数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第三次联考（2017 10页

‎2017届高中毕业班联考(三)‎ 数学(文科)‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，其中，是实数，是虚数单位，则 ‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎3．“直线与圆相交是“”的 ‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 ‎ C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在等差数列{}中，若，则的值为 ‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图l是实现该算 法的程序框图．执行该程序框图，若输入的=2，=2，依次输 入的为3，3，7，则输出的s=‎ ‎ A．9 B．21 C．25 D．34‎ ‎6．已知，则的值为 ‎ A． B．3 C．或3 D．或3‎ ‎7．设函数是定义在R上的奇函数，且，则=‎ ‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎8．已知双曲线：，若矩形ABCD的四个顶点在上，AB、CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率为2，则直线AC的斜率为，则等于 A． B． C． D．3‎ ‎9．如图2所示，三棱锥V—ABC的底面是以B为直角顶点的 等腰直角三角形，侧面VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平 面VAC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为 俯视图的方向．已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积是 ‎ A． B． C． D．3‎ ‎10．已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则，的单调递减区间是 ‎ A．[] B．[]‎ ‎ C．[] D．[]‎ l1．如图3所示，在正方体中，，直线AC与直线DE所成的角为，直线DE与平面所成的角为， ‎ ‎ 则 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是函数的—个极值点，则 与的大小关系是 ‎ A．> B．< C．= D．以上都不对 第II卷 本卷包括必考题和选考题两个部分，第(13)题一第(2l)题为必考题，每个考生都必须作答第(22)题一第(23)题为选考题。考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13．已知向量，若，则实数的值为_______。‎ ‎14．在区间上随机取一个实数，则满足的值介于1到2之间的概率为__________。‎ ‎15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎16．在数列及中以．设 ‎，则数列的前2017项和为__________-‎ 三、解答题：本大题必做题5个．每题12分，选做题两个只选做一个，10分．满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或推演步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)如图4所示，△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、且满足 ‎(1)求角B的大小； ‎ ‎(2)点D为边AB上的一点，记，若，‎ ‎，，，求与的值 ‎ ‎ ‎18．(本小题满分12分)全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下 ‎(1)根据所给统计表和频率分布直方图巾的信息求出、的值，并完成频率分布直方图 ‎(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；‎ ‎(3)在空气质量指数分别属于[50，100)和[150，200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天。再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．‎ ‎9·(本小题满分12分)如图5所示，空间几何体ADE—BCF中．四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平而CDEF，AD⊥DC．AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．‎ ‎ (1)求证：AE⊥CD；‎ ‎ (2)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；‎ ‎ (3)在(2)的条件下，求空间几何体ADM—BCF的体积． ‎ ‎20·(本小题满分12分)已知抛物线，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B且．‎ ‎ (1)求点P的轨迹方程；‎ ‎ (2)试问直线AB是否恒过定点?若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．‎ ‎21·(本小题满分12分)已知函数，．‎ ‎ (1)若曲线上点(1，g(1))处的切线过点(0，2)，求函数g()的单调递减区间；‎ ‎(2)若函数在上无零点，求的最小值 ‎[来源:]‎ 请考生在第(22)、(23 )两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做。则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22·(本小题满分10分)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎ (1)求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设P为曲线C上的动点，求点P到直线的距离的最小值．‎ ‎23·(本小题满分10分)已知函数的定义域为R．‎ ‎ (1)求实数的取值范围；‎ ‎ (2)若的最大值为，且，求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017届高中毕业班联考（三） 数学（文科）答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9[.Com]‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A A C C C D A B B D A B 二、 填空题 13、 ‎ ‎ 14、 ‎ ‎ 15、 ‎ ‎ 16、 三、解答题 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由正弦定理可得,所以,故-----5分 ‎（2）在中，,所以-------------------7分 ‎ 在中，由,,所以----9分 ‎ 在中，由余弦定理的 ‎ 即=5‎ ‎ 所以—————————————12分 18. ‎（本小题满分12分）‎ （1） ‎——————————————————1分 ‎ —————————————2分 ‎ ,,,‎ （2） 平均数为95，中位数为87.5；————————————————8分 （1） 在空气质量指数为的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取 的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为；将空气质量指数 为的1天分别记为；从中任取2天的基本事件分别为：‎ ‎ 共10种 ‎ 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：‎ ‎ 共6种。——————————————10分 ‎ 所以事件A“两天空气都为良”发生的概率是————————12分 19. ‎（本小题满分12分）‎ 解：（1）四边形CDEF是矩形，‎ ‎ ‎ ‎ 在平面内，————————————————3分 ‎ （2）当是线段的中点时，,证明如下：‎ ‎ 连结连结,由于 ‎ 所以,又在平面内，‎ ‎ 所以———————————————————————7分 ‎ ‎ ‎（3）将几何体补成三棱柱－，‎ ‎∴三棱柱－的体积为△ADE·= ………… 8分 ‎ …… 10分 ‎ …… 11分 ‎∴ 空间几何体的体积为=… 12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，则直线：，代入抛物线方程：‎ ‎，因为直线与抛物线相切，所以 ‎，——————————————————2分 同理，————————————————————3分 所以，分别为方程：的两个不同的实根，———5分 ‎，所以，所以点的轨迹方程．————6分 ‎（Ⅱ）设，，由，，所以抛物线在，点的切线方程分别为 ，——————————8分 又都过点，‎ 所以————————————————————9分 所以直线的方程为，——————————————11分 所以直线恒过定点．——————————————————12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为 ‎ ‎ 所以，于是 ‎ 又，所以得——————————2分 ‎ 所以 ‎ 所以函数的单调递减区间为：(0,2)————————————4分 ‎(2）因为上恒成立不可能，所以函数上无零点——5分 ‎ 只要对任意的恒成立，即对——--6分 ‎ 恒成立 令，————————————7分 ‎ 再令 ‎ 所以在上为减函数，于是————9分 ‎ 从而在上为增函数 ‎ 所以——————————————————————11分 ‎ 故要使得在恒成立，只要 ‎ 所以———————————————————————12分 22. ‎（本小题满分10分）‎ 解：(Ⅰ)由曲线： 得 ‎ 即：曲线的普通方程为：。 ‎ 由曲线：得：，‎ 即：曲线的直角坐标方程为: ————————5分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆与直线无公共点，‎ 椭圆上的点到直线的距离为 所以当时，的最小值为 ————————10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解（1）依题意的： 对于恒成立 ‎ 令，则 ‎ 因为 ‎ 画出函数的图象可得，所以—————5分 （2） 由（1）知 ‎ 所以 ‎ ‎ 当且仅当，即取等号——————————10分