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- 2021-06-15 发布
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2019学年高二(上)第三次月考
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“若,则中至少有一个大于”的否定为( )
A.若中至少有一个大于,则
B.若,则中至多有一个大于
C.若,则中至少有一个大于
D.若,则都不大于
2. 下列方程表示焦点在轴上且短轴长为的椭圆是( )
A. B. C. D.
3. 如图,在四棱锥中,平面,底面是梯形,,
且,则下列判断错误的是( )
A.平面 B.与平面所成的角为
C. D.平面平面
4. 若双曲线的虚轴长为,则该双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
5. 设有下面四个命题:
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抛物线的焦点坐标为;
,方程表示圆;
,直线与圆都相交;
过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.
那么,下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
6. 若动圆与圆和圆都外切,则动圆的圆心的轨迹( )
A.是椭圆 B.是一条直线 C.是双曲线的一支 D.与的值有关
7. 当双曲线的离心率取得最小值时,的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点(在的上方),且与准线交于点,若,则 ( )
A. B. C. D.
9.已知为正数,则“”是“ ”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.某几何体是组合体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A. B. C. D.
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11. 在平面直角坐标系中,已知为函数图象上一点,
若,则 ( )
A. B. C. D.
12.过点的直线与抛物线相交于两点,且,则点到原点的距离为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若直线与直线垂直,则的倾斜角为 .
14.如图,是球的直径上一点,平面截球所得截面的面积为,
平面,且点到平面的距离为,则球的表面积为 .
15.若分别是椭圆短轴上的两个顶点,点是椭圆上异于的任意一点,若直线与直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为 .
16.如图,在中,,点为的中点,点为线段垂直平分线上的一点,且,四边形为矩形,固定边,在平面内移动顶点,使得的内切圆始终与切于线段的中点,且在直线的同侧,在移动过程中,当取得最小值时,点到直线的距离为 .
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三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知;方程表示焦点在轴上的椭圆.
(1)当时,判断的真假;
(2)若为假,求的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中,已知,动点满足,记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)若直线与交于两点,且,求的值.
19.已知椭圆的一个焦点为,设椭圆的焦点为椭圆短轴的顶点,且椭圆过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,求.
20. 如图,四边形是正四棱柱的一个截面,此截面与棱交于点 ,,其中分别为棱上一点.
(1)证明:平面平面;
(2)为线段上一点,若四面体与四棱锥的体积相等,求的长.
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21. 在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,使得,再过作直线,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
22.已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与抛物线交于两点,过这两点分别作抛物线的切线,且这两条切线相交于点.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)设线段的中点为,点的坐标为,过的直线与线段为直径的圆相切,切点为,且直线与抛物线交于两点,求的取值范围.
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试卷答案
一、选择题
1-5: DACBB 6-10: DAACA 11、C 12:D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:因为,
所以若为真,则,
由得,若为真,则,即,
(1)当时,假真,故为真;
(2)若为真,则 ,
所以,若为假,则.
18.解:(1)设,则,
所以,
即,此即为的方程.
(2)由(1)知为圆心是,半径是的圆,
设到直线的距离为,则,
因为,所以,所以,解得.
19.解:(1)设的方程为,则,
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又,解得,
所以的方程为.
(2)由,整理得,
设,则,
所以,
20.(1)证明:在正四棱柱中,
底面,所以,
又,所以平面,则,
因为,所以平面,
又平面,所以平面平面.
(2)解:在中,,所以,因为,所以,
因为,所以,又,所以,
因为,所以,所以四面体的体积.
取的中点,因为,所以,又平面,
所以,则平面,
过作,交于,则平面,所以.
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21.解:(1)由题意知,
又椭圆的离心率为,所以,所以,
所以椭圆的方程为.
(2)因为直线的方程为,设 ,
当时,设,显然,
联立,即,
又,即为线段的中点,
故直线的斜率,
又,所以直线的方程为
即,显然恒过定点,
当时,过点,
综上所述,过点.
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22.解:(1)由抛物线的焦点到准线的距离为,得,
则抛物线的方程为.
设切线的方程为,代入得,
由得,
当时,的横坐标为,则,
当时,同理可得.
(2)由(1)知,,则以线段为直径的圆为圆,
根据对称性,只要探讨斜率为正数的直线即可,
因为为直线与圆的切点,所以,,所以,
所以,
所以直线的方程为,代入得,
设,所以,
所以,
所以,
设,因为,所以,所以,
所以.
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