2017-2018学年山西大学附属中学高二上学期9月月考数学试题 10页

‎2017-2018学年山西大学附属中学高二上学期9月月考数学试题 ‎（考试时间：90分钟 满分：100分 内容：必修四、必修五）‎ 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）‎ A. 13 B. 35 C. 49 D. 63‎ ‎6．同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．若不等式的解集为，则的值为 ( 　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．下列各函数中，最小值为的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．在边长为1的正中， ， 是边的两个三等分点（靠近于点），等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．在中，若，则下面等式一定成立的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎13．已知为等比数列， ， ，则 ‎ ‎14．在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为 ‎ ‎15．已知函数 的部分图象如图所示，则 ‎ ‎ ‎16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸， 的俯角分别为， ，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于 ‎ 米 三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分）‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）若，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为，求.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，面积为，已知.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若， ，求.‎ ‎20．已知数列的前项和，且是2与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎21．已知向量， ，函数 ‎， .‎ ‎（1）若的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ 注意：黄色部分为答案 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）‎ A. 13 B. 35 C. 49 D. 63‎ ‎6．同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．若不等式的解集为，则的值为 ( 　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．下列各函数中，最小值为的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．在边长为1的正中， ， 是边的两个三等分点（靠近于点），等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．在中，若，则下面等式一定成立的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知和4的等比中项为，且，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎13．已知为等比数列， ， ，则 ‎ ‎ ‎ ‎14．在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为 ‎ ‎15．已知函数 的部分图象如图所示，则 ‎ ‎ ‎16．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机处测得正前方河流的两岸， 的俯角分别为， ，此时无人机的高是60米，则河流的宽度等于 ‎ 米 米 三、解答题（17、18每题8分，19、20每题10分，21题12分）‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图像，求函数的解析式并求其图像的对称轴方程.‎ 答案：‎ ‎（1） ‎ 令，解得 所以的单调增区间为:.‎ ‎（2）由已知，对称轴方程为：‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）若，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为，求.‎ 答案：（1）∵，∴，与共线的单位向量为 ‎.‎ ‎∵，∴或.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，面积为，已知.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若， ，求.‎ 答案：(1)由条件： ，‎ 由于： ，所以： ，‎ 即： .‎ ‎(2) ，所以： .‎ ‎， .‎ 又： ，‎ 由，‎ 所以： ，所以： .‎ ‎20．已知数列的前项和，且是2与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ 答案：‎ ‎（1）∵an是2与Sn的等差中项，‎ ‎∴2an＝2＋Sn， ①‎ ‎∴2an－1＝2＋Sn－1，(n≥2) ②‎ ‎①－②得，2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，‎ 即＝2(n≥2)．‎ 在①式中，令n＝1得，a1＝2．‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an＝2n.‎ ‎（2）bn＝＝．‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①‎ 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②‎ ‎①－②得，‎ Tn＝＋＋＋＋…＋－‎ ‎＝＋2(＋＋＋…＋)－‎ ‎＝＋2×－‎ ‎＝－．‎ 所以Tn＝3－． ‎ ‎21．已知向量， ，函数 ‎， .‎ ‎（1）若的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数， 有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ 答案：（1）∵，‎ ‎，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵∴，‎ ‎ ，令，‎ ‎∴∵，对称轴为，‎ ‎①当即时，当时， ∴舍，‎ ‎②当即时，当时， ∴，‎ ‎③当即是，当时， ∴舍，‎ 综上， .‎ ‎（2）令，即，‎ ‎∴或，∵， 有四个不同的零点，‎ ‎∴方程和在上共有四个不同的实根，‎ ‎∴∴∴.‎