难点06 以函数、数列、三角形、不等式等实际问题（测试卷）-2017年高考数学二轮复习精品资料（新课标版） 12页

www.ks5u.com 难点六 难点突破强化训练 ‎（一）选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．7或8‎ ‎【答案】B ‎【解析】盈利总额为，由于对称轴为，所以当时，取最大值，选B.‎ ‎2．【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11 ‎ ‎【答案】B ‎3．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设所对直角边长为由题意得，所以，选D.‎ ‎4．【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：‎ 优惠券：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；‎ 优惠券：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；‎ 优惠券：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.‎ 若顾客想使用优惠券，并希望比使用优惠券或减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）‎ A．300元 B．400元 C．500元 D．600元 ‎【答案】B ‎【解析】设购买的商品的标价为，则，选B.‎ ‎5．【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎【答案】C ‎6．【2017届湖南长沙一中高三月考五】将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，‎ 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（ ）‎ A.5 B.8 ‎ C.8 D.10‎ ‎【答案】A ‎7．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C.‎ ‎8．【2017届四川双流中学高三必得分训练7】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）‎ A．平方米 B．平方米 C. 平方米 D．平方米 ‎【答案】C ‎【解析】如图,根据题意可得:,在中,可得: ，，,可得:矢,由,可得:弦,所以:弧田面积 (弦矢矢)平方米.所以C选项是正确的.‎ ‎ 9．【2017届河北武邑中学高三上学期调研五】某港口水的深度是时间（，单位：）的函数，记作.下面是某日水深的数据：‎ 经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为或以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水程度（船底离水面的距离）为，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（ ）小时（忽略进出港所需的时间）.‎ A．6 B．12 C.16 D．18‎ ‎【答案】C ‎10.【2017届广西柳州市高三10月模拟考试】如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数：，则中午12点时最接近的温度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 11．【2017届安徽蚌埠怀远县高三上学期摸底考】《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概率，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面，书的第6卷19题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量成等差数列），则其余两节的容量共多少升（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意设为等差数列，且，解得，所以.‎ ‎ 12．【2016年高考四川数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )‎ ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）‎ ‎（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 ‎【答案】B ‎【解析】设第年的研发投资资金为，，则，由题意，需 ‎，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.‎ ‎（二）填空题（4*5=20分）‎ ‎13. 【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设从塔的顶层到底层按公比为的等比数列为，首项为，公比 前项和为，可得，，所以可以得出塔的顶层和底层共有盏灯，故答案为. ‎ ‎14．【贵州省遵义市2017届高三上学期第一次联考（期中）】某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台点和看台的坡脚点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚点到点在水平线上的射影点的距离为，则旗杆的高的长是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得,所以,因此 ‎15．【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行， 30分钟后到达处，这时候接到从处发出的一求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是 海里．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得，从而得，由正弦定理可得，故答案为.‎ ‎16．【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，15】某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8000个工作时，漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为___________元．‎ ‎【答案】21000‎ ‎【解析】设一个星期生产把椅子和一张书桌，则可行域为,目标函数为，当且仅当时取等号 ‎ (三)解答题（4*10=40分）‎ ‎17．【河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中】“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点的时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，救援中心测得着陆点位于其正东方向．‎ ‎（1）求两救援中心间的距离；‎ ‎（2）救援中心与着陆点间的距离．‎ ‎【解析】（1）由题意知，则均为直角三角形，在中，，解得．在中，，解得，又万米． ‎ ‎（2），又，所以．在中，由正弦定理，．‎ 万米．‎ ‎18. 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为,的长度均大于米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.‎ ‎（1）若围墙总 长度为米，如何围可使得三角形地块的面积最大？ ‎ ‎（2）已知段围墙高米，段围墙高米，造价均为每平方米元. 若围围墙用了元,‎ 问如何围可使竹篱笆用料最省？‎ ‎【解析】设米，米.‎ ‎（1）则的面积.‎ 当且仅当,即时，取“”.即当米,米时, 可使三角形地块的面积最大.‎ ‎19. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少. ‎ ‎【解析】（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升）， 水底作业时的用氧量为（升）， 返回水面用时（单位时间），用氧量为（升）， ∴总用氧量.‎ ‎（2），令得， 在时，，函数单调递减，‎ 在时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时，时总用氧量最少， 当时，在上递增，∴此时时，总用氧量最少.‎ ‎20. 【天津六校2017届高三上学期期中联考】某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：‎ 资金 每台空调或冰箱所需资金（百元）‎ 月资金最多供应量（百元）‎ 空调 冰箱 进货成本 ‎30‎ ‎20‎ ‎300‎ 工人工资 ‎5‎ ‎10‎ ‎110‎ 每台利润 ‎6‎ ‎8‎ 问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？‎ ‎【解析】设每月调进空调和冰箱分别为台，总利润为 （百元）则由题意，得 ‎. 目标函数是 ，‎ ‎ ‎ 画图，得 的交点是 ，（百元） ‎ 答：空调和冰箱的月供应量为4台和9台，才能使商场获得的总利润最大，总利润的最大值为9600元 ‎ ‎ ‎