四川省成都市树德中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 23页

www.ks5u.com 树德中学高2018级第二期期末考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，且，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质依次对选项进行判断。‎ ‎【详解】对于A，当，且异号时，，故A不正确；‎ 对于B,当，且都为负数时，，故B不正确；‎ 对于C,取，则，故不正确；‎ 对于D，由于，，则，所以，即，故D正确；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，在解决此类选择题时，可以用特殊值法，依次对选项进行排除。‎ ‎2.过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线与垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。‎ ‎【详解】原点坐标为，根据题意可知当直线与垂直时距离最大，‎ 由两点斜率公式可得：‎ 所以所求直线的斜率为： ‎ 故所求直线的方程为：，化简可得：‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。‎ ‎3.若直线的倾斜角为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值。‎ ‎【详解】由于直线的倾斜角为，所以，‎ 则 故答案选B ‎【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键。‎ ‎4.设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）‎ A. 3 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值．‎ ‎【详解】作出不等式组对应平面区域，如阴影部分所示；‎ 平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大．‎ ‎，解得，即，所以的最大值为1．‎ 故答案为选C ‎【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。‎ ‎【详解】设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为 ‎，故选A。‎ ‎【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。‎ ‎6.已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且成等差数列，则（　　）‎ A. B. 6 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，且不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．‎ ‎【详解】数列是公比不为l的等比数列，满足，即 且成等差数列，得，即，‎ 解得，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案。‎ ‎【详解】如图所示：‎ 由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，‎ 由于，，所以，故B正确，‎ 由于，，在外，所以，故C正确；‎ 对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键。‎ ‎8.在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案。‎ ‎【详解】由于，有正弦定理可得： ，即 由于在中，，，所以，‎ 联立 ，解得：，‎ 由于为锐角，且，所以 所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题。‎ ‎9.已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出 并集。‎ ‎【详解】当即时，，则等价于，即，解得：，‎ 当即时，，则等价于，即，所以，‎ 综述所述，原不等式的解集为 故答案选A ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知点，点，直线:.如果对任意的点到直线的距离均为定值，则点关于直线的对称点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式表示出，由对任意的点到直线的距离均为定值，从而可得，求得直线的方程，再利用点关于直线对称的性质即可得到对称点的坐标。‎ ‎【详解】由点到直线的距离公式可得：点到直线的距离 ‎ 由于对任意的点到直线的距离均为定值，所以，即，‎ 所以直线的方程为：‎ 设点关于直线的对称点的坐标为 故 ，解得： ，‎ 所以设点关于直线的对称点的坐标为 故答案选B ‎【点睛】本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直线垂直斜率的关系，中点公式等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题。‎ ‎11.若正项数列的前项和为，满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，化简，即可得到，‎ 令，所以，,令，所以原式为数列的前1000项和，求和即可得到答案。‎ ‎【详解】当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，‎ 由 ，可得①，所以②‎ ‎②—①可得，化简可得 由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，‎ 令，所以，‎ 令 所以原式 ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式与前项和的关系，以及利用裂项求数列的和，解题的关键是利用，求出数列的通项公式，有一定的综合性。‎ ‎12.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体中 三棱锥即为所求的三棱锥 其中，，‎ ‎，则，‎ 故可求得三棱锥各面面积分别为：‎ ‎，，，‎ 故表面积为 三棱锥体积 设内切球半径为，则 故三棱锥内切球体积 故选 二、填空题：请将答案直接填在答题卡的相应横线上.‎ ‎13.在平面直角坐标系中，点到直线的距离为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式即可得到答案。‎ ‎【详解】由点到直线的距离公式可知点到直线的距离 ‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。‎ ‎14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用通项公式，依次求出，从而得到，即可得到答案。‎ ‎【详解】由于表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且 所以，，‎ 故，所以解下4个环所需的最少移动次数为7‎ 故答案7.‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题。‎ ‎15.如图，在正方体中，点是线段上的动点，则直线与平面所成的最大角的余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作的中心，可知平面，所以直线与平面所成角为，当在中点时，最大，求出即可。‎ ‎【详解】设正方体的边长为1，‎ 连接，由于为正方体，所以为正四面体，棱长为，为等边三角形，作的中心，连接，，‎ 由于为正四面体，为的中心，所以平面，‎ 所以为直线与平面所成角，则当在中点时，最大，‎ 当在中点时， 由于为正四面体，棱长为，等边三角形，为的中心，所以，，所以直线与平面所成的最大角的余弦值为 故直线与平面所成的最大角的余弦值为 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查线面所成角，解题的关键是确定当在中点时，最大，考查学生的空间想象能力以及计算能力。‎ ‎16.已知函数，的最大值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出 的最大值，即可得到的最大值 ‎【详解】由题可得：‎ 由于，，所以，‎ 由基本不等式可得：‎ 由于，所以 ‎ 所以，即的最大值为 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知直线与平行.‎ ‎（1）求实数的值：‎ ‎（2）设直线过点，它被直线，所截的线段的中点在直线上，求的方程.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两直线平行的条件进行计算，需注意重合的情况。‎ ‎（2）求出到平行线与距离相等的直线方程为，将其与直线联立，得到直线被直线，所截的线段的中点坐标，进而求出直线的斜率，可得直线 的方程。‎ ‎【详解】（1）∵直线与平行，∴且，‎ 即且，解得.‎ ‎（2）∵，直线：，：‎ 故可设到平行线与距离相等的直线方程为，‎ 则，解得：，‎ 所以到平行线与距离相等的直线方程为，即直线被直线，所截的线段的中点在上，‎ 联立，解得，∴过点 ‎∴，的方程为：，化简得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系以及直线斜率、直线的一般方程的求解等知识，解题的关键是熟练掌握两直线平行的条件，直线的斜率公式，平行线间的距离公式，属于中档题。‎ ‎18.如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当时，求多面体的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，，从而可得平面，由此证明平面平面；‎ ‎（2）过作交于，所以为四棱锥的高，多面体的体积，利用体积公式即可得到答案。‎ ‎【详解】（1）证明：∵平面平面，‎ 矩形，，平面平面，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 又∵为圆的直径，∴，又，∴平面，‎ ‎∵平面，平面平面；‎ ‎（2）过作交于，‎ 由面面垂直性质可得平面，即为四棱锥的高，‎ 由是边长为1的等边三角形，可得，‎ 又正方形的面积为4，∴.‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求多面体的体积，要求熟练掌握相应判定定理以及椎体、柱体的体积公式，属于中档题。‎ ‎19.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.‎ ‎（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）当投入肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.‎ 试题解析：解：（1） （）.‎ ‎（2） ‎ ‎ .‎ 当且仅当时，即时取等号.‎ 故.‎ 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.‎ ‎20.在中，角，，所对的边为，，，向量与向量共线.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若为边上的一点，且，若为的角平分线，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)32；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量坐标以及向量共线，结合正弦定理，化简可得 ‎（1）由，，代入原式化简，即可得到答案；‎ ‎（2）在和在中，利用正弦定理，化简可得，，代入原式，化简即可得到，利用三角形的内角范围结合三角函数的值域，即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】向量与向量共线 所以，由正弦定理得：.即，‎ 由于在中，，则，‎ 所以，由于 ，则.‎ ‎（1），‎ ‎.‎ ‎（2）因为，为的角平分线，所以，‎ 在中，，因为，所以，‎ 所以 在中，，因为，所以，所以，‎ 则，‎ 因为，所以，所以，‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线、正弦定理、二倍角公式、三角函数的值域等知识，考查学生转化与求解能力，考查学生基本的计算能力，有一定综合性。‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，且平面平面.为的中点，为的中点，过点，，的平面交于.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先证明平面，由平面平面，可说明，由此可得四边形为平行四边形，即可证明平面；‎ ‎（2）延长交于点，过点作交直线于点，则即为二面角的平面角，求出的余弦值即可得到答案。‎ ‎【详解】（1）∵为矩形 ‎∴，平面，平面 ‎∴平面.‎ 又因为平面平面，‎ ‎∴.‎ 为中点，为中点，‎ 所以平行且等于，即四边形为平行四边形 所以，平面，平面 所以平面 ‎（2）不妨设，.‎ 因为为中点，为等边三角形，所以，，且 ‎ ‎∵，所以有平面，故 因为平面平面 ‎∴平面，又，‎ ‎∴平面，则 延长交于点，过点作交直线于点，‎ 由于平行且等于，所以为中点，，‎ 由于，，，所以平面，则，‎ 所以即为二面角的平面角 在中，，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，以及二面角的余弦值的求法，考查学生空间想象能力，计算能力，由一定综合性。‎ ‎22.已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2) ；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式。‎ ‎（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；‎ ‎（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围 详解】（1）由得，所以，‎ 由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，‎ 得，‎ 即，‎ 即，即，‎ 因为，所以，所以.‎ ‎（2）由于，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得，，‎ 所以 ‎（3）由知，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得或.‎ 即实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性。‎ ‎ ‎