高中数学选修2-2教案第二章 章末复习课 5页

题型一　导数定义的应用 函数f(x)在点x＝x0处的导数是f(x)在x0点附近的平均变化率＝；当Δx趋于0时的极限，即f′(x0)＝ ，这是数学上的“逼近思想”. ‎ 例1　求函数f(x)＝2x2＋5在x＝1点处的导数．‎ 解　方法一　＝ ‎＝＝4＋2Δx，‎ ‎∴f′(1)＝＝(4＋2Δx)＝4.‎ 方法二　(先求f′(x)，再求f′(1))‎ ＝ ‎＝＝4x＋2Δx，‎ ‎∴f′(x)＝(4x＋2Δx)＝4x.∴f′(1)＝4.‎ 反思与感悟　求函数f(x)在一点处的导数有两种方法：直接利用定义；先求函数f(x)的导函数f′(x)，再代入求函数一点处的导数．‎ 跟踪训练1　求函数f(x)＝在x＝2处的导数．‎ 解　＝ ‎＝＝－，‎ ‎∴f′(2)＝ ＝－.‎ 题型二　导数与曲线的切线 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．‎ 例2　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程．‎ 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ 当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．‎ 解　依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，‎ ‎∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，‎ ‎∵l与圆相切，∴＝⇒a＝，‎ ‎∴a的值为.‎ 题型三　导数的综合应用 例3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．‎ 解　设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，‎ 由题意知kAB＝.‎ 所以kl＝＝，即x0＝1，‎ 所以y0＝1.所以P(1,1)．‎ 反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．‎ 跟踪训练3　(1)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　A 解析　∵y′＝(－2x)′e－2x ‎＝－2e－2x，‎ ‎∴k＝－2e0＝－2，‎ ‎∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，‎ 即y＝－2x＋2.‎ 如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为(，)，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，‎ ‎∴S＝×1×＝.‎ ‎(2)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．‎ 解　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为 ‎1，即当x＝x0时，y′＝1.‎ ‎∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，‎ 得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，‎ 即P(0,1)．‎ 利用点到直线的距离公式得距离为.‎ ‎1．函数y＝的导数为________．‎ 答案　 解析　y′＝′＝ ‎＝＝.‎ ‎2．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.‎ 答案　 解析　∵f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－2ax－4.‎ 又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝. ‎ ‎3．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．‎ 答案　0.4 m/s 解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，‎ ‎∴v＝s′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．‎ ‎4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．‎ 解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则当x＝x0时，y′＝2x0＝1，‎ 所以x0＝，所以切点坐标为，‎ 切点到直线x－y－2＝0的距离 d＝＝，‎ 所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎(1)利用定义求函数的导数是逼近思想的应用；(2)导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率；(3)对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．‎