2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二下学期期中考试数学（理）试卷 9页

‎2018-2019学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高二下学期期中考试数学（理）试卷 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“”的否定是（　　）‎ A． B． C． D． ‎2.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.函数的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知正方体，若 ，则的值为（ ）‎ A．3 B．1‎ C．－1 D．－3 ‎ ‎5.是方程表示双曲线的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. =（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则此双曲线的实轴长为(　　) ‎ A. 2 B. 4 C. 18 D. 36‎ ‎8.函数y =(其中e为自然对数的底数)的大致图像是(　　)‎ A　　　　 　B　　　　　　 C　　　　　 D ‎9.在三棱锥中,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.对于函数,下列说法正确的有(　　)‎ ‎①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③. ‎ A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数的图像上有两对关于y轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13.曲线在点处的切线的倾斜角为 ．‎ ‎14.已知，，且，则点的坐标为 .‎ ‎15.已知为抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，（为坐标原点），则△的面积为 ．‎ ‎16.一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)已知函数 .‎ ‎（1）求函数的图象在点（2，-1）处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）在长方体中，，点是的中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，并且经过点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）该椭圆上是否存在一点，它到直线:的距离最小？最小距离是多少？‎ ‎20.(本小题满分12分)已知直三棱柱 中,.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.‎ ‎(1)若直线的方程为，求证:；‎ ‎(2)若,则直线是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)设函数，且为的极值点．‎ ‎(1)若为的极大值点，求的单调区间(用表示)；‎ ‎(2)若恰有两解，求实数的取值范围.‎ 宜昌市部分示范高中教学协作体2019年春期中联考 高二（理 ）数学参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D B B C C C B B C A A 二、填空题 ‎13． 14. 15. 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意 ...........1分 ‎ 所求切线的斜率 ...........3分 ‎ 所求切线方程为 即 ..........5分 ‎（2）由 解答 ............6分 ‎ 所以所求的面积为 ‎. .........10分 ‎18．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），‎ C（0，2，0），＝（0，1，1），‎ ‎＝（－1，－1，1），＝（－1，0，0）． ‎ ‎ ...............2分 因为， ‎ 所以． ...............4分 则DE⊥BE，DE⊥BC． 因为BE平面BCE，BC平面BCE，BE ∩BC＝B，‎ 所以DE⊥平面BCE． ...............6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .............8分 ‎ ...............11分 ‎ ...............12分 ‎19.解（1）由题意 设椭圆的方程为 ‎ 则 ..........3分 ‎ ............4分 ‎ .............5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ...........7分 ‎ ...........9分 ‎ ‎ ‎ ...............12分 ‎20.解（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ 设AA1=t（t>0）,‎ ‎ .........2分 ‎ .............4分 ‎ ...............5分 ‎(2)由（1）知 ‎ .....................6分 ‎ ....................8分 ‎ ....................10分 ‎ .................12分 ‎21.解:(1)证明:由得x2-6x+4=0,解得x=3± ........2分 不妨取A(3-,1-), B(3+,1+), ...........3分 ‎∴, ∴OA⊥OB. .............5分 ‎(2)显然直线的斜率不为0,设直线的方程为x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去x得y2-2ty-2m=0, ...................7分 ‎∴y1y2=-2m, x1x2==m2, ....................8分 由OA⊥OB,得=x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m=2, .............10分 直线的方程为x=ty+2,∴直线恒过定点,且定点坐标为(2,0) ..............12分 ‎22．解　f′(x)＝＋x＋b＝.‎ 因为f′(1)＝0，所以b＋c＋1＝0，f′(x)＝ 且c≠1 .........1分 ‎(1)因为x＝1为f(x)的极大值点，所以c＞1. .............2分 当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜c时，f′(x)＜0；‎ 当x＞c时，f′(x)＞0. ..............4分 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，＋∞)；‎ 单调递减区间为(1，c)． .... .......5分 ‎(2)①若c＜0，则f(x)在(0,1)上单调递减，‎ 在(1，＋∞)上单调递增．‎ 若f(x)＝0恰有两解，则f(1)＜0，‎ 即＋b＜0.所以－＜c＜0. ..............7分 ‎②若0＜c＜1，则f(x)极大值＝f(c)＝clnc＋c2＋bc，f(x)极小值＝f(1)＝＋b.‎ 因为b＝－1－c，所以f(x)极大值＝clnc＋＋c(－1－c)＝clnc－c－＜0.‎ f(x)极小值＝－－c＜0，从而f(x)＝0只有一解． .............9分 ‎③若c＞1，则f(x)极小值＝clnc＋＋c(－1－c)‎ ‎＝clnc－c－＜0.‎ f(x)极大值＝－－c＜0，则f(x)＝0只有一解． ..............11分 综上，使f(x)＝0恰有两解的c的取值范围为(－，0)． ...............12分