【数学】山东省济宁市2020届高三6月高考模拟考试（三模）试题（解析版） 20页

山东省济宁市 2020 届高三 6 月高考模拟考试（三模） 数学试题 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共，40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求. 1.已知集合    2 5 , 3, 2,1,2,4A x x B     ，则 A B  ( ) A.  2 2 ， B.  2 2 ，1， C.  21,3,2 ， D. 5, 5   【答案】B 【解析】由题意 { | 5 5}A x x    ，∴ { 2,1,2}A B   ． 故选：B． 2.i 为虚数单位，复数 2 i 1 i1 2iz    ，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 的虚部为( ) A. i B. 2i C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】由题得 2 i (2 i)(1 2i) 5i1 i 1 i 1 i 1 2i1 2i (1 2i)(1 2i) 5z                ， 所以 1 2iz   . 所以 z 的虚部为 2 . 故选：C. 3.设 a  、b  是非零向量，“ 0a b   ”是“ a b  ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设非零向量 a  、b  的夹角为 ，若 0a b   ，则 cos 0  ，又 0    ， 2   ， 所以， a b  . 因此，“ 0a b   ”是“ a b  ”的充要条件. 故选：C. 4.在   61 32x xx      的展开式中，常数项为( ) A. 15 2  B. 15 2 C. 5 2  D. 5 2 【答案】A 【解析】原式 6 61 1( ) 3( )2 2x x xx x     ①， 而 61( )2x x  的通项为： 6 2 6 1( ) C2 k k kx  ，当 6 2 1k   时， 7 2k  Z 故①式中的前一项不会 出常数项， 当 6 2 0k  ，即 3k  时，可得①式中的后一项的常数项乘以 3 即为所求， 此时原式常数项为 3 3 6 1 153( ) C2 2    ． 故选：A． 5.函数   e 1cos sin e 1 x xf x x       的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】   e 1 1 e e 1cos( ) sin cos sin cos sin ( )e 1 e 1 e 1 x x x x x xf x x x x f x                                 ， 所以  f x 为奇函数，由此排除 AB 选项， 1801= 57.3 ， cos1 0  ，又 e 11 0e 1   ， e 1sin 0e 1       e 1(1) cos1 sin 0e 1f       ，故排除 D 选项. 故选：C. 6.设 0.3 2 1 1 1log ,4 3 2a b       则有( ) A a b ab  B. a b ab  C. a b ab  D. a b ab  【答案】A 【解析】∵ 2 2 1 1 1log log 34 3 4a    ，又 2 3 log 3 22   ，∴ 2 1 1 3log 32 4 8      ， 即 1 3 2 8a    ， 0.3 11 1 1( ) ( )2 2 2b    ， ∴ 0a b  ， 0ab  ，∴ a b ab  ． 故选：A． 7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得 开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积 V，求这个球的直径 d 的 近似公式，即 3 16 9d V .随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的 近似公式.若取 3.14  ，试判断下列近似公式中最精确的一个是( ) A. 3 2d V B. 3 16 9d V C. 3 20 11d V D. 3 21 11d V 【答案】D 【解析】由球体的体积公式得 3 3 34 4 3 3 2 6 d dV R          ， 3 6Vd   ，6 1.9108 ， 16 1.77789  ， 21 1.909111  ， 20 1.818211  ， 21 11 与 6  最为接近. 故选：D. 8.已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个交点分别为 A，B， 且满足 2 ,AF FB E  为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为( ) A. 11 4 B. 9 4 C. 5 2 D. 5 4 【答案】B 【解析】由题得抛物线 2 4y x 的焦点坐标为 (1,0) ，准线方程为 1x   ， 设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 2 ,AF FB   | | 2 | |AF BF  ， 1 21 2( 1)x x    ， 1 22 1x x   ， 2 2 1 2 1 2| | 2 | |, y 4y y y   ， 1 24x x  ， 1 2x  ， 2 1 2x  . 线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为 1 2 1 9[( 1) ( 1)]2 4x x    . 故选：B. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是( ) A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并 不科学 C. 回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D. 在回归直线方程 0.1 10ˆy x  中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量多增加 0.1 个单位 【答案】CD 【解析】对 A 项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归 效果越好，故 A 错误； 对 B 项，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报 不科学，故 B 错误； 对 C 项，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故 C 正确； 对 D 项，在回归直线方程 0.1 10ˆy x  中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 ˆy 增 加 0.1 个单位，故 D 正确； 故选：CD. 10.线段 AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，AB//EF，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在 平面垂直，且 2, 1AB AD EF   .则( ) A. DF//平面 BCE B. 异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30° C. △ EFC 为直角三角形 D. : 1:4C BEF F ABCDV V   【答案】BD 【解析】对 A 项，因为 //AB EF ， //AB CD ，所以四边形CDEF 确定一个平面 由于 ,DC EF 长度不相等，则 ,DF CE 不平行，即 DF 与平面 BCE 有公共点，故 A 错误； 对 B 项，连接 ,OF OE ， OE 交 BF 于点G 因为 // ,OB EF OB EF ， 1OB OF  ，所以四边形 OBEF 为菱形 则 1BE OF  ，所以 OBE△ 为等边三角形 由于点G 为OE 的中点，则 1 302OBG OBE     因为 //AB CD ，所以异面直线 BF 与 DC 所成的角为 30ABF OBG     ，故 B 正确； 对 C 项，由于四边形OBEF 为菱形，则 2 2 12 2 1 32BF BG        由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知， ,BC BE BC BF  所以  22 2 21 3 2, 1 1 2CF CE      又 2 2 23EF CE CF   ，所以 EFC 不是直角三角形，故 C 错误； 对 D 项，因为 3BF  ， 1BE  ， 1EF  ，所以 2 21 3 33 12 2 4BEFS          由面面垂直的性质可知， BC ⊥ 平面 BEF ，所以 1 3 313 4 12C BEFV      过点 F 作 AB 的垂线，垂足为 H ，则 1 3 2 2FH BF  根据面面垂直的性质可知 HF  平面 ABCD 则 1 3 32 13 2 3F ABCDV       即 : 1:4C BEF F ABCDV V   ，故 D 正确； 故选：BD. 11.已知函数      sin cos cos sinf x x x  ，其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数，下列 关于  f x 结论正确的是( ) A. cos12f      B.  f x 的一个周期是 2 C.  f x 在 0, 上单调递减 D.  f x 的最大值大于 2 【答案】ABD 【解析】由      sin cos cos sinf x x x  ， 对于 A， sin 0 cos1 cos12f        ，故 A 正确； 对于 B，因为      2 sin cos 2 cos sin 2f x x x                   sin cos cos sinx x f x   ，所以  f x 的一个周期是 2 ，故 B 正确； 对于 C，当 0, 2x      时， 0 sin 1x  ， 0 cos 1x  ，所以    sin cos 0x x  ， 所以      sin cos cos sin sin0 cos0 1f x x x     ，故 C 错误； 对于 D，      0 sin cos0 cos sin0f   2sin1 cos0 sin1 1 1 22        ，故 D 正确； 故选：ABD. 12.已知直线 2y x   分别与函数 e xy  和 lny x 的图象交于点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则下列结论正确的是( ) A. 1 2 2x x  B. 1 2e e 2ex x  C. 1 2 2 1ln ln 0x x x x  D. 1 2 2 ex x  【答案】ABC 【解析】函数 e xy  与 lny x 互为反函数， 则 e xy  与 lny x 的图象关于 y x 对称， 将 2y x   与 y x 联立，则 1, 1x y  ， 由直线 2y x   分别与函数 e xy  和 lny x 的图象交于点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 作出函数图像： 则    1 1 2 2, , ,A x y B x y 的中点坐标为 1,1 ， 对于 A，由 1 2 12 x x  ，解得 1 2 2x x  ，故 A 正确； 对于 B， 1 2 1 2 1 2 22 2e e e e e e e2 2x x x x x x     ， 因为 1 2x x ，即等号不成立，所以 1 2e e 2ex x  ，故 B 正确； 对于 C，将 2y x   与 e xy  联立可得 2 exx   ，即 e 2 0x x   ， 设   e 2xf x x   ，且函数为单调递增函数，  0 1 0 2 1 0f       ， 1 1 2 2e1 1 32 02 2 2ef           ， 故函数的零点在 10, 2      上，即 1 10 2x  ，由 1 2 2x x  ，则 21 2x  ， 1 2 2 1 1 2 2 1 1ln ln ln lnx x x x x x x x     1 2 2 2 1 2 2ln ln ln 0x x x x x x x     ，故 C 正确； 对于 D，由 1 2 1 22x x x x  ，解得 1 2 1x x  ， 由于 1 2x x ，则 1 2 1x x  ，故 D 错误； 故选：ABC. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知  tan 2   ，则 sin cos sin cos       __________. 【答案】 1 3 【解析】因为  tan 2   ， 所以 tan 2 =- 所以 sin cos tan 1 2 1 1 sin cos tan 1 2 1 3                故答案为： 1 3 . 14.在平行四边形 ABCD 中， 6, 3AD AB  ， 160 , 2DAB DE EC     ， 1 2BF FC  ，若 2FG GE  ，则 AG BD   __________. 【答案】21 【解析】如图所示： 因为 1 2DE EC  ， 1 2BF FC  ，所以 2 2 2 2 3 3 3 3             FE FC CE BC DC AD AB ， 又 2FG GE  ， 1 2 3 3             AG AB BF FG AB AD FE 1 2 5 7 3 2 2 3 9 93 3               AD AB ADAB AD AB ，又 BD AD AB    ， 所以   225 7 7 5 2 9 9 9 9 9                      AG BD AB AD AB AAD AD ADB AB ， 6, 3AD AB  ， 60DAB   ，所以 60 9cos      AB AAD ADB ， 代入数据可得 7 5 236 9 9 219 9 9        AG . 故答案为：21. 15.5 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是__________.(用数字作 答)；5 人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答) 【答案】 (1). 72 (2). 3 10 【解析】（1）先排除甲乙两人外的 3 人共有 3 3A 种排法，再将甲乙两人从 4 个空中选 2 个插 入有 2 4A 种排法，所以甲乙两人不相邻的不同的排法共有 3 2 3 4 6 1 2A 7A 2   种； （2）甲乙两人之间恰好有一人的排法共有 2 1 3 2 3 3A C A 种，5 人并排站成一排共有 5 5A 种排法， 所以甲乙两人之间恰好有一人的概率为 2 1 3 2 3 3 5 5 A C A 3 A 10  . 故答案为：（1）72；（2） 3 10 16.设双曲线   2 2 2 2 1 0x yC a ba b     ： 的左、右焦点分别为 1 2 1 2, , 2F F F F c ，过 2F 作 x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为 A，点 Q 坐标为 3, 2 ac     且满足 2 2F Q F A ，若 在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 1 1 2 7 6PF PQ F F  成立，则双曲线的离心率的取值范 围是___________. 【答案】 3 10,2 2       【解析】将 x c 代入双曲线的方程，得 2 2 2 1c by b a a      ，所以 2 , bA c a      ， 又 2 2F Q F A ，得 23 2 a b a  ，所以 2 3 2 b a      ， 所以 2 3 101 1 2 2 c be a a          ； 因为 1 2 22 2PF PQ a PF PQ a F Q      ，又在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 1 1 2 7 6PF PQ F F  成立，所以有 2 1 2 72 6a F Q F F  ， 即 3 72 22 6a a c   ，解得： 3 2e  ， 又 1e  ，所以 3 10 2 2e  . 故答案为： 3 10,2 2       四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，在四边形 ABCD 中， AB AD ，_________，DC=2，在下面给出的三个条件中任 选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分 别解答，则按第一个解答记分)① 23 4 ,sin 3AB BC ACB   ；② tan 36BAC       ； ③ 2 cos 2 3BC ACB AC AB   . （1）求 DAC 的大小； （2）求 △ ADC 面积的最大值. 解：（1）若选①在 ABC ，由正弦定理可得： sin sin AB BC ACB BAC   又 23 4 ,sin 3AB BC ACB   ，可得： 1sin ,2 6BAC BAC     又 AB AD ， 2BAD   ， 3DAC   （2）在 ACD 中， =2DC ，由余弦定理可得： 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD       即 4AC AD  1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC       △ 当且仅当 AC AD 时取“=” 若选择② （1）由 tan 36BAC       可得： 6BAC   又 AB AD ， ,2 3BAD DAC     （2）在 ACD 中， 2DC  ，由余弦定理可得： 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD       即 4AC AD  1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC       △ 当且仅当 AC AD 时取“=”. 若选③（1） 2 cos 2 3BC ACB AC AB   ，由正弦定理得： 2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC ACB       2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ACB BAC ACB         2sin cos 2sin cos 2cos sin 3sinBAC ACB ACB BAC ACB BAC ACB           即 2sin cos 3sinACB BAC ACB    sin 0ACB  3cos 2BAC    0,BAC   6BAC   又 AB AD ，所以 ,2 3BAD DAC     ； （2）在 ACD 中， 2DC  ，由余弦定理可得： 2 2 24DC AC AD AC AD AC AD       即 4AC AD  1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC       △ 当且仅当 AC AD 时取“=” 18.如图 1，四边形 ABCD 为矩形，BC=2AB，E 为 AD 的中点，将ABE、DCE 分别沿 BE、 CE 折起得图 2，使得平面 ABE  平面 BCE，平面 DCE  平面 BCE. （1）求证：平面 ABE  平面 DCE； （2）若 F 为线段 BC 的中点，求直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值. （1）证明：在图 1 中，BC=2AB，且 E 为 AB 的中点， ,AE AB AEB   45 ，同理 45DEC   . 所以 90CEB BE CE    ， 又平面 ABE  平面 BCE，平面 ABE  平面 BCE BE ， 所以CE  平面 ABE，又CE  平面 DCE ， 所以平面 ABE  平面 DCE. （2）解：如图，以点 E 为坐标原点，EB,EC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立空间直角坐 标系，设 1AB  ， 则       2 2 2 2 2 20,0,0 , 2,0,0 , 0, 2,0 , ,0, , 0, ,02 2 2 2 2 2E B C A D F                       ， ， ， . 向量 2 2 2 2,0, , 0, ,2 2 2 2EA ED                 ，设平面 ADE 的法向量为  , ,n x y z 由 0 0 n EA n ED          ，得 0 0 x z y z      ，令 1z  ， 得平面 ADE 的一个法向量为  1, 1,1n    ， 又 2 20, ,2 2FA        ， 设直线 FA 与平面 ADE 所成角为 ， 则 | | 2 6sin 31|| | 3| FA FA n n         所以直线 FA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 6 3 . 19.已知数列 na 的各项均为正数，其前 n项和  1 ,2 n n n a aS n   N . （1）求数列 na 的通项公式 an； （2）设 2 2log 1 n n n ab a   ；若称使数列 nb 的前 n项和为整数的正整数 n为“优化数”，试求 区间(0，2020)内所有“优化数”的和 S. 解：（1）由数列 na 的前 n和  1 2 n n n a aS  知： 当 1n  时，  1 1 1 1 1 1= ,2 a aS a S   ，  1 1 1 0a a   ，又 1 0a  ，所以 1 1a  ， 当 1n  时，    1 1 1 1 1 2 2 n n n n n n n a a a aa S S         ，整理得：   1 1 1 0n n n na a a a     ， 因为 1 0n na a   ，所以有 1 1n na a   ，所以数列 na 是首项 1 1a  ，公差 1d  的等差数 列， 数列 na 的通项公式为  1 1na a n d n    ； （2）由 na n 知： 2 2 +2 2log log1 1 n n n a nb a n    ， 数列 nb 的前 n项和为 1 2 3 2 2 2 2 3 4 5 2log log log log2 3 4 1n nb b b b n          2 2 3 4 5 2log log 2 12 3 4 1 n nn           ， 令  1 2 3 nb b b b k k      Z ，则有   1 2log 2 1 , 2 2kn k n      ， 由  0,2020 ,n k  Z 知 10k  且 k  N ， 所以区间  0,2020 内所有“优化数”的和为        2 3 4 102 2 2 2 2 2 2 2S            2 9 2 3 4 10 112 1 2 2 2 2 2 18 18 2 22 20261 2            . 20.过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口， 东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到 2020 年底全国 830 个贫困县都将脱贫摘帽， 最后 4335 万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去 30 年脱贫人口总和.2020 年 是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫” 政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于 2020 年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为 1000 元，根据前期各方面调查发现， 该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表： 该经济农作物 亩产量(kg) 900 1200 该经济农作物市 场价格(元/kg) 15 20 概率 0.5 0.5 概率 0.4 0.6 （1）设 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； （2）若该农户从 2020 年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不 变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率； （3）2020 年全国脱贫标准约为人均纯收入 4000 元.假设该农户是一个四口之家，且该农户 在 2020 年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测 该农户在 2020 年底可以脱贫?并说明理由. 解：（1）由题意知： 1200 20 1000 23000,1200 15 1000 17000      ， 900 20 1000 17000,900 15 1000 12500      ， 所以 X 的所有可能取值为：23000，17000，12500 设 A 表示事件“作物产量为 900kg”，则   0.5P A  ； B 表示事件“作物市场价格为 15 元/kg”，则   0.4P B  ． 则：       23000 1 0.5 1 0.4 0.3P X P A B                17000 1 0.5 0.4 0.5 1 0.4 0.5P X P A B P A B               12500 0.5 0.4 0.2P X P A B      ， 所以 X 的分布列为： X 23000 17000 12500 P 0.3 0.5 0.2 （2）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16000 元”， 则        16000 23000 17000 0.3 0.5 0.8P C P X P X P X         ， 设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16000 元， 则有：  ~ 3,0.8Y B 所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率为   3 3 2 2 3 32 C 0.8 C 0.8 0.2 0.896P P Y        ． （3）由（1）知，2020 年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为   23000 0.3 17000 0.5 12500 0.2 17900E X        （元） 17900 40004  凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准， 所以，能预测该农户在 2020 年底可以脱贫． 21.已知点 F 为椭圆 2 2 19 8 x y+ = 的右焦点，点 A 为椭圆的右顶点. （1）求过点 F、A 且和直线 9x  相切的圆 C 的方程； （2）过点 F 任作一条不与 x 轴重合的直线l ，直线l 与椭圆交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与直线 9x  相交于点 M，N.试证明：以线段 MN 为直径的圆恒过点 F. 解：（1）由已知得： 3, 2 2, 1a b c      3,0 , 1,0A F 圆 C 的圆心一定在线段 AF 中垂线 1 3 22x += = 上 由圆 C 与直线 9x  相切，得：圆 C 的半径 9 2 7r    设圆 C 的圆心坐标为  2,C m ，则有：    2 23 2 0 7, 4 3r AC m m        ， 即圆心  2, 4 3C  圆 C 的方程为：   222 4 3 49x y    （2）证明：当直线l 斜率不存在时，其方程为 1x  , 联立 2 2 1 19 8 x x y    ,解得 1 8 3 x y    ，又因为 (3,0)A . 所以直线 PM QA、 为 4 ( 3)3y x   . 可求得 M,N 两点坐标分别为    9,8 , 9, 8M N  或    9, 8 , 9,8M N ，又  1 0F ， ,FM FN 的斜率之积为： 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k         FM FN  . 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：      1 1 2 21 , , , ,y k x P x y Q x y  联立方程组：   2 2 1 19 8 y k x x y      ， 消去 y 整理得： 2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 18 9 72,8 9 8 9 k kx x x xk k           2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x          又设    9, , 9,M NM y N y 由 P,A,M 共线得： 1 1 1 1 0 0 6,3 9 3 3 M M y y yyx x      ， 由 Q,A,N 共线得： 2 2 2 2 0 0 6,3 9 3 3 N N y y yyx x      ， 所以 FM,FN 的斜率之积为：    1 2 1 2 0 0 9 9 1 9 1 64 16 3 3 M N M N FM FN y y y y y yk k x x              2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 2 1 2 1 2 2 2 9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9 k kkk x x x x k k k x x x x kk k k k                                  FM FN  综上可知：恒有 FM FN 以线段 MN 为直径的圆恒过点 F. 22.已知函数   lnf x x a x  . （1）若曲线    ,y f x b a b R   在 1x  处的切线方程为 3 0x y   ，求 ,a b 的值； （2）求函数      1ag x f x a Rx    的极值点； （3）设      1 ln 0x xh x f x ae a aa a      ，若当 x a 时，不等式   0h x  恒成立， 求 a 的最小值. 解：（1）由   lnf x x a x  得 lny x a x b     1 ay f x x      由已知可得：     1 1{ 1 2 f f b      即 1 1{1 2 a b      2, 1a b   （2）     1 1lna ag x f x x a xx x              2 2 1 111 0x x aa ag x xx x x            所以：当 1 0a   ，即 1a   时，    0,g x g x  在  0  ， 上为增函数，无极值点 当 1 0a   ，即 1a   时， 则有：当 0 1x a   时，   0g x  ，当 1x a  时，   0g x  ，  g x 在 0 1，a  为减函数，在 1,a   上为增函数， 所以， 1x a  是  g x 极小值点，无极大值点； 综上可知：当 1a   时，函数  g x 无极值点， 当 1a   时，函数  g x 的极小值点是 1a  ，无极大值点 （3）      1 e ln e ln ln 0x xxh x f x a a a x a aa a         由题意知：当 x a 时， ln ln 0xae x a   恒成立 又不等式 e ln ln 0xa x a   等价于： lnx xae a  ，即 1e lnx x a a  即 lnx x xxe a a  ① ①式等价于 ln ln e x x axxe a  由 0x a  知， 1 ln 0x x a a  ， 令    e 0xx x x   ，则原不等式即为：   ln xx a        又    e 0xx x x   在 0,  上为增函数 所以，原不等式等价于： ln xx a  ， ② 又②式等价于 ex x a  ，即：  0ex xa x a   设    0ex xF x x  ，   1 ex xF x    F x 在 01，上为增函数，在 1  ， 上为减函数， 又 0x a  当 0 1a  时，  F x 在 ,1a 上为增函数，在 1, 上为减函数     11F x F e    要使原不等式恒成立，须使 1 e 1a  ， 当 1a  时，则  F x 在 ,a  上为减函数，     11 eF x F  要使原不等式恒成立，须使 1 ea  ， 1a  时，原不等式恒成立 综上可知： a 的取值范围是 1 ,e    ， a 的最小值为 1 e .