2018届二轮复习（文科）　基本初等函数、函数与方程及函数的应用课件（全国通用） 33页

第 2 讲　基本初等函数、函数与方程及函数的应用 高考定位　 1. 掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质； 2. 以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 3. 能利用函数解决简单的实际问题 . 真 题 感 悟 1. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 ( 　　 ) A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z 答案　 D 2. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ a (e x － 1 ＋ e － x ＋ 1 ) 有唯一零点，则 a ＝ ( 　　 ) 答案　 C 3. (2017· 江苏卷 ) 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为 4 x 万元 . 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ________. 答案　 30 解析　 f ( x ) ＝ 2sin x cos x － x 2 ＝ sin 2 x － x 2 ，函数 f ( x ) 的零点个数可转化为函数 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 的图象如图所示： 由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f ( x ) 的零点个数为 2. 答案　 2 考 点 整 合 1. 指数与对数式的七个运算公式 2. 指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，当 a >1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0< a <1 时，两函数在定义域内都为减函数 . 3. 函数的零点问题 (1) 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . (2) 确定函数零点的常用方法： ① 直接解方程法； ② 利用零点存在性定理； ③ 数形结合，利用两个函数图象的交点求解 . 4. 应用函数模型解决实际问题的一般程序 热点一　基本初等函数的图象与性质 【例 1 】 (1)(2017· 郑州一模 ) 若函数 y ＝ a | x | ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的值域为 { y | y ≥ 1} ，则函数 y ＝ log a | x | 的图象大致是 ( 　　 ) (2) (2017· 山东卷 ) 若函数 e x f ( x )(e ＝ 2.718 28 … 是自然对数的底数 ) 在 f ( x ) 的定义域上单调递增，则称函数 f ( x ) 具有 M 性质 . 下列函数中具有 M 性质的是 ( 　　 ) A. f ( x ) ＝ 2 － x B. f ( x ) ＝ x 2 C. f ( x ) ＝ 3 － x D. f ( x ) ＝ cos x 解析　 (1) 由于 y ＝ a | x | 的值域为 { y | y ≥ 1} ， ∴ a >1 ，则 y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， 又函数 y ＝ log a | x | 的图象关于 y 轴对称 . 因此 y ＝ log a | x | 的图象应大致为选项 B. (2) 若 f ( x ) 具有性质 M ，则 [e x f ( x )]′ ＝ e x [ f ( x ) ＋ f ′( x )]>0 在 f ( x ) 的定义域上恒成立，即 f ( x ) ＋ f ′( x )>0 在 f ( x ) 的定义域上恒成立 . 对于选项 A ， f ( x ) ＋ f ′( x ) ＝ 2 － x － 2 － x ln 2 ＝ 2 － x (1 － ln 2)>0 ，符合题意 . 经验证，选项 B ， C ， D 均不符合题意 . 答案　 (1)B 　 (2)A 探究提高　 1. 指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围 . 2. 研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件 . 如求 f ( x ) ＝ ln( x 2 － 3 x ＋ 2) 的单调区间，只考虑 t ＝ x 2 － 3 x ＋ 2 与函数 y ＝ ln t 的单调性，忽视 t >0 的限制条件 . 【训练 1 】 (1) (2017· 长沙一模 ) 函数 y ＝ ln | x | － x 2 的图象大致为 ( 　　 ) 热点二　函数的零点与方程 命题角度 1 　确定函数零点个数或其存在范围 答案　 (1)C 　 (2)2 探究提高 　 1. 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的类型有： (1) 函数零点值大致存在区间的确定； (2) 零点个数的确定； (3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 2. 判断函数零点个数的主要方法： (1) 解方程 f ( x ) ＝ 0 ，直接求零点； (2) 利用零点存在定理； (3) 数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题 . 答案　 B 探究提高　 1. 本题求解的关键是利用函数的性质，转化为一元二次方程 x 2 － x － k ＝ 0 在区间 ( － 1 ， 1) 内有两个零点，进而利用数形结合思想转化为不等式组求解 . 2. 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 解析　 当 x >0 时，由 f ( x ) ＝ ln x ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 因为函数 f ( x ) 有两个不同的零点， 则当 x ≤ 0 时，函数 f ( x ) ＝ 2 x － a 有一个零点， 令 f ( x ) ＝ 0 得 a ＝ 2 x ， 因为 0<2 x ≤ 2 0 ＝ 1 ，所以 0< a ≤ 1 ， 所以实数 a 的取值范围是 (0 ， 1]. 答案　 (0 ， 1] 答案　 B 探究提高　 解决函数实际应用题的两个关键点 (1) 认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题 . (2) 要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解 . 【 训练 3 】　 (2017· 成都调研 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：小时 ) 与储藏温度 x ( 单位： ℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ). 若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时 . 答案　 24 1. 指数函数与对数函数的图象和性质受底数 a ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约 . 2.(1) 忽略概念致误：函数的零点不是一个 “ 点 ” ，而是函数图象与 x 轴交点的横坐标 . (2) 零点存在性定理注意两点： ① 满足条件的零点可能不唯一； ② 不满足条件时，也可能有零点 . 3. 利用函数的零点求参数范围的主要方法： (1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 . (2) 分离参数后转化为求函数的值域 ( 最值 ) 问题求解 . (3) 转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 . 4. 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：