数学卷·2018届湖南省衡阳二十六中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版） 16页

‎2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设3，x，5成等差数列，则x为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B．a2＞b2 C．a+b≥2 D．a2+b2＞2ab ‎3．已知等比数列{an}满足a3•a5=100，则a4=（　　）‎ A．±10 B．﹣10 C．10 D．‎ ‎4．函数的最小值为（　　）‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎5．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎6．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎7．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（　　）‎ A．a2+b2 B．2ab C．a D．‎ ‎8．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎11．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=　　．‎ ‎14．（文）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=　　．‎ ‎15．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是　　．‎ ‎16．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．解关于x的不等式：‎ ‎①x2﹣5x﹣6＜0 ‎ ‎②≤0．‎ ‎18．在等差数列{an}中，已知a2=2，a4=4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}前5项的和S5．‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=2，A=30°‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求cosC的值．‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎21．已知不等式2x+1＞m（x2+1）．若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．‎ ‎22．已知f（x）=，且满足：a1=1，an+1=f（an）．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列．‎ ‎（2）{bn}的前n项和Sn=2n﹣1，若Tn=++…+，求Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设3，x，5成等差数列，则x为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由3，x，5成等差数列，可得2x=3+5，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵3，x，5成等差数列，‎ ‎∴2x=3+5，‎ 解得x=4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A． B．a2＞b2 C．a+b≥2 D．a2+b2＞2ab ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】取a=1，b=﹣2，则，a2＞b2，不成立，对于D：由a＞b，作差a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0，即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：取a=1，b=﹣2，则，a2＞b2，不成立，因此A，B，C不成立．‎ 对于D：∵a＞b，∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0，∴a2+b2＞2ab成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知等比数列{an}满足a3•a5=100，则a4=（　　）‎ A．±10 B．﹣10 C．10 D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质得a3•a5=，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}满足a3•a5=100，‎ ‎∴a3•a5==100，‎ 解得a4=±10．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．函数的最小值为（　　）‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意和基本不等式可得y=4x+≥2=20，验证等号成立即可．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，∴y=4x+≥2=20，‎ 当且仅当4x=即x=时取等号．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得： =22=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a8等于（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：a8=1+2×（8﹣1）=15．‎ 故选；C．‎ ‎　‎ ‎7．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（　　）‎ A．a2+b2 B．2ab C．a D．‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】根据不等式的性质和作差法即可比较大小 ‎【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1‎ ‎∴‎ ‎∴2b＞1‎ ‎∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a 又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0‎ ‎∴a2+b2＞2ab ‎∴最大的一个数为a2+b2‎ 故选A ‎　‎ ‎8．集合A={x|x2+2x＞0}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣2） C．R D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．‎ ‎【解答】解：A={x|x2+2x＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），B={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），‎ 则A∩B=（﹣3，﹣2）∪（0，1），‎ 故选：D ‎　‎ ‎9．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】先将a2﹣c2+b2=ab变形为，再结合余弦定理的公式可求出cosC的值，进而可求出C的值．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴‎ ‎∴C=‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设△‎ ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断．‎ ‎【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，‎ ‎∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；‎ 又sinA、sinB、sinC成等比数列，‎ ‎∴sin2B=sinA•sinC=，②‎ 由①②得：sinA•sin ‎=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）‎ ‎=sin2A+•‎ ‎=sin2A﹣cos2A+‎ ‎=sin（2A﹣30°）+‎ ‎=，‎ ‎∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°‎ ‎∴∠A=60°．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）‎ 过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，‎ 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）‎ ‎=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，‎ a===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（文）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=　7　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，代入可求．‎ ‎【解答】解：由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎==49，‎ ‎∴c=7．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎15．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是　6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．‎ ‎【解答】解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，‎ 故由图可得，‎ 当过点（3，0）时，有最大值，‎ 即z=2x+y的最大值是6+0=6；‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an=　2n﹣1　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n≥2时的另一递推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，与原递推式作差后验证首项得答案．‎ ‎【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，‎ 且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，‎ ‎①﹣②得：．‎ 当n=1时，上式成立．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．解关于x的不等式：‎ ‎①x2﹣5x﹣6＜0 ‎ ‎②≤0．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】①因式分解求出不等式的解集即可；②原不等式等价于（x﹣1）（x+2）≤0且x+2≠0，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：①原不等式可化为：（x﹣6）（x+1）＜0，‎ 则方程（x﹣6）（x+1）=0的两根为﹣1，6，‎ ‎∴不等式的解集为{x|﹣1＜x＜6}，‎ ‎‚②原不等式等价于（x﹣1）（x+2）≤0且x+2≠0，‎ 则方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1，﹣2，‎ ‎∴不等式的解集为{x|﹣2＜x≤1}．‎ ‎　‎ ‎18．在等差数列{an}中，已知a2=2，a4=4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}前5项的和S5．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）求出数列的公差，再利用等差数列的通项公式，可求求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）根据bn=，可得数列{bn}的通项，从而可求数列前5项的和S5．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是等差数列，且a2=2，a4=4，‎ ‎∴2d=a4﹣a2=2，∴d=1，‎ ‎∴an=a2+（n﹣2）d=n；‎ ‎（2）bn==2n，‎ ‎∴S5=2+22+23+24+25=62．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=2，A=30°‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求cosC的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解sinB的值．‎ ‎（2）由特殊角的三角函数值可求B的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值，即可得解cosC的值．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得：，由a=1，b=，A=45°，‎ 代入公式，即=，解得sinB=1．‎ ‎（2）由（1）知，B=90°，‎ 可得：C=180°﹣45°﹣90°=45°，‎ 可得：cosC=．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；‎ ‎（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得：‎ a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ 将上式代入已知，‎ 即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，‎ 即2sinAcosB+sin（B+C）=0，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，‎ ‎∵sinA≠0，∴，‎ ‎∵B为三角形的内角，∴；‎ ‎（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：‎ b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，‎ ‎∴ac=3，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．已知不等式2x+1＞m（x2+‎ ‎1）．若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】原不等式等价于mx2﹣2x+（m﹣1）＜0，对所有实数x恒成立，得，求出m的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：不等式2x+1＞m（x2+1）等价于mx2﹣2x+（m﹣1）＜0，‎ 若对所有实数x恒成立，当且仅当m＜0，‎ 且△=4﹣4m（m﹣1）＜0，‎ 化简得，‎ 解得m＜，‎ 所以m的取值范围是{m|m＜}．‎ ‎　‎ ‎22．已知f（x）=，且满足：a1=1，an+1=f（an）．‎ ‎（1）求证：{}是等差数列．‎ ‎（2）{bn}的前n项和Sn=2n﹣1，若Tn=++…+，求Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据an+1=f（an），整理得，进而可推断数列{}成等差数列；‎ ‎（2）根据等差数列的通项公式求得数列{an}的通项公式，然后利用bn=，从而求出，根据通项的特点可利用错位相消法进行求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴an+1=f（an）=，‎ 则，‎ ‎∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；‎ ‎（2）由（1）得， =3n﹣2，‎ ‎∵{bn}的前n项和为，‎ ‎∴当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，‎ 而b1=S1=1，也满足上式，则bn=2n﹣1，‎ ‎∴==（3n﹣2）2n﹣1，‎ ‎∴=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①‎ 则2Tn=21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）2n，②‎ ‎①﹣②得：﹣Tn=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，‎ ‎∴Tn=（3n﹣5）2n+5．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日