数学理卷·2018届陕西省西安市长安一中高三上学期第五次质量检测（2017 9页

长安一中2017---2018学年度第一学期第五次模考 高三理科数学试题 命题人：罗理想 审题人：王仓绪 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）‎ ‎1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(　　)‎ A．2π B．4π C． D．‎ ‎2．马大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎ ‎3.设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎4.．设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则的最大值是 A．1 B． C． D．‎ ‎5．下列命题正确的个数有( )‎ ‎（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件.‎ ‎(2)命题“,使得”的否定是:“对, 均有”.‎ ‎(3)经过两个不同的点、的直线都可以用方程来表示.‎ ‎(4）在数列中, ,是其前项和,且满足则是等比数列.‎ ‎（5）若函数在处有极值10，则.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1, ∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝( )‎ A．5 B．25 C. D．5 ‎ ‎7．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2.当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝(　　)‎ A．336 B．337 C．1 678 D．2 014 ‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　　)‎ A．100 B．101 C．200 D．201‎ ‎9．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A．1＋25ln5 B．8＋25ln C．4＋25ln5 D．4＋50ln2‎ ‎10.已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则 的最大值为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎11．当时,函数的最小值是（ ）‎ ‎ A． 4 B． C．2 D． ‎ ‎12.设函数=，其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）‎ A．[-，1） B．[-，） C．[，） D．[，1）‎ 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎13.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为_________．‎ ‎14．在上可导的函数，当时取得极大值，当 时取得极小值，则的取值范围是 . ‎ ‎15.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.设函数f(x)为(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 016)2f(x＋2 016)－9f(－3)>0的解集为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，70分．解答写在答题纸相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）已知向量，，函数 ‎ （Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎ （Ⅱ）若不等式都成立，求实数m的最大值.‎ ‎18.（本小题满分10分）‎ ‎=, =,‎ ‎(Ⅰ)求证：为等差数列； ‎ ‎（Ⅱ） 若,问是否存在, 对于任意（），不等式成立.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.‎ ‎(Ⅰ)求与的值；‎ ‎（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.‎ ‎ 20.（本小题满分12分）设函数 ‎（Ⅰ）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围。‎ ‎21．（本小题满分12分）为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数)‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；‎ ‎（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证： ‎ 高三级五模理科数学答案 一、选择题：DBADB ABACB AD 二、填空题：‎ ‎13.下午4：00； 14. 15. 16.{x|x<－2 019}‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（Ⅰ） ‎ 由 ， 得 所以的单调增区间是 ‎ ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 所以 ‎ 所以 所以，m的最大值为0.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）,∴, ‎ ‎，，为等差数列 ‎（Ⅱ），‎ ‎19.‎ ‎（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．‎ 当时，‎ ‎20 （1）对求导得 因为在处取得极值，所以，即．‎ 当时，，故，从而在点处的切线方程为，化简得 ‎（2）由（1）得，，‎ 令 由，解得．‎ 当时，，故为减函数；‎ 当时，，故为增函数；‎ 当时，，故为减函数；‎ 由在上为减函数，知，解得 故a的取值范围为 ‎21解：设该地区总面积为1，2014年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1(0＜an＋1＜1)．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 依题意an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%(1－an)，所以an＋1＝92%an＋12%(1－an)＝an＋，‎ 即an＋1－＝(此处的－可用待定系数法求)．‎ ‎∴是以－为首项，为公比的等比数列， 则an＋1＝－×.‎ ‎∵an＋1＞50%，∴－＞， 即＜，n＞log＝＝3.‎ 则当n≥4时，不等式＜恒成立．所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.‎ ‎22．（Ⅰ）由，可得，其中且，‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当为奇数时：‎ 令，解得或，‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 所以，在，上单调递减，在内单调递增．‎ ‎（2）当为偶数时，‎ 当，即时，函数单调递增；‎ 当，即时，函数单调递减．‎ 所以，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则 由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为 ‎，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有．‎ ‎（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由（Ⅱ）知可得．‎ 类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，‎ ‎，即对任意，‎ 设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此． 由此可得．‎ 因为，所以，故，‎ 所以．‎