2018届二轮复习等差数列与等比数列问题的精彩妙解学案（全国通用） 13页

专题34 等差数列与等比数列问题的精彩妙解 ‎ 考纲要求:‎ ‎1.理解等差(比）数列的概念(定义、公差、等差中项)．掌握等差(比）数列的通项公式与前n项和公式；‎ ‎2.能在具体的问题情境中识别数列的等差(比）关系，并能用有关知识解决相应的问题；‎ ‎3.了解等差数列与一次函数的关系．了解等比数列与指数函数的关系．‎ ‎4.掌握等差(比）数列的性质及其应用．‎ 基础知识回顾:‎ 一、等差(比）数列的定义通项公式及前n项和公式 ‎ 1.等差数列 ‎ （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．（提示：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列）．‎ ‎（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的 等差中项 ．‎ ‎（3）通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .4．前n项和公式：Sn＝ na1＋d ＝ .‎ ‎2等比数列 ‎（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为＝q.‎ ‎（2）等比中项：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.（提示：在等比数列中每项与公比都不为0）.‎ ‎ （3）通项公式：an＝a1qn－1. 前n项和公式：Sn＝ 二、等差(比）数列的性质 ‎　1.数列{an}是等差数列，则其项的性质有：‎ ‎ （1）an＝am＋(n－m)d，an＝An＋B等形式，d＝ （其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差）．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎　2.数列{an}是等差数列，则其和的性质有：‎ ‎（1）数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列. ‎ ‎（2）前n项和公式Sn＝n2＋(a1－)n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．‎ ‎ （3）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎ (4)在等差数列{an}中，若项数为偶数2n的等差数列{an}：S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．S偶－S奇＝nd，＝.若项数为奇数(2n＋1)的等差数列{an}：S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. ＝.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)‎ ‎　3.数列{an}是等比数列，则其项的性质有：‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；‎ ‎ 4.数列{an}是等比数列，则其和的性质有：‎ ‎(1)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．‎ 应用举例:‎ 类型一、等差数列的基本运算 ‎【例1】【安徽省“五校”2018届高三上学期联考】‎ 已知是公差为的等差数列， 为的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例2】【2017沈阳质量检测】设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一：由题知Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.‎ 法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝‎2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.‎ ‎【例3】【2017河北衡水中学模拟】已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，则S25＝(　　)‎ A．232 B．‎233 C．234 D．235‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得a4＝3，所以a2＋a3＋a4＝8，∴S25＝a1＋(a2＋a5＋…＋a23)＋(a3＋a6＋…＋a24)＋(a4＋a7＋…＋a25)＝1＋＋＋＝23.‎ 点评：等差数列运算的解题思路及答题步骤 ‎(1)解题思路：由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．如“题组练透”第4题易出现计算失误．‎ ‎(2)答题步骤：步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系；步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；步骤三：利用前n项和公式求得结果。‎ 类型二、等差数列的性质及最值 ‎【例4】【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知无穷等差数列的公差， 的前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎【答案】C ‎【例5】【2017广东省珠海市高三摸底考试】已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________.‎ ‎【答案】20. ‎ ‎【解析】法一：设数列的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.‎ 法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.‎ 所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20. ‎ ‎【例6】【2017湖北省襄阳市第四中学高三月考】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．‎ ‎【答案】130.‎ 点评：求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ 类三、等比数列的基本运算 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．‎ 常见的命题角度有：(1)求首项a1，公比q或项数n；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．‎ 角度一：求首项a1，公比q或项数n ‎【例7】【2017江西省南昌高三一模】已知等比数列{an}的公比为正数，且a‎3a9＝‎2a，a2＝2，则a1＝(　　)‎ A.　　　　 　　B. C. D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵等比数列{an}的公比为正数，且a‎3a9＝‎2a，a2＝2，∴由等比数列的性质得a＝‎2a，∴a6＝a5，公比q＝＝，a1＝＝.‎ ‎【例8】【2017河北省定州中学高三月考】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.‎ 角度二：求通项或特定项 ‎【例9】已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A. 32 B. ‎64 C. 128 D. 256‎ ‎【答案】C ‎【例10】设数列满足，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，可得数列是以为首项， 为公比的等比数列，‎ ‎ 所以，故选D. ‎ 角度三：求前n项和 ‎【例11】【2017河北省沧州市高三月考】已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a‎2a3＝8，则数列的前n项和等于_______．‎ ‎【答案】Sn＝2n－1.‎ ‎【解析】设等比数列的公比为q，则有解得或又为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.‎ ‎【例12】各项为正数的等比数列， ，则（ ）‎ A. 15 B. ‎10 C. 5 D. 20‎ ‎【答案】A 角度四：等比数列的性质 ‎【例13】【河北省衡水市安平中学2018届高三上学期第三次月考】在等比数列中， ，且前项和，则此数列的项数等于（ ）‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【例14】【2017江西吉安一中高三月考】数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝________.‎ ‎【答案】(1－4－n)．‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q＝，所以a1＝4.a‎2a3＝＝a‎1a2，anan＋1＝＝an－1an(n≥2)．设bn＝anan＋1，可以得出数列{b n}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1为数列{bn}的前n项和，由等比数列前n项和公式得a‎1a2＋a‎2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．‎ 点评：等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ 类型二、等差（比）数列的判断与证明 ‎【例15】【2017四川省成都市高三摸底】已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列； (2)求an的表达式．‎ ‎【答案】见解析 ‎【例16】关于等差数列和等比数列，有如下四个说法：‎ ‎①若数列的前项和为常数）则数列为等差数列；‎ ‎②若数列的前项和为常数）则数列为等差数列；‎ ‎③数列是等差数列， 为前项和，则仍为等差数列；‎ ‎④数列是等比数列， 为前项和，则仍为等比数列；‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若数列的前项和为常数)，若，则数列为等差数列，否则不是等差数列；①错误；②若数列的前项和为常数），， 是等比数列，②错误；③数列是等差数列， 为前项和，则仍为等差数列；③正确；④数列是等比数列， 为前项和，则仍为等比数列；④正确； 正确命题的个数为2个.选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的性质，如等差数列的通项公式为与n的一次函数关系，常数数列为常数函数关系，前n 项和与n的关系为二次函数常数项为零等；等差数列等长片段和仍成等差数列；等比数列等长片段和仍成等比数列等；还有其他性质，在学习中要注意总结.‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎（1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎ ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎2.等比数列的判定方法有：‎ ‎(1)定义法；(2)等比中项公式法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．‎ 实战演练:‎ ‎1．由公差为的等差数列重新组成的数列是（　　）‎ A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公差为的等差数列 D. 非等差数列 ‎【答案】B ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法： （），则数列是等差数列；(3) 通项公式： (为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式： (为常数) ， 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎2．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】在等差数列中， ， ，则 A. 7B．‎10C．20D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为， ，所以，则，故选C.‎ ‎3．【福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学2017届高三第一次联合考试】‎ 设是等差数列的前n项和， ，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4．【安徽省巢湖市柘皋中学2018届高三上学期第三次月考】已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（ ）‎ A. 18 B. ‎27 C. 45 D. 54‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于(　　)‎ A. -4 B. ‎-6 C. -8 D. -10‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得。‎ ‎∴。选B。‎ ‎6．下列命题正确的是( )‎ A. 若数列的前项和为,则数列是等差数列.‎ B. 若数列的前项和为,则数列是等比数列.‎ C. 常数列既是等差数列,又是等比数列.‎ D. 等比数列的公比则是递增数列.‎ ‎【答案】B ‎【解析】项不正确，因为，从第二项起成等差数列，而第一项不适合。‎ 不正确，因为零数列是等差数列而不是等比数列。‎ 不正确，因为当时，数列是递减的。‎ 故答案选 点睛：等差数列的和形如的形式，不含常数项，等比数列的和 ‎，形如形式，在判定等差数列或者等比数列的和时可以根据结论做出结果。‎ ‎7．若是等差数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 8．设是等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等差数列的前项和， ,选D.‎ ‎9．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】在等比数列中， 和是方程的两个根，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】和是方程的两个根，根据韦达定理得，在等比数列中， ，‎ 故选D ‎10．【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考】已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B