2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§5-2 平面向量的数量积及平面向量的应用（试题部分） 9页

‎§5.2　平面向量的数量积及平面向量的应用 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 平面向量 的数量积 ‎①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;③了解平面向量的数量积与向量投影的关系;④掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用 ‎2018课标全国Ⅱ,4,5分 平面向量的数量积 向量的模 ‎★★★‎ ‎2015课标Ⅱ,4,5分 平面向量的数量积 ‎—‎ 平面向量 数量积 的应用 ‎①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题 ‎2017课标全国Ⅰ,13,5分 两向量垂直的充要条件 坐标运算 ‎★★☆‎ ‎2019课标全国Ⅰ,8,5分 平面向量的夹角 向量的模 ‎2019课标全国Ⅲ,13,5分 平面向量的夹角 平面向量的坐标运算 分析解读 从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能与函数、解析几何等知识综合在一起以解答题的形式出现,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2020届宁夏银川一中9月月考,5)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=‎3‎,|b|=‎11‎,且a与a-b夹角的余弦值为‎3‎‎3‎,则a·b等于(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为(　　)‎ A.-15 B.-9 C.-6 D.0‎ 答案　C　‎ ‎3.已知点A,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为　　　　. ‎ 答案　-25‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2020届安徽A10联盟摸底考试,6)在△ABC中,D为边BC的中点,且AD·CD=5,AB=6,则AC=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2020届湖北汉阳模拟,8)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,则△ABC为(　　)‎ A.直角三角形 B.一般等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案　B　‎ ‎3.(2019广东普宁一中月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为　　　　. ‎ 答案　4‎‎3‎ ‎4.(2019广东深圳外国语中学模拟,17)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).‎ ‎(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求|b+c|的最大值.‎ 答案　(1)b-2c=(sin β-2cos β,4cos β+8sin β).‎ ‎∵a与b-2c垂直,‎ ‎∴a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin α·sin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,‎ ‎∴tan(α+β)=2.‎ ‎(2)由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|=‎(sinβ+cosβ‎)‎‎2‎+(4cosβ-4sinβ‎)‎‎2‎=‎17-15sin2β≤4‎2‎,‎ 当且仅当sin 2β=-1,即β=kπ-π‎4‎(k∈Z)时,等号成立,‎ 所以|b+c|的最大值为4‎2‎.‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　平面向量的模的求解方法 ‎1.(2019湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于(　　)‎ A.1 B.3 C.4 D.5‎ 答案　D　‎ ‎2.(2020届河南十所名校9月联考,10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为(　　)‎ A.‎2‎-1 B.1 C.‎2‎ D.2‎ 答案　B　‎ 方法2　平面向量夹角的求解方法 ‎1.已知i、j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎‎2‎ B.‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎-2,‎‎2‎‎3‎∪‎2‎‎3‎‎,+∞‎ D.(-∞,-2)∪‎‎-2,‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=　　　　. ‎ 答案　-‎‎2‎‎10‎ ‎3.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=‎2‎‎3‎‎3‎|a|,则向量a+b与a-b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎π‎3‎ 方法3　用向量法解决平面几何问题 ‎1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,则△ABC的形状是(　　)‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 答案　B　‎ ‎2.(2020届黑龙江牡丹江调研考试,14)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则|BD|=　　　　. ‎ 答案　‎‎34‎ ‎3.(2020届湖南长沙一中月考,14)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一点,且AE=‎1‎‎2‎AB+BC,|AB|=λ|AD|,若AC·EB=‎1‎‎2‎AD‎2‎,则λ=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 答案　C　‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2019课标全国Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.‎2π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=　　　　. ‎ 答案　7‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　)‎ A.-‎5‎‎8‎ B.‎1‎‎8‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎11‎‎8‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎2.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,‎3‎),b=(‎3‎,1),则a与b夹角的大小为　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ ‎3.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎4.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2‎3‎,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎11‎ ‎6.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ C组　教师专用题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2014课标Ⅱ,4,5分)设向量a,b满足|a+b|=‎10‎,|a-b|=‎6‎,则a·b=(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.5‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则(　　)‎ A.I10),则cos θ=‎2a‎2‎+2‎a‎2‎‎5‎a·‎5‎a=‎4‎‎5‎.(5分)‎ ‎(2)∵|AB|=|AC|=‎2‎,∴|AM|=1,‎ 设|OA|=x(0≤x≤1),则|OM|=1-x.(8分)‎ 因为OB+OC=2OM,‎ 所以OA·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cos π=2x2-2x=2x-‎‎1‎‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎.‎ 因为0≤x≤1,所以当且仅当x=‎1‎‎2‎时,OA·OB+OC·OA取最小值-‎1‎‎2‎.(12分)‎