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  • 2021-06-15 发布

陕西省延安市黄陵中学(重点班)2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题

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‎2019-2020学年度第一学期黄陵中学高二重点班 数学(文)期末考试试题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,,,,故可得,故选C.‎ ‎2.在△ABC中,“A=”是“cos A=”的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在中,根据角得范围和特殊角的三角函数值,及充要条件的判定方法,即可判定,得到答案.‎ ‎【详解】在中,则,所以且,‎ 所“”是“”充要条件,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题,其中熟记充要条件的判定方法,以及特殊角的三角函数值是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.‎ ‎3.命题,,命题,,则下列命题中是真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于命题p:∀x∈R,x2+1>0,为真命题,而命题q:∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定,一一验证选项即可得正确结果.‎ ‎【详解】命题p:由于对已知∀x∈R,x2≥0,则x2+1≥1>0,‎ 则命题p:∀x∈R,x2+1>0,为真命题,¬p为假命题;‎ 命题q:由于对∀θ∈R,sin2θ+cos2θ=1,‎ 则命题q:∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5为假命题,¬q为真命题.‎ 则p∧q、¬p∧q、¬p∨q为假命题,p∧(¬q)为真命题.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假,再根据真值表进行判断.‎ ‎4.不等式的解集是( )‎ A. {x|x<-8或x>-3} B. {x|x≤-8或x>-3}‎ C. {x|-3≤x≤2} D. {x|-3<x≤2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分式不等式转化为整式不等式,再解二次不等式即可得解.‎ ‎【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法,主要要注意分母不为0,重点考查了二次不等式的解法及运算能力,属基础题.‎ ‎5.若a<1,b>1,那么下列不等式中正确的是(  )‎ A. B. ‎ C. a2<b2 D. ab<a+b ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 举反例说明ABC错误,利用不等式性质证明D正确.‎ ‎【详解】当时满足a<1,b>1,但,即A,B,C错误;‎ ‎,又a<1,b>1,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查不等式性质,考查基本分析判断能力,属基础题.‎ ‎6.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是(  )‎ A. 15 B. 30‎ C. 31 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质解得,再根据等差数列性质得结果.‎ ‎【详解】因为 故选:A ‎【点睛】本题考查等差数列性质,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎7.双曲线的实轴长是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:化方程为双曲线的标准方程得:,所以,故实轴长为,故选A.‎ 考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的简单几何性质.‎ ‎8.已知函数可导,则等于( )‎ A. B. 不存在 C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据导数的定义进行求解,将看成一个整体,即可得到答案。‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查导数的概念、极根符号的理解,属于基础题.‎ ‎9.若函数满足,则的值为 A. 0 B. ‎2 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,解得.故选.‎ ‎10.若实数a,b满足a+b=2,则的最小值是( )‎ A. 18 B. ‎6 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由重要不等式可得,再根据a+b=2,代入即可得解.‎ ‎【详解】解:由实数a,b满足a+b=2,有,当且仅当,即时取等号,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件,重点考查了运算能力,属基础题.‎ ‎11.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由面积公式得:,解得,所以或,当时,‎ 由余弦定理得:=1,所以,又因为AB=1,BC=,所以此时为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以,由余弦定理得:=5,所以,故选B.‎ 考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.‎ ‎12.已知为坐标原点,是椭圆:的左焦点,,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得的坐标,设出直线的方程为,分别令,可得的坐标,再由中点坐标公式可得的坐标,运用三点共线的条件,斜率相等,‎ 结合离心率公式可得所求值.‎ ‎【详解】由题意可设,,‎ 令,代入椭圆方程可得,可得,‎ 设直线的方程为,‎ 令,可得,所以,‎ 令,得,所以,‎ 设的中点为,则可得,‎ 由三点共线,可得,所以,即,即,‎ 所以离心率.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求直线的交点坐标,考查了斜率公式,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.命题“∃x0∈ ,tan x0≤sin x‎0”‎的否定是______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定直接求解.‎ ‎【详解】因为命题的否定为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎14.已知椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(0,2),则k=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化成椭圆标准形式,再根据方程列等量关系,解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆5x2-ky2=5的一个焦点是(0,2),‎ 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程形式以及基本量计算,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎15.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x<m恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ ‎【答案】(2,+∞)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当x∈[﹣1,2]时,x3﹣x2﹣x<m恒成立,即实数m大于左边函数的最大值,利用导数法可求.‎ ‎【详解】由题意,令f(x)=x3﹣x2﹣x,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣2x﹣1,‎ 令 f′(x)=3x2﹣2x﹣1=0,得x=1或x=﹣,‎ 当x∈(﹣1,﹣)∪(1,2)时 f′(x)>0,当x∈()时,f′(x)<0.‎ ‎∴f(x)的增区间为(﹣1,﹣),(1,2);减区间为().‎ ‎∵f(﹣)=,f(2)=2.‎ ‎∴f(x)=x3﹣x2﹣x在x∈[﹣1,2]上的最大值为2.‎ ‎∴实数m的取值范围是m>2.‎ 故答案为(2,+∞).‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查利用导数研究函数在闭区间上的最值,是中档题.‎ ‎16.已知函数f (x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f ′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________.‎ ‎①当x=时函数取得极小值;②f(x)有两个极值点;‎ ‎③当x=2时函数取得极小值;④当x=1时函数取得极大值.‎ ‎【答案】①.‎ ‎【解析】‎ 分析:根据导函数得图像可知,1,2是导函数的解,故1,2是极值点,根据图可知1为极大值点,2是极小值点.‎ 详解:有图可知1为极大值点,2是极小值点,故②③④正确,①错 点睛:考查函数极值点定义以及极大值、极小值的判定,属于基础题.‎ 三、解答题(本大题共7小题,共80分)‎ ‎17.已知命题p:;命题q:.若p是真命题,且q是假命题,求实数x的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】p为真:等价于不等式 q 为假等价于不等式的解.然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围.由得:,解得 由得:‎ 因为 p为真命题,q为假命题,则 ‎ 所以或 ‎18.已知函数f(x)=x3+x-16.求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程 ‎【答案】y=13x-32‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据导数的几何意义,先求函数的导函数,进而求出,得到曲线 在点处的切线的斜率,由点斜式得切线方程.‎ 试题解析:‎ ‎∵f ′(x)=3x2+1, 4分 ‎∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f ′(2)=13. 9分 ‎∴切线的方程为y=13x-32. 12分 考点:1、导数的几何意义;2、直线的点斜式方程.‎ ‎19.求满足下列条件的抛物线的标准方程.‎ ‎(1)焦点在坐标轴上,顶点在原点,且过点(-3,2);‎ ‎(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上.‎ ‎【答案】(1) 或,(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设抛物线方程,再代入点坐标求方程;‎ ‎(2)先求焦点坐标,再写抛物线方程.‎ ‎【详解】(1)因为抛物线焦点在坐标轴上,顶点在原点,‎ 所以可设抛物线方程为或 因为过点(-3,2),所以或,即或 因此抛物线方程为或 ‎(2)因为焦点在直线x-2y-4=0上又在坐标轴上,所以焦点坐标为或 因此对应抛物线方程为或 点睛】本题考查求抛物线方程,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎20.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1与x=处有极值.‎ ‎(1)写出函数的解析式;‎ ‎(2)求出函数的单调区间;‎ ‎(3)求f(x)在[-1,2]上的最值.‎ ‎【答案】(1);(2)是函数的减区间,是函数的增区间;(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解:(1),依题意有, 即,得, 所以; (2), 是函数的减区间,是函数的增区间; (3)函数在上单调递减,在上单调递增, ‎ ‎21.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角A=, sinB=3sinC.‎ ‎(1)求tanC的值;‎ ‎(2)若a=,求△ABC面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)因为A=,所以B+C=,‎ 故sin=3sinC,‎ 所以cosC+sinC=3sinC,即cosC=sinC,得tanC=.‎ ‎(2)由,sinB=3sinC,得b=‎3c.‎ 在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=‎9c2+c2-2×(‎3c)×c×=‎7c2,‎ 又∵a=,∴c=1,b=3,所以△ABC的面积为S=bcsinA=.‎ ‎22.已知双曲线,问:过点能否作直线,使与双曲线交于两点,并且点为线段的中点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】符合条件的直线不存在,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线方程为或,利用设而不求法,通过判别式与韦达定理求出斜率即可判断.‎ ‎【详解】设过点的直线方程为或 ‎(1)设 当存在时联立,得 因为直线与双曲线相交于两个不同点,则必有,‎ ‎,且 又为线段的中点,即 解得,与矛盾,‎ 故过点与双曲线交于两点且为线段中点的直线不存在.‎ ‎(2)当时,直线经过点但不与双曲线交于两点.‎ 综上,符合条件的直线不存在 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线与直线相交问题,常用的方法是设而不求法,借助韦达定理与判别式,属于一般题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎⑴ 当时,求的极值; ‎ ‎⑵ 若在区间上是增函数,求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】(1)极小值,无极大值(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导数后根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到极值;(2)将问题转化为在区间上恒成立,即在区间上恒成立,对进行分类讨论并结合分离参数可得所求的范围.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴.‎ ‎(1)当时,,‎ ‎∴当时,单调递减;‎ 当时,单调递增.‎ ‎∴当时,函数有极小值,且极小值为;无极大值.‎ ‎(2)∵在区间上是增函数,‎ ‎∴在区间上恒成立,‎ ‎∴在区间上恒成立.‎ ‎①当时,,所以不合题意.‎ ‎②当时,则有在区间上恒成立.‎ 令,‎ 则在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】由函数的单调性求参数取值范围的方法 ‎(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;‎ ‎(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是(或)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;‎ ‎(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.‎

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