山西省临汾2020届高三下学期模拟考试（1）数学（理） 11页

理科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合,，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎3．随着二胎政策的开放，越来越多中年女性选择放下手中的工作，为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕，且不影响公司的正常效益，对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性，若每名中年女性倾向于生二胎的概率为，且各名中年女性之间不相互影响，则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知，则 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则 （ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎7．执行下面的程序框图，若输出的S的值为440，则判断框中可以填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知点是焦点为的抛物线上的一点，且，点是直线与的交点，若，则抛物线的方程为 （ ）‎ A． B．或 C． D．或 10． 三棱锥中，底面为非钝角三角形，其中，‎ ‎，则三棱锥的外接球体积为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上的点，且，若的面积为16，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长为 （ ）‎ A．4 B．8 ‎ C．16 D．32‎ ‎12．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．的展开式中，含项的系数为 .‎ ‎14．已知实数满足，则的取值范围为 .‎ ‎15．已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是 .‎ ‎16．已知函数，若方程有四个不等实根，则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，记，且，求的值．‎ ‎18．（12分）随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10~60岁间的位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下所示.‎ ‎（1）若被调查的人员年龄在20~30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；‎ ‎（2）若按分层抽样的方法从年龄在以及内的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行调研，记随机抽取的3人中，年龄在内的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 19． ‎（12分）已知四棱柱中，平面，底面 为菱形，,,.‎ ‎（1）若面，求的值.‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆过点.椭圆的右顶点为，为椭圆上关于原点对称的两点，且不与椭圆的顶点重合.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）连接分别交轴于两点，若，满足，求的值.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若，证明：曲线在处的切线与直线垂直；‎ ‎（2）若，当时，证明：.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为；曲线：，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程，以及直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 设函数（其中）.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若，解不等式.‎ 理科数学答案与解析 ‎1．【答案】D【解析】依题意，,，故，故，故选D.‎ ‎2．【答案】A【解析】依题意，，则在复平面内，复数所对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.‎ ‎3．【答案】C【解析】依题意，所求概率，故选C.‎ ‎4．【答案】B【解析】依题意，记，‎ 则，又 ‎，两式相加可得 ‎，‎ 则，故选B.‎ ‎5．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故选A.‎ ‎6．【答案】D【解析】依题意，‎ ‎，故，则，故选D.‎ ‎7．【答案】C【解析】若判断框中填写“”，运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，，第五次，，退出循环，此时输出S的值为440，故选C.‎ ‎8．【答案】D【解析】依题意，该几何体为长方体里面挖掉了一个圆锥，故所求表面积，故选D.‎ ‎9．【答案】B【解析】依题意，；设，联立，解得，故，则；因为，‎ 故，解得，且；‎ 又由得，，解得或，‎ 故抛物线的方程为或，故选B.‎ ‎10．【答案】C【解析】因为，为非钝角三角形，故，由余弦定理得，解得，故为直角三角形，其中；故，故，此时，注意到球心即为线段AC的中点O（此时点O到的距离均为4），故所求球体的体积，故选C.‎ ‎11．【解析】C【解析】依题意，不妨设在上；因为，故为点到直线的距离，故；因为为直角三角形，，‎ 故，故，故 ①，因为双曲线的离心率，解得 ②，联立①②，解得，故双曲线的实轴长为16，故选C.‎ ‎12．【答案】A【解析】依题意，，，即；要求的解集，即求 的解集；即求的解集；令，故，故在上单调递增，注意到，故当时，，即，即的解集为，故选A.‎ ‎13．【答案】435【解析】依题意，，故含项的系数为.‎ ‎14．【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，，即，故的取值范围为.‎ 15． ‎【答案】9【解析】依题意，数列为等差数列，因为，‎ 即，即，因为，‎ 即，因为在时单调递增，‎ 其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.‎ ‎16．【答案】【解析】有四个不等实根，即，，且，则解得，即实数的取值范围为.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）因为角成等差数列，所以；，即，‎ 又因为，，所以；在中，由余弦定理得，‎ ‎，即，‎ 解得.（6分）‎ ‎（2）依题意，；因为，所以．‎ 在中，，在中，，‎ 由正弦定理得，，即，‎ 化简得，于是．‎ 因为，所以，‎ 所以，解得，故．（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）依题意，所求人数为.（5分）‎ ‎（2）依题意，年龄在以内及以内的人数分别抽取6人和4人；‎ 故的可能取值为0,1,2,3；‎ ‎，，，；‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）如图所示，取中点，连接；‎ ‎，，又面，‎ 分别以为轴正方向建立空间直角 坐标系如图所示.（4分）‎ ‎，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，则由可得，‎ 不妨令，则解得，为平面的一个法向量；‎ ‎，则，‎ 面，，即，解得.（9分）‎ ‎（2）因为，，‎ 故所求线面角的正弦值为（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）依题意，解得，故椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）依题意，，显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，‎ 联立方程组，解得，；‎ 设，又直线的斜率，直线的斜率，‎ 因为三点共线，所以，解得，同理，可得，‎ 依题意，直线的斜率，直线的斜率，‎ 所以，故有，即，‎ 整理，得，解得或.（12分）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）依题意，，故；‎ 则，而直线的斜率为，故两条直线的斜率之积为；‎ 即曲线在处的切线与直线垂直.（4分）‎ ‎（2）要证，即证，即证；‎ 当时，令，‎ 求导可知在上单调递增，在上单调递减，令；‎ 当时，，所以；‎ 当时，函数单调递减，所以其最小值为，‎ 最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，‎ 其中，令，，令，‎ 则；因为，所以，单调递增；‎ 因为，，故存在，使得，‎ 所以在上单调递减，在单调递增，‎ 所以，‎ 所以时，；即，也即，‎ 综上所述，.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）依题意，曲线的参数方程为（为参数），‎ 直线，故极坐标方程为，即.（5分）‎ ‎（2）依题意，可设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入并化简，得，；‎ 设两点对应的参数分别为，则，‎ 所以，所以．（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1）依题意，，故或，‎ 即或，‎ 所以原不等式的解集为.（4分）‎ ‎（2）依题意，，‎ 当时，，解得，无解；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，即；‎ 综上所述，当时，不等式的解集为.（10分）‎