辽宁省实验中学东戴河分校2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 17页

辽宁省实验中学东戴河校区 ‎2019～2020学年上学期高二年级10月份月考 数学试卷 说明：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（4）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（8）页。‎ ‎2、本试卷共150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不要折叠 ‎2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。‎ ‎3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。‎ 一．选择题 ‎1.已知数列的一个通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 把数列，化简为，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列，化简为，合理归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，，，则＝（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎3.若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A. 若，则两直线的斜率： B. 若，则两直线的斜率：‎ C. 若两直线的斜率：，则 D. 若两直线的斜率：，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.‎ ‎【详解】当，，满足，但是两直线的斜率，选项A说法错误；‎ 当时，直线的斜率不存在，无法满足，选项B说法错误；‎ 若直线的斜率，，满足，但是，，不满足，选项C说法错误；‎ 若两直线的斜率，结合正切函数的单调性可知，选项D说法正确.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（ ）‎ A. 8 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为成等比数列，所以，即，解得：，故选D.‎ 试题点睛：本题涉及等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式以及等比中项的概念，是中档题.解决这类问题主要是利用方程思想，根据已知量，求出未知量，本题可将各项表示为首项与公差的形式，利用等差数列n项和公式结合等比中项，建立方程，从而求解.‎ ‎5.等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为等差数列中，，所以，有， 所以当时前项和取最小值.故选C.‎ ‎6.已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，,则( )‎ A. B. 54 C. 72 D. 90‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，‎ 所以也成等比数列，且公比为，‎ 所以，所以，‎ 因此，所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查等比数列前项和性质，熟记性质即可，属于基础题型.‎ ‎7.等差数列的前项和为，且，则= ( )‎ A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列通项公式求得和；代入等差数列前项和公式即可得到结果.‎ ‎【详解】设等差数列公差为 则：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、等差数列前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎8.下面四个判断中，正确的是( )‎ A. 式子，当时为1‎ B. 式子，当时为 C. 式子，当时为 D. 设，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合数学归纳法逐一考查所给的选项是否正确即可.‎ ‎【详解】逐一考查所给的结论：‎ A. 式子，当时为：，题中的说法错误；‎ B. 式子，当时为，题中的说法错误；‎ C. 式子，当时为，题中的说法正确；‎ D. 设，‎ 则，，‎ ‎，题中的说法错误；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法中的基本概念与运算，属于基础题.‎ ‎9.已知正项数列中，,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，则，且，则数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，故选B.‎ 考点：等差数列的概念及性质.‎ ‎10.已知等比数列满足，且，则当时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为为等比数列，所以,.故C正确.‎ 考点：1等比比数列的性质;2对数的运算法则.‎ ‎11.等比数列中，公比，记（即表示数列前n项之积），则中值最大的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：等比数列中＞0，公比q＜0，故奇数项为正数，偶数项为负数，‎ ‎∴＜0，＜0，＞0，＞0，‎ ‎∵=＞1，‎ ‎∴＞．所以最大值为 考点：等比数列的性质 ‎12.已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得数列的通项公式，然后结合通项公式和恒成立的结论分离参数，讨论数列函数的单调性即可确定整数的最大值.‎ ‎【详解】，①‎ 可得n⩾2时,，②‎ ‎①−②可得，‎ 即有，‎ 由an>0可得，‎ 即有；‎ 不等式即，‎ 很明显，则：‎ ‎，‎ 设.‎ 据此可得f(1)f(4)>f(5)>…，‎ 即有f(3)为f(n)的最大值,且为，‎ 即有,即，‎ 可得m的最大值为4.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查由递推关系式求解数列通项公式的方法，数列中恒成立问题的处理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题 ‎13.直线的倾斜角的大小是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，即，∴。‎ 考点：直线的倾斜角.‎ ‎14.经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程的一般式为_________.‎ ‎【答案】4x+3y=0或x+y-1=0‎ ‎【解析】‎ 当直线过原点时，设直线的方程为，因为直线过点A（-3,4），所以 当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点A（-3,4），所以 ‎ 所以直线的方程为x+y-1=0.‎ 综上所述，直线方程为4x+3y=0或x+y-1=0，‎ 故填4x+3y=0或x+y-1=0‎ 点睛：本题是一个易错题，容易漏掉直线4x+3y=0. 设直线的方程时，要注意方程的局限性，要考虑直线方程不能表示的直线是否满足题意. 直线方程的截距式不能表示与坐标轴平行和过原点的直线. 所以本题要先考虑过原点的直线.‎ ‎15.已知点，，若直线与线段（包含端点）有公共点，则实数的取值范围是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定直线恒过定点，然后数形结合考查临界值，据此即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】由直线方程可知直线恒过定点，‎ 如图所示，考查直线与线段AB相交的临界情况：‎ 其中，，‎ 数形结合可得实数的取值范围是.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，数形结合的数学思想，直线的斜率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.如果函数满足：对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为______‎ ‎① ② ③ ④ ⑤‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过等比数列性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果.‎ ‎【详解】由等比数列性质知 对于①，，则①正确；‎ 对于②，‎ ‎，则②错误；‎ 对于③，，则③正确；‎ 对于④，，则④错误；‎ 对于⑤，，则⑤错误；‎ 综上，正确的命题序号为①③‎ 本题正确结果：①③‎ ‎【点睛】本题考查新定义问题，关键是能够明确“保等比数列函数”的定义，根据定比数列定义求得结果.‎ 三、解答题 ‎17.已知等比数列中，，且，公比．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合等比数列的通项公式得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值，然后由等比数列通项公式即可确定数列的通项公式；‎ ‎(2)结合(1)中的通项公式首先求得数列的通项公式，然后由等差数列求和公式可得其前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题设可知，，‎ 又，，故，‎ 解得或，‎ 又由题设，‎ 所以，‎ 从而．‎ ‎（2），.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18.（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值.‎ ‎（2）若，，三点共线，求实数的值.‎ ‎（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程.‎ ‎【答案】（1）2（2）5（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合斜率公式得到关于m的方程，解方程即可确定m的值；‎ ‎(2)由题意得到关于t的方程，解方程可得t的值；‎ ‎(3)首先求得直线的斜率，然后利用点斜式可得直线方程.‎ ‎【详解】(1)由题意可得：，解方程可得：；‎ ‎(2)由题意可得：，即：，解方程可得：；‎ ‎(3)设直线的倾斜角为，则，，‎ 由点斜式可得所求直线方程：，整理为一般式即：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率公式及其应用，二倍角的正切公式，三点共线的充分必要条件，直线的点斜式公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设直线与坐标轴交点，设直线的截距式，将点P代入直线方程，求出a、b关系，根据三角形面积的公式，用a表示三角形面积，整理为关于a的二次方程，令，求得三角形面积的最小值，然后求出参数值，即可得出直线方程.‎ ‎【详解】设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，‎ 则直线l的方程为＋＝1，‎ 因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，‎ 所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．‎ 因为此方程有解，所以Δ＝S－12S△AOB≥0，‎ 又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．‎ 将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．‎ 此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程与几何图形之间的关系，学会用直线的系数表示几何长度及面积等，根据方程的性质求最值，同时解题时注意题目中条件的限制，注意参数的取值范围等情况.‎ ‎20.数列满足，（）．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求正整数的最小值．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意整理所给的递推关系式，利用后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列；‎ ‎(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后裂项求和可得的值，最后求解关于n的不等式即可确定正整数的最小值．‎ ‎【详解】（1）由已知可得：，故：，‎ 所以数列是等差数列，‎ 首项，公差.‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，即正整数的最小值为17.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列的通项公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知数列的首项为，其前项和为，且数列是公差为2的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意首先求得数列的前n项和，然后由前n项和与通项公式的关系即可求得数列的通项公式；‎ ‎(2)首先确定数列的通项公式，然后分类讨论n的奇偶性即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)∵数列是公差为2的等差数列，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∵符合，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 当为偶数时，；‎ 当为奇数时，为偶数，‎ ‎.‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本题主要考查由前n项和公式求数列通项公式的方法，并项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.已知数列的前项和为，且 ‎ ‎（）求数列的通项公式；‎ ‎（）若数列满足，求数列的通项公式；‎ ‎（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】⑴；⑵.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：‎ 两式相减得：又 当时,所以 ‎（3） 因为 所以当时,‎ 依据题意,有即 分类讨论，为奇数或偶数，分离参数即可求出的取值范围是 试题解析：⑴ 由得两式相减,得 所以由又得 所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．‎ ‎⑵ 由 ⑴ 知 ‎ 由 ‎ 得 故即 当时,所以 ‎⑶ 因为 所以当时,‎ 依据题意,有即 ‎①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．‎ 又随增大而增大,‎ 则当且仅当时,故的取值范围为 ‎②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,‎ 故的取值范围为 又当时,由 得 综上可得,所求的取值范围是 点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．‎ ‎ ‎ ‎ ‎