【数学】2019届一轮复习人教A版（文）5-1平面向量的概念及线性运算学案 17页

5.1 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含 义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量 共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 主要考查平面向量的线性运 算(加法、减法、数乘向量)及 其几何意义、共线向量定理 常与三角函数、解析几何交 汇考查，有时也会有创新的 新定义问题；题型以选择题、 填空题为主，属于中低档题 目．偶尔会在解答题中作为 工具出现. 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量；向量的 大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 非零向量 a 的单位向量为± a |a| 平行向量(共 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 线向量) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较 大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (3)交换律：a＋b＝b＋ a； (4)结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 积的运算 (6)|λa|＝|λ||a|； (7)当 λ>0 时，λa 与 a 的 方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝ 0 时，λa＝0 (8)λ(μa)＝(λμ)a； (9)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (10)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 知识拓展 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的 向量，即 A1A2——→ ＋ A2A3——→ ＋A3A4—→ ＋…＋ An－1An————→ ＝ A1An——→ ，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP → ＝1 2(OA → ＋OB → )． 3.OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1. 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关．( √ ) (3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( × ) (4)若向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编 2．[P86 例 4]已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA → ＝a，OB → ＝b，则DC → ＝______， BC → ＝________.(用 a，b 表示) 答案 b－a －a－b 解析 如图，DC → ＝AB → ＝OB → －OA → ＝b－a， BC → ＝OC → －OB → ＝－OA → －OB → ＝ －a－b. 3．[P108B 组 T5]在平行四边形 ABCD 中，若|AB → ＋AD → |＝|AB → －AD → |，则四边形 ABCD 的形状 为________． 答案 矩形 解析 如图，因为AB → ＋AD → ＝AC → ，AB → －AD → ＝DB → ，所以|AC → |＝|DB → |.由对角线长相等的平行四边 形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠 4．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b.若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立，故前者是后者 的充分不必要条件． 5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝____________. 答案 1 2 解析 ∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则Error!解得 λ＝μ＝1 2. 6．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2AB，BE＝2 3BC.若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC → (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________． 答案 1 2 解析 DE → ＝DB → ＋BE → ＝1 2AB → ＋2 3BC → ＝1 2AB → ＋2 3(BA → ＋AC → )＝－1 6AB → ＋2 3AC → ， ∴λ1＝－1 6，λ2＝2 3，即 λ1＋λ2＝1 2. 题型一 平面向量的概念 1．有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③ 若|AB → |＝|DC → |，则四边形 ABCD 是平行四边形；④若 m＝n，n＝k，则 m＝k；⑤若 a∥b， b∥c，则 a∥c；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②，若|a|＝|b|， 方向不确定，则 a，b 不一定相等，∴②错误；对于③，若|AB → |＝|DC → |，AB → ，DC → 不一定相等， ∴四边形 ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若 m＝n，n＝k，则 m＝k，④正 确；对于⑤，若 a∥b，b∥c，当 b＝0 时，a∥c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段 不是向量，向量可以用有向线段表示， ∴⑥错误． 综上，假命题是②③⑤⑥，共 4 个，故选 C. 2．设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝ |a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0B．1 C．2D．3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命 题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－ |a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点 1 向量的线性运算 典例(1)(2018 届贵州遵义航天高级中学一模)如图所示，向量OA → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c，A， B，C 在一条直线上，且AC → ＝－3CB → ，则( ) A．c＝3 2b－1 2a B．c＝3 2a－1 2b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b 答案 A 解析 由AC → ＝－3CB → ，可得OC → －OA → ＝－3(OB → －OC → )，则OC → ＝3 2OB → －1 2OA → ＝3 2b－1 2a，故选 A. (2)(2017·青海西宁一模)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2DB，点 E 在 AD 边 上，且 AD＝3AE，则用向量AB → ，AC → 表示CE → 为( ) A．2 9AB → ＋8 9AC → B．2 9AB → －8 9AC → C．2 9AB → ＋7 9AC → D．2 9AB → －7 9AC → 答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE → ＝AE → －AC → ＝1 3AD → －AC → ＝1 3(AB → ＋1 3 BC → )－AC → ＝1 3[AB → ＋1 3 (AC → －AB → ) ]－AC → ＝2 9AB → －8 9AC → . 命题点 2 根据向量线性运算求参数 典例(1)(2018 届河北省武邑中学调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O， E 为线段 AO 的中点．若BE → ＝λBA → ＋μBD → (λ，μ∈R)，则 λ＋μ 等于( ) A．1B．3 4 C．2 3D．1 2 答案 B 解析 ∵E 为线段 AO 的中点， ∴BE → ＝1 2BA → ＋1 2BO → ＝1 2BA → ＋1 2( 1 2BD → ) ＝1 2BA → ＋1 4BD → ＝λBA → ＋μBD → ， ∴λ＋μ＝1 2＋1 4＝3 4，故选 B. (2)在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ，则 x 的取值范围是( ) A．(0，1 2 ) B．(0，1 3 ) C．(－1 2，0) D．(－1 3，0)答案 D 解析 设CO → ＝yBC → ， ∵AO → ＝AC → ＋CO → ＝AC → ＋yBC → ＝AC → ＋y(AC → －AB → ) ＝－yAB → ＋(1＋y)AC → . ∵BC → ＝3CD → ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， ∴y∈(0，1 3 )，∵AO → ＝xAB → ＋(1－x)AC → ， ∴x＝－y，∴x∈(－1 3，0). 思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则． (2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首 尾相连向量的和用三角形法则． (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较， 求参数的值． 跟踪训练 (1)(2017·江西赣州二模)如图，已知AB → ＝a，AC → ＝b，DC → ＝3BD → ，AE → ＝2EC → ，则DE → 等于( ) A．3 4b－1 3a B． 5 12a－3 4b C．3 4a－1 3b D． 5 12b－3 4a 答案 D 解析 由平面向量的三角形法则可知， DE → ＝DC → ＋CE → ＝3 4BC → ＋(－1 3AC → ) ＝3 4(AC → －AB → )－1 3AC → ＝－3 4AB → ＋ 5 12AC → ＝－3 4a＋ 5 12b，故选 D. (2)如图，直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且与对角线 AC 交于点 K，其中，AE → ＝2 5AB → ，AF → ＝1 2AD → ，AK → ＝λAC → ，则 λ 的值为______． 答案 2 9 解析 ∵AE → ＝2 5AB → ，AF → ＝1 2AD → ， ∴AB → ＝5 2AE → ，AD → ＝2AF → . 由向量加法的平行四边形法则可知，AC → ＝AB → ＋AD → ， ∴AK → ＝λAC → ＝λ(AB → ＋AD → ) ＝λ( 5 2AE → ＋2AF → ) ＝5 2λAE → ＋2λAF → ， ∵E，F，K 三点共线，∴5 2λ＋2λ＝1，∴λ＝2 9. 题型三 共线向量定理的应用 典例设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． (1)证明 ∵AB → ＝a＋b，BC → ＝2a＋8b，CD → ＝3(a－b)， ∴BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB → ， ∴AB → ，BD → 共线． 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． (2)解 假设 ka＋b 与 a＋kb 共线， 则存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0. 消去 λ，得 k2－1＝0，∴k＝±1. 引申探究 若将本例(1)中“BC → ＝2a＋8b”改为“BC → ＝a＋mb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解 BC → ＋CD → ＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 即BD → ＝4a＋(m－3)b. 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使BD → ＝λAB → . 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)． ∴Error!解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线． 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0， 当且仅当 λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a，b 不共线． 跟踪训练 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB → ＝a＋3b，BC → ＝5a＋3b，CD → ＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 答案 B 解析 ∵BD → ＝BC → ＋CD → ＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB → ， ∴BD → ，AB → 共线，又有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线．故选 B. (2)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OA → ＋xOB → ＋BC → ＝0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A．{0} B．∅ C．{－1} D．{0，－1} 答案 C 解析 ∵BC → ＝OC → －OB → ，∴x2OA → ＋xOB → ＋OC → －OB → ＝0， 即OC → ＝－x2OA → －(x－1)OB → ，∵A，B，C 三点共线， ∴－x2－(x－1)＝1，即 x2＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1. 当 x＝0 时，x2OA → ＋xOB → ＋BC → ＝0，此时 B1，C 两点重合，不合题意，舍去．故 x＝－1.故选 C. 容易忽视的零向量 典例下列叙述错误的是________．(填序号) ①若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同； ②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同； ③向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa； ④AB → ＋BA → ＝0； ⑤若 λa＝λb，则 a＝b. 错解展示： ④中两个向量的和仍是一个向量，所以AB → ＋BA → ＝0. 错误答案 ④ 现场纠错 解析 对于①，当 a＋b＝0 时，其方向任意，它与 a，b 的方向都不相同． 对于②，当 a，b 之一为零向量时结论不成立． 对于③，当 a＝0 且 b＝0 时，λ 有无数个值；当 a＝0 但 b≠0 或 a≠0 但 b＝0 时，λ 不存 在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB → ＋BA → ＝0. 对于⑤，当 λ＝0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 λa＝λb，此时不一定有 a＝b. 故①②③④⑤均错． 答案 ①②③④⑤ 纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量． 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中正确的命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题①错误；由于两 个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此②是正确的；若 λa＝0(λ 为实数)，则 a 也可以为零向量，因此命题③是错误的；若 λ，μ 为 0，尽管有 λa＝μb，则 a 与 b 也不一定 共线，即命题④是错误的，故选 A. 2．(2018·安徽淮北第一中学最后一卷)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件，使a |a|＝ b |b|成立 的充要条件是( ) A．a＝b B．a＝2b C．a∥b 且|a|＝|b| D．a∥b 且方向相同 答案 D 解析 a |a|表示 a 方向的单位向量，因此 a |a|＝ b |b|的充要条件是 a 与 b 同向即可，故选 D. 3．(2018·四川乐山调研)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点， AB → ＝a，AC → ＝b，则AD → 等于( ) A．a－1 2b B．1 2a－b C．a＋1 2b D．1 2a＋b 答案 D 解析 连接 OC，OD，CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆 O 半径的等边三角形，所以四边形 OACD 为菱 形， 所以AD → ＝AO → ＋AC → ＝1 2AB → ＋AC → ＝1 2a＋b，故选 D. 4．已知AB → ＝a＋2b，BC → ＝－5a＋6b，CD → ＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( ) A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 答案 B 解析 因为AD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB → ，又AB → ，AD → 有公共点 A，所以 A， B，D 三点共线． 5．(2018·济宁模拟)如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若AB → ＝mAM → ，AC → ＝nAN → ，则 m＋n 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ∵O 为 BC 的中点， ∴AO → ＝1 2(AB → ＋AC → ) ＝1 2(mAM → ＋nAN → )＝m 2AM → ＋n 2AN → ， ∵M，O，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1，∴m＋n＝2. 6．(2018 届南宁二中、柳州高中联考)已知 a，b 是不共线的向量，AB → ＝λa＋2b，AC → ＝a＋(λ －1)b，且 A，B，C 三点共线，则 λ 等于( ) A．－1 B．－2 C．－2 或 1 D．－1 或 2 答案 D 解析 由于 A，B，C 三点共线，故AB → ＝μAC → ， 即 λ·(λ－1)－2×1＝0，解得 λ＝－1 或 2.故选 D. 7．已知两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b. 答案 ② 解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量 a，b 为邻边的平行 四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以 a⊥b. 8．(2018·青岛质检)已知 D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC → ＝a，CA → ＝ b，给出下列命题： ①AD → ＝1 2a－b；②BE → ＝a＋1 2b；③CF → ＝－1 2a＋1 2b； ④AD → ＋BE → ＋CF → ＝0. 其中正确命题的序号为________． 答案 ②③④ 解析 BC → ＝a，CA → ＝b， AD → ＝1 2CB → ＋AC → ＝－1 2a－b， BE → ＝BC → ＋1 2CA → ＝a＋1 2b， CF → ＝1 2(CB → ＋CA → )＝1 2(－a＋b) ＝－1 2a＋1 2b， 所以AD → ＋BE → ＋CF → ＝－b－1 2a＋a＋1 2b＋1 2b－1 2a＝0. 所以正确命题的序号为②③④. 9．(2018·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC 中，CM → ＝3MB → ，AM → ＝xAB → ＋yAC → ，则x y＝________. 答案 3 解析 由题设可得CA → ＋AM → ＝3(AB → －AM → )， 即 4AM → ＝3AB → ＋AC → ，亦即AM → ＝3 4AB → ＋1 4AC → ， 则 x＝3 4，y＝1 4，故x y＝3. 10．在直角梯形 ABCD 中，A＝90°，B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若AE → ＝AD → ＋μAB → ，则 μ 的取值范围是________． 答案 [0，1 2 ] 解析 由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3，∴AB → ＝2DC → ， ∵点 E 在线段 CD 上，∴DE → ＝λDC → (0≤λ≤1)． ∵AE → ＝AD → ＋DE → ， 又AE → ＝AD → ＋μAB → ＝AD → ＋2μDC → ＝AD → ＋2μ λ DE → ， ∴2μ λ ＝1，即 μ＝λ 2，∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤1 2. 即 μ 的取值范围是[0，1 2 ]. 11．(2018·重庆调研)如图所示，在△ABC 中，D，F 分别是 AB，AC 的中点，BF 与 CD 交 于点 O，设AB → ＝a，AC → ＝b，试用 a，b 表示向量AO → . 解 由 D，O，C 三点共线，可设DO → ＝k1DC → ＝k1(AC → －AD → )＝k1(b－1 2a)＝－1 2k1a＋k1b(k1 为实 数)， 同理，可设BO → ＝k2BF → ＝k2(AF → －AB → ) ＝k2( 1 2b－a)＝－k2a＋1 2k2b(k2 为实数)，① 又BO → ＝BD → ＋DO → ＝－1 2a＋(－1 2k1a＋k1b) ＝－1 2(1＋k1)a＋k1b，② 所以由①②，得－k2a＋1 2k2b＝－1 2(1＋k1)a＋k1b， 即1 2(1＋k1－2k2)a＋( 1 2k2－k1 )b＝0. 又 a，b 不共线， 所以Error! 解得Error! 所以BO → ＝－2 3a＋1 3b. 所以AO → ＝AB → ＋BO → ＝a＋(－2 3a＋1 3b)＝1 3(a＋b)． 12．设 a，b 是不共线的两个非零向量． (1)若OA → ＝2a－b，OB → ＝3a＋b，OC → ＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线； (2)若AB → ＝a＋b，BC → ＝2a－3b，CD → ＝2a－kb，且 A，C，D 三点共线，求 k 的值． (1)证明 由已知得， AB → ＝OB → －OA → ＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b， BC → ＝OC → －OB → ＝a－3b－3a－b＝－2a－4b， 故BC → ＝－2AB → ，又BC → 与AB → 有公共点 B， 所以 A，B，C 三点共线． (2)解 AC → ＝AB → ＋BC → ＝3a－2b，CD → ＝2a－kb. 因为 A，C，D 三点共线，所以AC → ＝λCD → ， 即 3a－2b＝2λa－kλb， 所以Error! 所以Error! 综上，k 的值为4 3. 13．(2017·安徽马鞍山质检)已知 P，Q 为△ABC 中不同的两点，且 3PA → ＋2PB → ＋PC → ＝0，QA → ＋QB → ＋QC → ＝0，则 S△PAB∶S△QAB 为( ) A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2 答案 A 解析 因为 3PA → ＋2PB → ＋PC → ＝2(PA → ＋PB → )＋PA → ＋PC → ＝0，所以 P 在与 BC 平行的中位线上，且 是该中位线上的一个三等分点，可得 S△PAB＝1 6S△ABC，QA → ＋QB → ＋QC → ＝0，可得 Q 是△ABC 的重心，因此 S△QAB＝1 3S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选 A. 14．(2018·泉州模拟)已知点 D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD → ＝1 5AB → －4 5CA → ，若△ACD 的面积为 1，则△ABD 的面积为________． 答案 4 解析 由AD → ＝1 5AB → －4 5CA → ，得 5AD → ＝AB → ＋4AC → ， 所以AD → －AB → ＝4(AC → －AD → )，即BD → ＝4DC → . 所以点 D 在边 BC 上，且|BD → |＝4|DC → |， 所以 S△ABD＝4S△ACD＝4. 15．(2018·太原质检)设 G 为△ABC 的重心，且 sinA·GA → ＋sinB·GB → ＋sinC·GC → ＝0，则角 B 的 大小为______． 答案 60° 解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA → ＋GB → ＋GC → ＝0，GA → ＝－(GB → ＋GC → )，将其代入 sinA·GA → ＋ sinB·GB → ＋sinC·GC → ＝0，得(sinB－sinA)GB → ＋(sinC－sinA)GC → ＝0.又GB → ，GC → 不共线， ∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0， 则 sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知，b＝a＝c， ∴△ABC 是等边三角形，则 B＝60°. 16．(2017·河北百校联盟联考)已知在△ABC 中，点 D 满足 2BD → ＋CD → ＝0，过点 D 的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 M，N，AM → ＝λAB → ，AN → ＝μAC → .若 λ>0，μ>0，则 λ＋μ 的最小值为________． 答案 3＋2 2 3 解析 因为 2BD → ＋CD → ＝0，所以BD → ＝1 3BC → ， AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1 3BC → ＝AB → ＋1 3(AC → －AB → ) ＝2 3AB → ＋1 3AC → . 因为 D，M，N 三点共线，所以存在 x∈R，使AD → ＝xAM → ＋(1－x)AN → ，则AD → ＝xλAB → ＋(1－x)μ AC → ， 所以 xλAB → ＋(1－x)μAC → ＝2 3AB → ＋1 3AC → ，所以 xλ＝2 3，(1－x)μ＝1 3，所以 x＝ 2 3λ，1－x＝ 1 3μ， 所以 2 3λ＋ 1 3μ＝1， 所以 λ＋μ＝1 3(λ＋μ)( 2 λ＋1 μ ) ＝1 3(3＋2μ λ ＋λ μ)≥3＋2 2 3 ， 当且仅当 λ＝ 2μ 时等号成立， 所以 λ＋μ 的最小值为3＋2 2 3 .