,即实数m大于左边函数的最大值,利用导数法可求.
【详解】由题意,令f(x)=x3﹣x2﹣x,
∴f′(x)=3x2﹣2x﹣1,
令 f′(x)=3x2﹣2x﹣1=0,得x=1或x=﹣,
当x∈(﹣1,﹣)∪(1,2)时 f′(x)>0,当x∈()时,f′(x)<0.
∴f(x)的增区间为(﹣1,﹣),(1,2);减区间为().
∵f(﹣)=,f(2)=2.
∴f(x)=x3﹣x2﹣x在x∈[﹣1,2]上的最大值为2.
∴实数m的取值范围是m>2.
故答案为(2,+∞).
【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查利用导数研究函数在闭区间上的最值,是中档题.
16.已知函数f (x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f ′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________.
①当x=时函数取得极小值;②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数取得极小值;④当x=1时函数取得极大值.
【答案】①.
【解析】
分析:根据导函数得图像可知,1,2是导函数的解,故1,2是极值点,根据图可知1为极大值点,2是极小值点.
详解:有图可知1为极大值点,2是极小值点,故②③④正确,①错
点睛:考查函数极值点定义以及极大值、极小值的判定,属于基础题.
三、解答题(本大题共7小题,共80分)
17.已知命题p:;命题q:.若p是真命题,且q是假命题,求实数x的取值范围.
【答案】或
【解析】
【详解】p为真:等价于不等式
q 为假等价于不等式的解.然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围.由得:,解得
由得:
因为 p为真命题,q为假命题,则
所以或
18.已知函数f(x)=x3+x-16.求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程
【答案】y=13x-32
【解析】
试题分析:根据导数的几何意义,先求函数的导函数,进而求出,得到曲线
在点处的切线的斜率,由点斜式得切线方程.
试题解析:
∵f ′(x)=3x2+1, 4分
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f ′(2)=13. 9分
∴切线的方程为y=13x-32. 12分
考点:1、导数的几何意义;2、直线的点斜式方程.
19.求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,顶点在原点,且过点(-3,2);
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上.
【答案】(1) 或,(2)或
【解析】
【分析】
(1)先设抛物线方程,再代入点坐标求方程;
(2)先求焦点坐标,再写抛物线方程.
【详解】(1)因为抛物线焦点在坐标轴上,顶点在原点,
所以可设抛物线方程为或
因为过点(-3,2),所以或,即或
因此抛物线方程为或
(2)因为焦点在直线x-2y-4=0上又在坐标轴上,所以焦点坐标为或
因此对应抛物线方程为或
点睛】本题考查求抛物线方程,考查基本分析求解能力,属基础题.
20.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=处有极值.
(1)写出函数的解析式;
(2)求出函数的单调区间;
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值.
【答案】(1);(2)是函数的减区间,是函数的增区间;(3)
【解析】
【详解】解:(1),依题意有,
即,得,
所以;
(2),
是函数的减区间,是函数的增区间;
(3)函数在上单调递减,在上单调递增,
21.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A=, sinB=3sinC.
(1)求tanC的值;
(2)若a=,求△ABC面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
【详解】(1)因为A=,所以B+C=,
故sin=3sinC,
所以cosC+sinC=3sinC,即cosC=sinC,得tanC=.
(2)由,sinB=3sinC,得b=3c.
在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2,
又∵a=,∴c=1,b=3,所以△ABC的面积为S=bcsinA=.
22.已知双曲线,问:过点能否作直线,使与双曲线交于两点,并且点为线段的中点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】符合条件的直线不存在,见解析
【解析】
【分析】
设过点的直线方程为或,利用设而不求法,通过判别式与韦达定理求出斜率即可判断.
【详解】设过点的直线方程为或
(1)设
当存在时联立,得
因为直线与双曲线相交于两个不同点,则必有,
,且
又为线段的中点,即
解得,与矛盾,
故过点与双曲线交于两点且为线段中点的直线不存在.
(2)当时,直线经过点但不与双曲线交于两点.
综上,符合条件的直线不存在
【点睛】本题考查圆锥曲线与直线相交问题,常用的方法是设而不求法,借助韦达定理与判别式,属于一般题.
23.已知函数.
⑴ 当时,求的极值;
⑵ 若在区间上是增函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值,无极大值(2)
【解析】
【分析】
(1)求出导数后根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到极值;(2)将问题转化为在区间上恒成立,即在区间上恒成立,对进行分类讨论并结合分离参数可得所求的范围.
【详解】∵,
∴.
(1)当时,,
∴当时,单调递减;
当时,单调递增.
∴当时,函数有极小值,且极小值为;无极大值.
(2)∵在区间上是增函数,
∴在区间上恒成立,
∴在区间上恒成立.
①当时,,所以不合题意.
②当时,则有在区间上恒成立.
令,
则在上单调递减,在上单调递增,
∵,
∴,即,
∴.
∴实数的取值范围为.
【点睛】由函数的单调性求参数取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.